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第一章　函数、极限与连续 1

第一节　函数 1

一、常量与变量 1

二、实数集与实数的绝对值 2

三、函数的概念 3

四、函数的简单性态 6

五、由已知函数产生新函数 12

六、常见函数 14

七、常用不等式 18

习题1-1 21

一、整标函数与数列 22

第二节　数列的极限 22

二、微积分思想原型的实例 24

三、数列极限的概念 26

四、有极限数列的简单性质 28

五、子列及其极限 30

习题1-2 31

第三节函数的极限 31

一、自变量绝对值无限增大时的函数极限 32

二、自变量趋向于定值时的函数极限 34

三、单侧极限 37

四、有极限函数的性质 39

第四节　无穷小与无穷大 42

一、无穷小的概念 42

习题1-3 42

二、无穷小的性质 43

三、无穷小与极限的关系 45

四、无穷大的概念 45

五、无穷小与无穷大的关系 47

习题1-4 48

第五节　极限运算法则 49

习题1-5 56

第六节　极限存在准则及两个重要极限 57

一、夹逼准则 57

二、重要极限？＝1 58

三、数列极限的单调有界准则 60

四、重要极限？＝e 61

五、含指数与对数的？型未定式 64

习题1-6 66

第七节　无穷小的比较 67

一、无穷小的比较 67

二、等价无穷小的性质 69

习题1-7 71

第八节　连续函数 72

一、函数的连续性 72

二、连续函数的运算性质 74

三、函数的间断点 75

四、闭区间上连续函数的性质 79

习题1-8 83

复习题一 84

第二章　一元函数微分学 87

第一节　函数的导数 88

一、导数概念引例 88

二、导数的定义 89

三、函数可导性与连续性之间的关系 95

四、经济学中的变化率问题 97

习题2-1 98

第二节　函数的求导法则 100

一、函数和、差、积、商的求导法则 100

二、反函数的求导法则 102

三、复合函数的求导法则 104

四、初等函数的求导问题 107

习题2-2 110

第三节隐函数和参数式函数的求导法 112

一、隐函数的求导法 112

二、对数求导法 115

三、参数式函数的求导法 117

四、相关变化率 121

习题2-3 122

第四节　函数的微分 123

一、微分的概念 123

二、函数可微性与可导性之间的关系 125

三、微分基本公式和运算法则 127

四、函数的局部线性化 130

五、微分的实际意义 131

习题2-4 134

第五节　高阶导数与高阶微分 136

一、高阶导数 136

二、高阶微分 142

习题2-5 143

第六节　微分中值定理 144

一、预备知识 144

二、罗尔（Rolle）中值定理 146

三、拉格朗日（Lagrange）中值定理 148

四、柯西（Cauchy）中值定理 154

习题2-6 158

一、？型未定式的洛必达法则 159

第七节　洛必达法则 159

二、？型未定式的洛必达法则 162

三、其他类型未定式 163

四、洛必达法则使用说明 165

习题2-7 167

第八节　泰勒公式 168

一、泰勒中值定理 168

二、泰勒公式的应用 174

习题2-8 176

第九节函数的单调性与极值 177

一、函数单调性判定法及其应用 177

二、函数的极值及其求法 180

三、最大值与最小值问题 185

习题2-9 188

第十节函数的凸性和图形的描绘 190

一、函数的凸性及其判定 190

二、曲线的拐点及其求法 193

三、曲线的渐近线 195

四、函数作图 196

习题2-10 197

第十一节　平面曲线的曲率 198

一、曲率的概念 198

二、曲率的计算公式 200

三、曲率圆与曲率半径 202

复习题二 204

习题2-11 204

第三章　一元函数积分学 207

第一节　定积分的概念与性质 207

一、定积分问题举例 207

二、定积分的定义 210

三、函数可积的充分条件 211

四、定积分的几何意义 212

五、定积分的性质 213

习题3-1 217

第二节　微积分基本公式 219

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 219

二、原函数的概念 219

三、积分上限的函数及其导数 220

四、微积分基本公式 222

习题3-2 225

第三节　不定积分的概念与性质 226

一、不定积分的概念 226

二、不定积分的几何意义 227

三、不定积分的性质 228

四、基本积分公式 228

习题3-3 232

第四节　换元积分法 233

一、不定积分的换元积分法 234

二、定积分的换元积分法 244

习题3-4 249

一、不定积分的分部积分法 251

第五节　分部积分法 251

二、定积分的分部积分法 258

习题3-5 261

第六节　有理函数的积分 262

一、有理函数的积分 262

二、三角有理函数的积分 267

习题3-6 269

第七节　广义积分 269

一、无穷区间上的广义积分 270

二、无界函数的广义积分 273

习题3-7 277

第八节　定积分的几何应用 278

一、建立积分模型的微元法 278

二、求平面图形的面积 280

三、求空间立体的体积 285

四、求平面曲线的弧长 288

习题3-8 291

第九节　定积分的物理应用 293

一、变力沿直线所做的功 293

二、液体的压力 295

三、函数的平均值与均方根 295

四、引力 298

习题3-9 301

第十节　积分学在经济中的应用 302

一、由边际函数求原函数或原函数在区间的增量 302

二、消费者剩余和生产者剩余 304

三、资本现值与投资问题 306

习题3-10 307

复习题三 308

第四章　微分方程 311

第一节　微分方程的基本概念 311

一、引例 311

二、微分方程的基本概念 312

习题4-1 315

第二节　一阶微分方程 316

一、可分离变量的微分方程 316

二、一阶齐次微分方程 318

三、一阶线性微分方程 320

习题4-2 325

第三节　可降阶的高阶微分方程 326

一、y（n）＝f（x）型 326

二、y″＝f（x,y′）型 327

三、y″＝f（y,y′）型 329

习题4-3 330

第四节　二阶线性齐次微分方程 331

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 331

二、二阶常系数线性齐次微分方程 333

三、高阶常系数线性齐次微分方程 335

三、欧拉方程 335

习题4-4 336

二、待定系数法 338

一、解的结构定理 338

第五节　二阶线性非齐次微分方程 338

三、常数变易法 345

习题4-5 346

第六节　微分方程的应用 347

一、应用微分方程求解数学问题 347

二、微分方程在其他学科应用举例 351

三、建立微分方程的重要方法——微元分析法 357

四、典型的应用模式 358

习题4-6 364

复习题四 365

附录Ⅰ几种常用的曲线 367

附录Ⅱ习题答案与提示 370