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第1章　函数、极限与连续 1

【知识结构剖析】 1

目录 1

1.1　函数的定义 2

1.1.1 一元函数的概念 2

1.1.2　函数的特性 5

1.1.3　反函数和复合函数 7

1.1.4 函数的四则运算 9

1.1.5 初等函数 10

【例题分析】 11

【即学即练】 14

1.2.1　数列极限的定义 16

1.2　函数的极限 16

1.2.2 函数极限的定义 18

1.2.3　极限的性质 22

1.2.4　极限的运算法则与极限的存在准则 23

1.2.5　两个重要极限 25

【例题分析】 28

【即学即练】 31

1.3　函数的连续性 33

1.3.1 函数连续性的定义与间断点 33

1.3.2　连续函数的性质 36

【例题分析】 38

【即学即练】 40

单元测试试题（1） 41

单元测试试题（2） 43

第2章　一元函数微分学 45

【知识结构剖析】 45

2.1　导数与微分 46

2.1.1 导数的概念 46

2.1.2 求导法则 50

2.1.3 隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数 54

2.1.4 函数的微分 56

【例题分析】 59

【即学即练】 63

2.2.1　微分中值定理 64

2.2　中值定理与洛必达法则 64

2.2.2　洛必达法则 68

2.2.3　泰勒公式 72

【例题分析】 74

【即学即练】 77

2.3　函数的极值与最大、最小值 77

2.3.1 函数单调性与凸性的判别方法 77

2.3.2 函数的极值及其求法 80

2.3.3 函数的最大值和最小值 82

【例题分析】 83

2.4　曲线的曲率 85

2.4.1　平面曲线的曲率概念 85

【即学即练】 85

2.4.2 曲率的计算公式 86

【例题分析】 87

【即学即练】 87

单元测试试题（1） 87

单元测试试题（2） 89

第3章　一元函数积分学 91

【知识结构剖析】 91

3.1　不定积分的概念及积分方法 92

3.1.1 不定积分的概念、性质及基本积分公式 92

3.1.2　不定积分的换元积分法及分部积分法 95

3.1.3　有理函数的不定积分 103

【例题分析】 106

【即学即练】 107

3.2　定积分的概念及积分方法 108

3.2.1　定积分的定义及性质 108

3.2.2　变上限函数的积分及其导数 111

3.2.3　牛顿-莱布尼兹公式 113

3.2.4　定积分的换元积分法及分部积分法 114

【例题分析】 116

【即学即练】 119

3.3　定积分的应用和广义积分 120

3.3.1　定积分的几何应用 120

3.3.2 定积分的物理应用 124

3.3.3　广义积分 125

【例题分析】 128

【即学即练】 129

单元测试试题（1） 129

单元测试试题（2） 131

第4章　向量代数与空间解析几何 133

【知识结构剖析】 133

4.1　向量及其运算 134

4.1.1 空间直角坐标系和向量概念及其表示 134

4.1.2 向量的加法运算 136

4.1.3 向量的数量积 137

4.1.4 向量的向量积 138

4.1.5 向量的外积和混合积 145

【例题分析】 149

【即学即练】 151

4.2　平面与直线 151

4.2.1 平面 151

4.2.2　直线的方程 158

【例题分析】 171

【即学即练】 173

4.3　曲面与曲线 174

4.3.1　柱面与旋转曲面 174

4.3.2 二次曲面 176

4.3.3 空间曲线及其方程 177

【例题分析】 178

单元测试试题（1） 179

【即学即练】 179

单元测试试题（2） 181

第5章　多元函数微分学 183

【知识结构剖析】 183

5.1　多元函数的基本概念 184

5.1.1 多元函数的定义 184

5.1.2　Rn中的线性运算、距离及重要子集类 185

5.1.3　二元函数的极限 186

5.1.4 二元函数的连续性 188

【例题分析】 188

5.2.1　偏导数 190

5.2　偏导数和全微分 190

【即学即练】 190

5.2.2　高阶偏导数 192

5.2.3　全微分 193

【例题分析】 195

【即学即练】 196

5.3　复合函数的偏导数及隐函数的求导公式 197

5.3.1 复合函数的求导法则 197

5.3.2 隐函数的求导公式 198

【例题分析】 200

【即学即练】 202

5.4　方向导数与梯度 202

5.4.1　方向导数 202

5.4.2　梯度 203

【例题分析】 204

【即学即练】 204

5.5　多元微分学的几何应用 204

5.5.1 空间曲线的切线与法平面 204

5.5.2 空间曲面的切平面与法线 207

【例题分析】 209

【即学即练】 210

5.6　多元函数的极值 211

5.6.1　极大、极小值与最大、最小值 211

5.6.2　条件极值与拉格朗日乘数法 214

【例题分析】 217

【即学即练】 220

单元测试试题（1） 221

单元测试试题（2） 222

第6章　多元函数积分学 224

【知识结构剖析】 224

6.1　二重积分和三重积分 225

6.1.1 二重积分的概念和性质 225

6.1.2 利用直角坐标和极坐标计算二重积分 227

6.1.3 直角坐标、柱面坐标和球面坐标下三重积分的计算 236

【例题分析】 239

【即学即练】 242

6.2　重积分、曲线积分和曲面积分的应用 243

6.2.1　重积分的应用 243

6.2.2　第一类曲线积分和第一类曲面积分 245

6.2.3　第二类曲线积分 249

【例题分析】 253

【即学即练】 256

单元测试试题（1） 257

单元测试试题（2） 258

第7章　无穷级数 260

【知识结构剖析】 260

7.1　常数项级数 261

7.1.1 常数项级数的概念 261

7.1.2　无穷级数的基本性质 263

【例题分析】 265

【即学即练】 266

7.2.1　正项级数及其收敛性 267

7.2　常数项级数的判别法 267

7.2.2　绝对收敛与条件收敛 272

【例题分析】 276

【即学即练】 278

7.3　幂级数与函数的幂级数展开式及其应用 280

7.3.1　幂级数及其收敛性 280

7.3.2　幂级数的运算与性质 283

7.3.3 函数的泰勒级数 287

7.3.4 函数的幂级数展开式的应用 288

【例题分析】 295

【即学即练】 298

7.4.1　傅里叶多项式 299

7.4　傅里叶多项式与傅里叶级数 299

7.4.2　傅里叶级数及其收敛性 301

7.4.3 一般周期函数的傅里叶级数 302

【例题分析】 303

【即学即练】 303

单元测试试题（1） 304

单元测试试题（2） 306

第8章　常微分方程 308

【知识结构剖析】 308

8.1　一阶线性微分方程 309

8.1.1 微分方程的基本概念 309

8.1.2　可分离变量的微分方程与齐次微分方程 310

8.1.3 一阶线性微分方程及其求解 315

【例题分析】 319

【即学即练】 320

8.2　二阶微分方程 321

8.2.1 可降阶的二阶微分方程 321

8.2.2 二阶常系数线性微分方程 325

【例题分析】 330

【即学即练】 331

单元测试试题（1） 332

单元测试试题（2） 333

全真综合模拟测试题（1～5） 335

全书试题参考答案 349

后记 365