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第一节 函数 1

一、预备知识 1

第一章　函数、极限与连续 1

二、函数的概念 2

三、函数的几种特性 4

四、反函数与复合函数 4

五、初等函数 6

习题1-1 6

一、数列的极限 8

第二节　极限 8

二、函数的极限 11

习题1-2 15

第三节　无穷小与无穷大 15

一、无穷小量 15

二、无穷大量 17

习题1-3 18

一、极限的基本性质 19

第四节　极限的基本性质与运算法则 19

二、极限的运算法则 20

习题1-4 24

第五节　极限存在准则及两个重要极限　无穷小的比较 25

一、极限存在准则及两个重要极限 25

二、无穷小的比较 29

习题1-5 31

第六节 函数的连续性 31

一、连续函数的概念 31

二、函数的间断点及其分类 34

三、连续函数的运算 初等函数的连续性 36

四、闭区间上连续函数的性质 38

习题1-6 39

总习题一 40

第二章　导数与微分 43

第一节　导数概念 43

一、导数的定义 43

二、用定义计算导数举例 45

三、导数的几何意义 46

四、可导与连续的关系 47

习题2-1 47

第二节　求导法则及求导公式 48

一、导数的四则运算法则 48

二、反函数的求导法则 50

三、复合函数的求导法则 51

四、基本初等函数的导数公式 53

习题2-2 54

第三节　高阶导数 55

一、高阶导数 55

二、莱布尼兹（Leibniz）公式 56

习题2-3 57

第四节 隐函数的导数 由参数方程确定的函数的导数 57

一、隐函数的导数 57

二、由参数方程确定的函数的导数 60

三、相关变化率 61

习题2-4 62

第五节　微分及其应用 63

一、微分的概念 63

二、微分基本公式与运算法则 66

三、微分在近似计算中的应用 67

习题2-5 68

总习题二 69

第一节　中值定理 70

第三章　中值定理与导数的应用 70

习题3-1 74

第二节　洛必达法则 74

习题3-2 77

第三节　泰勒中值定理 77

习题3-3 81

第四节 函数性态的研究及其曲线的描绘 81

一、函数单调性的判定法 81

二、函数的极值、最大值和最小值问题 84

三、函数的凹凸性 87

四、函数图形的描绘 89

习题3-4 92

第五节　弧微分与曲率 93

一、弧微分 93

二、曲率 94

习题3-5 95

总习题三 95

第四章　不定积分 97

第一节　不定积分的概念 97

一、原函数与不定积分的概念 97

二、基本积分公式表 99

三、不定积分的线性运算性质 100

习题4-1 101

第二节　换元积分法和分部积分法 102

一、换元积分法 102

二、分部积分法 109

习题4-2 111

第三节　有理函数的积分 112

一、有理函数的不定积分 113

二、三角函数有理式的积分 116

三、查表积分 117

习题4-3 118

总习题四 119

第一节　定积分的概念 120

一、定积分问题举例 120

第五章　定积分 120

二、定积分的定义 122

三、定积分的几何意义 123

习题5-1 124

第二节　定积分的性质 124

习题5-2 128

第三节　微积分学基本定理 128

一、微积分学基本定理 128

二、牛顿—莱布尼兹公式 130

习题5-3 131

第四节　定积分的计算方法 132

一、定积分的换元积分法 132

二、定积分的分部积分法 135

习题5-4 137

第五节　定积分的应用 137

一、定积分的元素法 138

二、几何应用 139

三、物理应用 146

习题5-5 148

第六节　广义积分 149

一、无穷限的广义积分 149

二、无界函数的广义积分 151

三、Γ函数 153

习题5-6 154

总习题五 155

第一节　微分方程的基本概念 157

第六章　常微分方程 157

习题6-1 159

第二节　一阶微分方程 159

一、变量可分离方程 160

二、齐次方程 161

三、一阶线性方程 162

习题6-2 166

一、y″＝f(x)型方程 167

第三节　可降阶的二阶微分方程 167

二、y″＝f(x,y′)型方程 168

三、y″＝f(y,y′)型方程 169

习题6-3 170

第四节　二阶线性微分方程 171

一、实例 171

二、二阶线性微分方程解的结构 172

三、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 174

四、二阶常系数非齐次线性方程的解法 176

五、二阶常系数线性微分方程的应用 180

总习题六 182

习题6-4 182

第七章　无穷级数 184

第一节　常数项级数的概念与性质 184

一、数项级数的概念 184

二、数项级数的基本性质 187

习题7-1 190

第二节　常数项级数的收敛判别法 190

一、正项级数及其收敛判别法 190

二、交错级数及其收敛判别法 196

三、绝对收敛与条件收敛 197

习题7-2 199

第三节　幂级数 199

一、函数项级数的收敛域及和函数 199

二、幂级数及其收敛域 200

三、幂级数的运算与性质 204

习题7-3 206

一、泰勒级数 207

第四节 函数展开成幂级数 207

二、函数展开成幂级数的方法 209

三、幂级数展开式的简单应用 214

习题7-4 217

第五节　傅立叶级数（简介） 217

一、傅立叶级数及其收敛性 218

二、函数展开成2π为周期的傅立叶级数 220

三、函数展开成2l为周期的傅立叶级数 225

习题7-5 228

总习题七 229

第八章　空间解析几何与向量代数 231

第一节　空间直角坐标系 231

一、空间直角坐标系 231

二、空间点的坐标 232

三、空间两点间的距离 232

第二节 向量的线性运算及其坐标表示 234

一、向量的概念 234

习题8-1 234

二、向量的线性运算 235

三、向量的坐标表示 237

习题8-2 240

第三节 向量的数量积与向量积 240

一、向量的数量积 240

二、向量的向量积 242

习题8-3 244

一、平面的方程 245

第四节　空间平面及其方程 245

二、两平面的位置关系 248

习题8-4 250

第五节　空间直线及其方程 250

一、空间直线的对称式方程与参数方程 251

二、空间直线的一般式方程 252

三、两直线的位置关系 253

四、直线与平面的位置关系 254

一、空间曲面及其方程 256

习题8-5 256

第六节　空间曲面和曲线 256

二、旋转曲面与柱面 258

三、空间曲线 262

习题8-6 266

第七节　二次曲面 266

一、椭球面 267

二、双曲面 267

三、抛物面 269

总习题八 270

习题8-7 270

第九章　多元函数微分学 272

第一节　多元函数的基本概念 272

一、区域 272

二、多元函数的概念 273

三、二元函数的极限 274

四、二元函数的连续性 276

一、偏导数 277

第二节　偏导数 277

习题9-1 277

二、偏导数的几何意义 279

三、高阶偏导数 280

习题9-2 281

第三节　全微分 281

习题9-3 284

第四节 多元复合函数的微分法 284

习题9-4 287

第五节　方向导数 288

习题9-5 290

第六节　隐函数的求导公式 290

习题9-6 294

第七节 多元函数微分法的几何应用 294

一、空间曲线的切线与法平面 294

二、曲面的切平面与法线 296

习题9-7 298

一、多元函数的极值 299

第八节 多元函数的极值 299

二、二元函数的最大值与最小值 300

三、条件极值与拉格朗日乘数法 302

习题9-8 304

总习题九 304

第十章　重积分 306

第一节　重积分的概念与性质 306

一、重积分的概念 306

二、重积分的性质 309

习题10-1 310

第二节　二重积分的计算 311

一、利用直角坐标计算二重积分 311

二、利用极坐标计算二重积分 315

习题10-2 318

第三节　三重积分的计算 319

一、利用直角坐标计算三重积分 319

二、利用柱面坐标计算三重积分 321

三、利用球面坐标计算三重积分 322

第四节　重积分的应用 324

习题10-3 324

一、几何应用 325

二、物理应用 326

习题10-4 328

总习题十 329

第一节　对弧长的曲线积分 330

一、概念与性质 330

第十一章　曲线积分与曲面积分 330

二、计算公式 332

习题11-1 335

第二节　对坐标的曲线积分 335

一、概念与性质 335

二、计算公式 339

三、两类曲线积分之间的关系 341

习题11-2 342

第三节　格林公式及其应用 342

一、格林公式 343

二、平面曲线积分与路径无关的条件 347

三、二元函数全微分求积 349

习题11-3 351

第四节　对面积的曲面积分 351

一、概念与性质 351

二、计算公式 353

习题11-4 355

一、概念与性质 356

第五节　对坐标的曲面积分 356

二、计算公式 359

三、高斯公式 362

四、斯托克斯公式 364

题11-5 365

总习题十一 365

附录Ⅰ 几种常用的曲线 367

附录Ⅱ 积分表 370

习题参考答案与提示 378