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第六章　常微分方程 1

6.1　微分方程的基本概念 1

目录 1

习题6-1 6

6.2　可分离变量方程与齐次方程 7

6.2.1　可分离变量的微分方程 7

6.2.2　齐次微分方程 10

习题6-2 13

6.3　一阶线性微分方程 14

习题6-3 18

6.4.2　形如y″＝f（x,y′）型 19

6.4　可降阶的高阶方程 19

6.4.1 形如y(n)=f（x）型 19

6.4.3　形如y″＝f（y,y′）型 20

习题6-4 21

6.5　二阶常系数齐次线性微分方程 21

6.5.1　二阶齐次线性微分方程解的结构 22

6.5.2　二阶常系数齐次线性微分方程 23

习题6-5 26

6.6　二阶常系数非齐次线性微分方程 26

6.6.1　二阶非齐次线性微分方程的解的结构 26

6.6.2　二阶常系数非齐次线性微分方程 27

习题6-6 33

6.7　微分方程的应用 33

6.7.1　几何问题 34

6.7.2　静力学问题 35

6.7.3　动力学问题 37

6.7.4　振动问题 38

6.7.5　溶液混合问题 39

6.7.6　电学问题 40

习题6-7 42

6.8.1　方程解法 43

6.8　演示与实验　微分方程的符号解法 43

6.8.2　初值问题 44

习题6-8 44

复习题六 45

第七章 向量代数与空间解析几何 47

7.1 空间直角坐标系 47

7.1.1　空间点的直角坐标 47

7.1.2　空间两点间的距离公式 49

习题7-1 50

7.2 向量代数 51

7.2.1　向量的概念 51

7.2.2　向量的加法 52

7.2.3　向量与数的乘积 53

习题7-2 55

7.3 向量的坐标表示法 55

习题7-3 60

7.4　数量积　向量积 61

7.4.1　两向量的数量积 61

7.4.2　两向量的向量积 64

习题7-4 67

7.5　曲面及其方程 68

7.5.1 曲面方程的概念 68

7.5.2　旋转曲面 70

7.5.3　柱面 72

7.5.4　几种常见曲面 73

习题7-5 76

7.6　平面及其方程 77

7.6.1　平面的点法式方程 77

7.6.2　平面的一般方程 79

7.6.3　两平面的夹角 81

习题7-6 82

7.7　空间曲线及其方程 83

7.7.1　空间曲线的一般方程 83

7.7.2　空间曲线的参数方程 84

7.7.3　空间曲线在坐标面上的投影 86

习题7-7 87

7.8　空间直线及其方程 88

7.8.1　空间直线的一般方程 88

7.8.2　空间直线的对称式方程与参数方程 88

7.8.3　两直线的夹角 92

7.8.4　直线与平面的夹角 93

习题7-8 95

7.9.1　标准方程绘图 97

7.9.2　参数方程绘图 97

7.9　演示与实验三维图形的绘制 97

复习题七 99

第八章 多元函数微分法及其应用 102

8.1　多元函数的概念 102

8.1.1　多元函数的概念 102

8.1.2　二元函数的定义域及几何意义 104

8.1.3　二元函数的极限 106

8.1.4　二元函数的连续性 108

习题8-1 110

8.2　偏导数与全微分 111

8.2.1　偏导数的概念 111

8.2.2　高阶偏导数 115

8.2.3　全微分 117

习题8-2 120

8.3　多元复合函数求导法则 122

8.3.1 复合函数的偏导数 122

8.3.2　全导数 126

8.3.3　隐函数的偏导数 127

习题8-3 128

8.4　偏导数的几何应用 129

8.4.1 空间曲线的切线及法平面 129

8.4.2 曲面的切平面与法线 131

习题8-4 134

8.5.1　多元函数的极值 135

8.5　多元函数的极值及应用 135

8.5.2 多元函数的最大值与最小值 138

习题8-5 140

8.6　演示与实验 切平面与法线 140

8.6.1　切平面 140

8.6.2　法线 143

复习题八 143

第九章　重积分与曲线积分 146

9.1 二重积分的概念与性质 146

9.1.1 曲顶柱体的体积 146

9.1.2　二重积分的概念 148

9.1.3　二重积分的性质 149

习题9-1 151

9.2　二重积分的计算 152

9.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 152

9.2.2　极坐标系下二重积分的计算 159

习题9-2 163

9.3　二重积分的应用 164

9.3.1　几何应用 164

9.3.2　力学应用 168

9.4.1　三重积分的概念 171

9.4　三重积分 171

习题9-3 171

9.4.2　直角坐标系下三重积分的计算 174

习题9-4 176

9.5 曲线积分 176

9.5.1　对弧长的曲线积分概念及计算 177

9.5.2　对坐标的曲线积分概念及计算 181

习题9-5 187

9.6　演示与实验 重积分的计算 187

习题9-6 189

复习题九 190

10.1.1　级数的概念 193

10.1 级数的基本概念与性质 193

第十章　级数 193

10.1.2　级数的性质 195

10.1.3　级数收敛的必要条件 197

习题10-1 198

10.2　正项级数的比较与比值审敛法 199

习题10-2 206

10.3　交错级数的审敛法　条件收敛与绝对收敛 207

10.3.1　交错级数的审敛法 207

10.3.2　条件收敛与绝对收敛 209

10.4.1 函数项级数的基本概念 211

习题10-3 211

10.4　幂级数的概念与收敛区间 211

10.4.2　幂级数及其收敛区间 213

10.4.3　幂级数的性质 217

习题10-4 219

10.5 函数展开成幂级数 220

习题10-5 223

10.6　傅立叶级数 223

习题10-6 228

10.7　演示与实验 228

复习题十 230

习题10-7 230

第十一章　数学建模初步 233

11.1　数学建模的概念 233

11.1.1　数学建模的步骤 234

11.1.2　数学模型的分类 235

11.2　人口统计模型 236

11.2.1　人口统计模型Ⅰ 236

11.2.2　人口统计模型Ⅱ 238

习题11-2 240

11.3　医学模型 241

11.3.1　传染病模型 241

11.3.2　血液的流速模型 243

习题11-3 245

11.4　经济模型 246

11.4.1　最佳泄洪方案 246

11.4.2　存储模型 248

习题11-4 251

11.5　其他模型 252

11.5.1　马王堆一号墓年代的确定 252

11.5.2　稳定的椅子 254

习题11-5 256

11.6　演示与实验 动物繁殖问题 257

习题答案 259