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第一章 函数的概念 1

第一节 函数的概念 1

一、常量与变量、区间与邻域 1

二、函数的概念 3

三、分段函数 4

习题1-1 5

第二节 函数的性质 6

一、函数的有界性 6

二、函数的单调性 6

三、函数的奇偶性 7

四、函数的周期性 8

五、反函数的概念 9

习题1-2 11

第三节 初等函数 12

一、基本初等函数 12

二、复合函数 14

三、初等函数 14

习题1-3 15

第四节 数学实验 MATHEMATICA软件的基本操作及函数作图 15

一、Mathematica的启动和运行 15

二、基本命令及操作 16

习题1-4 26

数学家简介——阿基米德 26

第一节 数列的极限 27

一、数列的极限 27

第二章 函数的极限与连续 27

二、数列极限的计算 31

三、数列极限的四则运算 32

习题2-1 34

第二节 函数的极限 35

一、当x→∞时函数f（x）的极限 36

二、当x→x0时函数f（x）的极限 38

三、当x→x0时f（x）的单侧极限 40

习题2-2 43

第三节 无穷小与无穷大 44

一、无穷小 44

二、无穷大 46

三、无穷小的比较 47

习题2-3 49

第四节 极限的运算 50

一、极限的四则运算法则 50

二、两个重要的极限 53

习题2-4 56

第五节 函数的连续性与间断点 57

一、函数连续性的概念 57

二、函数的间断点及其分类 60

习题2-5 63

第六节 初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 64

一、初等函数的连续性 64

二、闭区间上连续函数的性质 66

习题2-6 68

二、实验内容 69

第七节 数学实验 函数的极限 69

一、学习Mathematica命令 69

习题2-7 72

数学家简介——达朗贝尔 72

第三章 导数与微分 74

第一节 导数的概念 74

一、变化率问题引例 74

二、导数定义 76

三、导数的几何意义 77

四、函数可导性与连续性的关系 78

习题3-1 79

一、用导数的定义求函数的导数举例 80

第二节 导数基本公式与求导法则 80

二、函数四则运算求导法则 83

习题3-2 85

第三节 初等函数的导数 86

一、复合函数的求导法则 86

二、反函数的求导法则 88

三、初等函数的导数 90

四、隐函数的求导法则 91

五、对数求导法 92

六、由参数方程所确定的函数的导数 93

习题3-3 95

一、高阶导数的概念 97

二、高阶导数的计算 97

第四节 高阶导数 97

习题3-4 99

第五节 微分 100

一、微分的概念 100

二、微分的几何意义 102

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 102

四、微分在近似计算中的应用 104

习题3-5 106

第六节 数学实验 导数与微分 107

一、学习Mathematica命令 107

二、实验内容 108

数学家简介——欧拉 111

习题3-6 111

第四章 导数的应用 113

第一节 微分学中值定理 113

一、罗尔定理 113

二、拉格朗日中值定理 114

三、柯西中值定理 116

习题4-1 117

第二节 利用导数研究函数的性态 117

一、函数的单调性 117

二、曲线的凹凸性与拐点 120

三、函数的极值与最值 122

习题4-2 126

第三节 计算极限的洛必达法则 127

一、0/0型或∞/∞型未定式 128

二、其他类型的未定式——可化为0/0型或∞/∞型的未定式 129

习题4-3 131

第四节 导数的应用 131

一、函数图形的描绘 131

二、曲率 133

三、曲率公式 135

习题4-4 136

第五节 数学实验 导数的应用 137

一、学习Mathematica命令 137

二、实验内容 137

习题4-5 141

数学家简介——拉格朗日 142

一、原函数的概念 143

第一节 不定积分的概念 143

第五章 不定积分 143

二、原函数存在定理 144

三、不定积分的定义 144

四、不定积分与导数（或微分）的关系 145

习题5-1 146

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法 146

一、不定积分的基本运算法则 146

二、不定积分的基本公式 147

三、直接积分法 148

习题5-2 149

第三节 不定积分的换元积分法 149

一、第一类换元积分法 149

二、第二类换元积分法 152

习题5-3 154

第四节 不定积分的分部积分法 155

习题5-4 158

第五节 有理函数的积分 158

习题5-5 162

数学家简介——牛顿 163

第六章 定积分 164

第一节 定积分的概念和性质 164

一、定积分产生的实际背景 164

二、定积分的定义 167

三、定积分的几何意义 168

四、定积分的性质 170

习题6-1 172

第二节 定积分的基本公式 173

一、变速直线运动位置函数与速度函数之间的关系 173

二、变上限的定积分 174

三、牛顿－莱布尼茨公式 176

习题6-2 178

第三节 定积分的计算方法 179

一、定积分的换元积分法 179

二、定积分的分部积分法 182

习题6-3 183

第四节 定积分的微元法 184

一、定积分的微元法 184

二、用定积分解决实际问题的条件 186

第五节 定积分在几何中的应用 187

习题6-4 187

一、平面图形的面积 188

二、空间立体的体积 193

三、平面曲线的弧长 198

习题6-5 199

第六节 定积分在物理中的应用 200

一、变力做功问题 200

二、液体的压力问题 201

三、引力问题 203

习题6-6 204

第七节 反常积分 205

一、无穷区间上的反常积分 205

二、无界函数的反常积分 207

习题6-7 209

第八节 数学实验 积分计算 210

一、学习Mathematica命令 210

二、实验内容 210

习题6-8 214

数学家简介——莱布尼茨 215

第七章 无穷级数 216

第一节 数项级数的基本概念及其性质 216

一、数项级数的基本概念 216

二、级数的性质 219

习题7-1 220

第二节 正项级数及其收敛的判别法 221

第三节 任意项级数及其收敛的判别法 224

习题7-2 224

一、交错级数及其收敛的判别法 225

二、任意项级数收敛的判别法 225

习题7-3 226

第四节 幂级数 227

一、函数项级数 227

二、幂级数及其收敛半径 227

三、幂级数的运算性质 230

习题7-4 233

第五节 函数展开成幂级数 234

一、泰勒级数 235

二、函数展开成幂级数 235

习题7-5 239

第六节 傅里叶级数 240

一、三角级数 240

二、三角函数系的正交性 240

三、函数展开成傅里叶级数 241

四、将函数展开成正弦级数（余弦级数） 245

五、周期为任意常数2l的函数展开成傅里叶级数 247

习题7-6 248

第七节 数学实验 无穷级数 249

一、学习Mathematica命令 249

二、实验内容 249

习题7-7 252

数学家简介——傅里叶 253

习题参考答案 254