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目录 1

第五章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 向量及其线性运算 1

一、向量的概念 1

二、向量的线性运算 2

三、数轴上的向量 4

习题5-1 5

第二节 点的坐标与向量的坐标 5

一、空间直角坐标系 5

二、向量的坐标 6

三、向量线性运算的坐标表示 7

四、向量的模、方向角和投影 8

习题5-2 11

第三节 向量的乘法运算 12

一、两向量的数量积（内积、点积） 12

二、两向量的向量积（外积，叉积） 15

三、向量的混合积 17

习题5-3 18

第四节 平面 18

一、平面的点法式方程 19

二、平面的一般式方程 21

三、两平面的夹角 22

四、点到平面的距离 23

习题5-4 24

第五节 直线 25

一、直线的方程 25

二、空间两直线的夹角及两直线的位置关系 27

三、直线与平面的夹角及直线与平面的位置关系 27

四、点到直线的距离 28

五、过直线的平面束 29

习题5-5 32

第六节 曲面及其方程 33

一、曲面方程的概念 33

二、柱面 33

三、旋转曲面 35

四、二次曲面 36

习题5-6 39

第七节 空间曲线及其方程 40

一、空间曲线的一般式方程 40

二、空间曲线的参数方程 40

三、空间曲线在坐标面上的投影 41

习题5-7 43

复习题五 44

第六章 多元函数微分学 46

第一节 多元函数 46

一、平面点集 46

二、多元函数的概念 48

三、多元函数的极限 50

四、多元函数的连续性 53

习题6-1 55

第二节 偏导数 57

一、偏导数的定义及其计算方法 57

二、二元函数偏导数的几何意义 61

三、多元函数连续与偏导数存在没有必然联系 61

四、高阶偏导数 62

习题6-2 65

第三节 全微分及其应用 67

一、全微分定义 67

二、全微分存在的必要条件 68

三、全微分存在的充分条件 70

＊四、全微分在近似计算中的应用 72

习题6-3 73

第四节 多元复合函数的求导法则 74

一、复合函数求导的链式法则 74

二、复合函数的高阶偏导数 80

三、一阶全微分形式的不变性 82

习题6-4 83

第五节 隐函数求导法 85

一、一个方程的情形 85

二、方程组的情形 89

习题6-5 93

一、方向导数 94

第六节 方向导数与梯度 94

＊二、梯度 98

习题6-6 101

第七节 偏导数的几何应用 102

一、空间曲线的切线与法平面 102

二、曲面的切平面与法线 106

习题6-7 111

第八节 多元函数的极值 112

一、多元函数的极值 112

二、条件极值拉格朗日乘数法 116

三、有界闭区域上的最大值与最小值 121

习题6-8 123

＊第九节 二元函数的泰勒公式 124

一、二元函数的泰勒公式 124

二、极值充分条件的说明 127

习题6-9 128

＊第十节 最小二乘法 128

习题6-10 131

复习题六 132

第七章 多元数量值函数积分学 134

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 134

一、引例 非均匀物体的质量 134

二、多元数量值函数积分的概念 137

三、多元数量值函数积分的性质 139

习题7-1 140

第二节 二重积分的计算 141

一、二重积分的几何意义 141

二、在直角坐标系下计算二重积分 143

三、在极坐标系下计算二重积分 152

四、二重积分的换元法 157

习题7-2 158

第三节 三重积分的计算 160

一、在直角坐标系下计算三重积分 160

二、在柱面坐标系下计算三重积分 165

三、在球面坐标系下计算三重积分 169

四、三重积分的换元法 173

习题7-3 174

第四节 第一型曲线积分的计算 175

习题7-4 179

第五节 第一型曲面积分的计算 179

一、曲面的面积 180

二、第一型曲面积分的计算 182

习题7-5 186

第六节 积分在物理上的应用 186

一、重心 186

二、转动惯量 188

三、引力 190

习题7-6 191

复习题七 192

第八章 第二型曲线、曲面积分 194

第一节 第二型曲线积分 194

一、引例 变力做功问题 194

二、第二型曲线积分的概念 195

三、第二型曲线积分的性质 197

四、第二型曲线积分的计算法 198

习题8-1 203

第二节 格林（Green）公式及其应用 204

一、格林公式 204

二、两类型曲线积分的关系 209

习题8-2 211

第三节 曲线积分与路径的无关性 212

一、第二型曲线积分与路径无关的条件 213

二、势函数的概念及其求法 217

三、一阶全微分方程 219

习题8-3 223

第四节 第二型曲面积分 224

一、有向曲面 224

二、第二型曲面积分的概念 225

三、第二型曲面积分的性质 227

四、第二型曲面积分的计算法 227

习题8-4 233

一、高斯（Gauss）公式 234

第五节 高斯公式和斯托克斯公式 234

二、斯托克斯（Stokes）公式 239

习题8-5 244

第六节 场论初步 245

一、等值面与向量线 245

二、向量场的散度 246

三、向量场的旋度 250

四、几类特殊的场 253

习题8-6 256

复习题八 256

第一节 常数项级数的概念及性质 259

一、无穷级数的概念 259

第九章 无穷级数 259

二、无穷级数的收敛性 260

三、级数收敛的必要条件 263

四、级数的基本性质 264

习题9-1 266

第二节 正项级数及其收敛判别法 267

一、比较判别法 268

二、比值判别法 271

＊三、根值判别法 273

习题9-2 276

第三节 任意项级数及其收敛判别法 278

一、交错级数及其收敛判别法 278

二、绝对收敛与条件收敛 280

习题9-3 283

第四节 幂级数 284

一、函数项级数的概念 284

二、幂级数及其收敛性 285

三、幂级数的运算 289

习题9-4 293

第五节 函数展开为幂级数 294

一、泰勒级数 295

二、函数展开成幂级数 297

习题9-5 302

一、近似计算 303

第六节 函数的幂级数展开式的应用 303

二、欧拉公式 306

习题9-6 307

第七节 傅里叶（Faurier）级数 307

一、三角函数系的正交性 307

二、函数展开为傅里叶系数 308

习题9-7 314

第八节 正弦级数与余弦级数 315

习题9-8 319

＊第九节 傅里叶级数的复数形式 320

复习题九 322

习题答案与提示 326