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第一章 函数 1

第一节 函数概念 1

一、常量与变量 1

二、函数的概念 1

三、函数的表示法 3

四、建立函数关系举例 5

习题1-1 5

第二节 复合函数与反函数 6

一、复合函数 6

二、反函数 7

习题1-2 8

第三节 具有某些特性的函 8

一、有界函数 8

二、单调函数 9

三、奇函数与偶函数 9

习题1-3 10

四、周期函数 10

第四节 初等函数 12

一、基本初等函数 12

二、初等函数 15

习题1-4 15

第二章 极限与连续 17

第一节 数列极限 17

一、数列 17

二、数列极限 18

三、收敛数列的性质 20

习题2-1 20

第二节 函数极限 21

一、当x→∞时函数的极限 21

二、当x→x0时函数的极限 22

三、函数的单侧极限 25

四、函数极限的性质 25

习题2-2 26

一、无穷大量 27

第三节 无穷大量与无穷小量 27

二、无穷小量 28

三、极限，无穷大量，无穷小量之间的关系 28

四、无穷小量的比较 29

习题2-3 30

第四节 极限的运算法则 30

习题2-4 33

一、准则Ⅰ与重要极限 34

第五节 极限存在的两个准则与两个重要极限 34

二、准则Ⅱ与重要极限lim x→0 sinx/x=l 36

习题2-5 38

第六节 函数的连续性 39

一、函数的增量 39

二、连续函数的概念 39

三、函数的间断点 41

四、连续函数的运算法则 初等函数的连续性 42

五、在闭区间上连续函数的性质 42

习题2-6 44

第三章 一元函数的微分学 45

第一节 导数概念 45

一、导数概念的实例 45

二、导数的定义 47

三、导数的几何意义 48

四、几个基本初等函数的导数 50

习题3-1 51

一、导数的四则运算 52

第二节 导数的运算法则与公式 52

二、复合函数的求导法则 55

三、指数函数与幂函数求导法则 57

四、隐函数与反三角函数的求导法则 60

五、参数方程和极坐标方程所确定的函数的导数 63

习题3-2 66

第三节 微分 68

一、微分概念 68

二、微分的几何意义 71

三、微分的运算法则和公式 72

四、微分在近似计算中的应用 74

习题3-3 75

第四节 高阶导数与高阶微分 75

一、高阶导数 75

二、高阶微分 78

习题3-4 79

第四章 中值定理与导数的应用 80

第一节 中值定理 80

一、罗尔定理 80

二、拉格朗日中值定理 82

三、柯西中值定理 84

习题4-1 85

第二节 洛必达法则 85

一、待定型极限0/0型 85

二、待定型极限∞/∞型 88

三、其他类型的待定型 89

习题4-2 91

第三节 函数单调性的判断 91

习题4-3 93

一、极值 94

第四节 函数的极值和最值 94

二、最大值、最小值 98

习题4-4 99

第五节 凸性、拐点和渐近线 100

一、凸性 100

二、曲线的渐近线 103

习题4-5 105

一、不定积分的概念 106

第五章 不定积分 106

第一节 原函数和不定积分的概念 106

二、不定积分的几何意义 107

习题5-1 108

第二节 基本积分公式与不定积分的性质 109

一、基本积分公式 109

二、不定积分的性质 110

一、第一换元积分法（凑微分法 112

习题5-2 112

第三节 换元积分法 112

二、第二换元积分法 116

习题5-3 120

第四节 分部积分法 121

习题5-4 124

第五节 一些简单有理函数的积分 124

习题5-5 127

第六节 积分表的使用法 127

附录简明积分表 129

习题5-6 129

第六章 定积分 138

第一节 定积分概念 138

一、问题的提出 138

二、定积分的定义 139

三、存在定理 140

四、定积分的几何意义 140

第二节 定积分的性质 中值定理 142

习题6-1 142

习题6-2 146

第三节 微积分基本公式 146

一、问题的提出 146

二、积分上限函数及其导数 147

三、牛顿－莱布尼茨公式 148

习题6-3 150

第四节 定积分的换元法 151

习题6-4 155

第五节 定积分的分部积分法 156

习题6-5 158

第六节 定积分的近似计算 159

一、问题的提出 159

二、矩形法 159

三、梯形法 159

四、抛物线法 161

第七节 广义积分 163

一、无穷区间上的广义积分 163

习题6-6 163

二、无界函数的广义积分 165

习题6-7 166

第七章 定积分的应用 168

第一节 定积分的元素法 168

第二节 平面图形的面积 170

一、直角坐标系情形 170

二、极坐标系情形 172

习题7-2 173

第三节 体积 174

一、旋转体的体积 174

二、平行截面面积为已知的立体的体积 176

习题7-3 177

第四节 平面曲线的弧长 178

一、平面曲线弧长的概念 178

二、直角坐标情形 179

三、参数方程情形 179

四、极坐标情形 180

习题7-4 181

第五节 平均值 182

一、函数的平均值实例 182

二、均方根 183

习题7-5 184

第八章 向量代数与空间解析几何 186

第一节 空间直角坐标系 186

一、向量的概念 189

第二节 向量的线性运算及坐标 189

习题8-1 189

二、向量的加减法 190

三、向量的数乘运算 191

四、向量的坐标表示 193

习题8-2 196

第三节 两向量的数量积与向量积 197

一、两向量的数量积 197

二、两向量的向量积 199

一、平面及其方程 202

习题8-3 202

第四节 平面与空间直线 202

二、空间直线 206

习题8-4 210

第五节 二次曲面与空间直线 211

一、曲面与方程 211

二、二次曲面 211

三、空间曲线 216

习题8-5 218

一、平面点集和区域 219

第九章 多元函数微分法 219

第一节 多元函数的基本概念 219

二、二元函数 220

三、多元函数的极限 222

四、多元函数的连续性 223

习题9-1 223

第二节 偏导数 224

一、偏导数的概念 224

二、求导法则 225

三、二元函数偏导数的几何意义 227

四、高阶偏导数 228

习题9-2 230

第三节 全微分 231

一、全微分与偏微分的定义 231

二、全微分在近似计算和误差估计中的应用 235

习题9-3 237

二、复合函数的中间变量均为多元函数的情形 238

一、复合函数的中间变量均为一元函数的情形 238

第四节 复合函数微分法 238

三、复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 239

四、隐函数的导数或偏导数 240

习题9-4 242

第五节 多元函数微分学的应用 243

一、空间曲线的切线与法平面 243

二、曲面的切平面与法线 245

一、方向导数 247

习题9-5 247

第六节 方向导数与梯度 247

二、梯度 250

习题9-6 251

第七节 多元函数的极值 252

习题9-7 255

第十章 重积分 256

第一节 二重积分的概念与性质 256

一、二重积分的概念 256

二、二重积分的性质 259

习题10-1 260

第二节 二重积分的计算 261

一、化二重积分为二次积分 261

二、利用极坐标计算二重积分 267

习题10-2 272

第三节 三重积分及其计算 273

一、三重积分的概念 273

二、三重积分的计算 274

习题10-3 279

第四节 重积分的应用 281

一、曲面面积 281

二、重心 283

三、转动惯量 285

习题10-4 286

第五节 对坐标的曲线积分 287

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 287

二、对坐标的曲线积分的计算法 289

三、格林公式 292

四、平面上曲线积分与路径无关的条件 295

习题10-5 298

第十一章 无穷级数 300

第一节 常数项级数的概念和性质 300

一、常数项级数的基本概念 300

二、级数的基本性质 303

第二节 正项级数 306

习题11-1 306

习题11-2 311

第三节 任意项级数 311

一、交错级数敛散性的判别 312

二、绝对收敛与条件收敛 313

习题11-3 315

第四节 函数项级数的概念及幂级数 315

一、函数项级数的概念 315

二、幂级数及其性质 316

三、幂级数的运算法则 318

习题11-4 321

第五节 把函数展开成幂级数 321

习题11-5 326

第六节 傅立叶级数 326

一、三角级数 326

二、傅立叶级数 327

三、正弦级数和余弦级数 330

习题11-6 332

第一节 微分方程的一般概念 333

第十二章 常微分方程简介 333

习题1 2-1 335

第二节 一阶微分方程 336

一、可分离变量的一阶微分方程 336

二、一阶线性微分方程与常数变易法 338

第三节 可降阶的高阶微分方程 342

一、y(n)=f(x)型的微分方程 342

习题1 2-2 342

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 343

三、y″=f(y,y′) 344

习题12-3 345

第四节 二阶常系数线性微分方程 346

一、二阶常系数线性齐次方程 346

二、线性非齐次方程 349

习题12-4 352

习题答案 353

参考文献 378