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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 集合与映射 1

目录 1

一、集合的概念 6

二、集合的运算 6

三、区间与邻域 6

四、映射的概念 6

第二节 函数的概念与基本性质 6

五、基本初等函数 22

第三节 数列的极限 22

七、双曲函数与反双曲函数 22

六、初等函数 22

一、函数的概念 22

四、函数应用举例 22

三、函数的几种特性 22

二、复合函数与反函数 22

第四节 函数的极限 27

三、收敛准则 27

一、数列极限的定义 27

二、数列极限的性质 27

一、x→∞时函数的极限 31

二、x→x0时函数的极限 31

三、函数极限的性质 31

第五节 无穷大量与无穷小量 31

三、无穷小量的性质 35

第六节 极限的运算法则 35

二、无穷小量 35

一、无穷大量 35

一、极限的四则运算法则 38

二、复合函数的极限 38

第七节 极限存在准则与两个重要极限 38

一、夹逼定理 43

二、函数极限与数列极限的关系 43

三、柯西收敛准则 43

四、两个重要极限 43

第八节 无穷小量的比较 43

第九节 函数的连续性 45

习题一 55

三、闭区间上连续函数的性质 55

一、函数的连续与间断 55

二、连续函数的基本性质 55

第二章　一元函数的导数和微分 61

第一节 导数的概念 61

一、导数的定义 69

二、导数的几何意义 69

三、函数四则运算的求导法 69

第二节 求导法则 69

一、复合函数求导法 74

二、反函数求导法 74

三、参数方程求导法 74

四、隐函数求导法 74

第三节 函数的微分 74

一、微分的概念 77

二、微分的运算公式 77

第四节 高阶导数与高阶微分 77

二、高阶微分 82

第五节 微分中值定理 82

一、高阶导数 82

第六节 泰勒公式 86

第七节 洛必达法则 89

一、？型不定式 94

二、？型不定式 94

三、其他不定式 94

习题二 94

第三章　一元函数微分学的应用 102

第一节 函数的单调性与极值 102

第二节 函数的最大（小）值及其应用 106

一、函数单调性的判别 106

二、函数的极值 106

第三节 曲线的凹凸性、拐点 109

第四节 曲线的渐近线、函数作图 112

一、渐近线 117

二、函数图形的描绘 117

第五节 微分学在物理学中的应用举例——相关变化率 117

第六节 微分学在几何中的应用举例——曲率、曲率半径 119

第七节 微分学在经济学中的应用举例 124

三、曲率圆与曲率半径 124

一、弧微分 124

二、曲率 124

一、边际函数 127

二、函数的弹性 127

三、增长率 127

习题三 127

第四章　一元函数的积分 132

第一节 定积分的概念 132

第二节 原函数与微积分学基本定理 139

三、定积分的性质 139

二、定积分的概念 139

一、曲边梯形的面积 139

一、原函数与变限积分 143

二、微积分学基本定理 143

第三节 不定积分与原函数求法 143

一、不定积分的概念和性质 160

二、求不定积分的方法 160

第四节 积分表的使用 160

第五节 定积分的计算 161

第六节 广义积分 169

三、有理函数定积分的计算 169

一、换元法 169

二、分部积分法 169

一、无穷积分 177

二、瑕积分 177

三、广义积分的收敛原理 177

四、广义积分的柯西主值 177

习题四 177

第五章　定积分的应用 183

第一节 微分元素法 183

第二节 平面图形的面积 184

一、直角坐标情形 189

二、极坐标情形 189

第三节 几何体的体积 189

一、平行截面面积为已知的立体体积 192

二、旋转体的体积 192

第四节 曲线的弧长和旋转体的侧面积 192

第五节 定积分在物理学中的应用 196

一、平面曲线的弧长 196

二、旋转体的侧面积 196

一、变力做功 203

二、液体静压力 203

三、引力 203

四、平均值 203

第六节 定积分在经济学中的应用 203

一、最大利润问题 205

二、资金流的现值与终值 205

习题五 205

第六章　常微分方程 208

第一节 常微分方程的基本概念 208

第二节 一阶微分方程及其解法 210

四、一阶线性微分方程 219

五、伯努利方程 219

第三节 微分方程的降阶法 219

二、齐次方程 219

一、可分离变量方程 219

三、可化为齐次方程的方程 219

一、y(n)=f(x)型方程 222

二、不显含未知函数的方程 222

三、不显含自变量的方程 222

第四节 线性微分方程解的结构 222

二、线性微分方程解的结构 229

第五节 二阶常系数线性微分方程 229

一、函数组的线性相关与线性无关 229

一、二阶常系数齐次线性微分方程 235

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 235

第六节 n阶常系数线性微分方程 235

一、n阶常系数齐次线性微分方程的解法 237

二、n阶常系数非齐次线性微分方程的解法 237

第七节 欧拉方程 237

习题六 239

附录Ⅰ 几种常用的曲线 243

附录Ⅱ 积分表 246

习题参考答案 256