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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种性质 3

三、反函数 4

四、初等函数 4

习题1-1 7

第二节 极限 8

一、数列的极限 8

二、函数的极限 9

习题1-2 11

第三节 极限的运算 12

一、极限的四则运算 12

二、极限运算举例 13

三、两个重要极限 13

习题1-3 16

第四节 无穷小与无穷大 17

一、无穷小与无穷大 17

二、无穷小的性质 19

三、无穷小的比较 19

习题1-4 20

第五节 函数的连续性 21

一、连续与间断 21

二、连续函数的性质与初等函数的连续性 23

三、闭区间上连续函数的性质 24

习题1-5 25

第六节 应用与实践 26

第二章 导数与微分 28

第一节 导数的概念 28

一、导数的定义 28

二、求导数举例 30

三、导数的意义 32

四、可导与连续的关系 33

习题2-1 34

第二节 初等函数的求导法则 35

一、函数的和、差、积、商的求导法则 35

二、复合函数的求导法则 37

三、高阶导数 38

习题2-2 39

第三节 隐函数及参数方程确定的函数的求导法则 40

一、隐函数的求导法则 40

二、参数方程确定的函数的求导法则 42

三、初等函数的导数 43

习题2-3 44

第四节 函数的微分 45

一、微分的概念及几何意义 45

二、微分基本公式及微分的运算法则 47

习题2-4 48

第五节 微分的应用 49

一、微分在近似计算中的应用 49

二、微分在误差估计中的应用 50

习题2-5 51

第六节 应用与实践 52

第三章 导数的应用 54

第一节 罗彼塔法则 54

一、“0/0”型未定式 54

二、“∞/∞”型未定式 55

三、其他类型未定式 56

习题3-1 57

第二节 函数的单调性和极值 58

一、函数单调性的判别方法 58

二、函数极值的判别法 60

三、函数的最大值、最小值的求法 62

习题3-2 63

第三节 函数图像的描绘 65

一、曲线的凹凸性与拐点 65

二、函数图像的描绘 66

习题3-3 68

第四节 曲率 69

一、弧微分 69

二、曲率及其计算公式 70

三、曲率圆 72

习题3-4 73

第五节 应用与实践 74

第四章 不定积分 75

第一节 不定积分的概念与性质 75

一、原函数和不定积分的概念 75

二、不定积分的性质 77

三、不定积分的运算法则 77

习题4-1 78

第二节 不定积分的基本公式和直接积分法 79

习题4-2 82

第三节 换元积分法 83

一、第一类换元积分法（凑微分法） 83

二、第二类换元积分法（变量代换） 86

习题4-3 88

第四节 分部积分法 89

习题4-4 92

第五节 积分表的使用方法 92

习题4-5 93

第六节 应用与实践 94

第五章 定积分 97

第一节 定积分的概念与性质 97

一、两个引例 97

二、定积分的定义 99

三、定积分的几何意义 100

四、定积分的性质 100

习题5-1 101

第二节 牛顿-莱布尼兹公式 103

一、变上限定积分 103

二、牛顿-莱布尼兹公式 104

习题5-2 105

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 106

一、定积分的换元积分法 106

二、定积分的分部积分法 108

习题5-3 109

第四节 广义积分 109

一、积分区间是无限的广义积分 109

二、有限区间上无界函数的广义积分 111

习题5-4 113

第五节 应用与实践 113

第六章 定积分的应用 116

第一节 定积分的微元法 116

第二节 定积分在实际问题中的应用 117

一、定积分的几何应用 118

二、定积分在物理中的应用 124

习题6-2 128

第七章 常微分方程 132

第一节 微分方程的一般概念 132

一、微分方程的概念 132

二、微分方程的解 133

习题7-1 134

第二节 一阶微分方程 134

一、可分离变量的微分方程 134

二、一阶线性微分方程 137

习题7-2 139

第三节 几类特殊的高阶方程 140

一、y（n）＝f（x）型 140

二、y″＝f（x,y′）型 140

三、y″＝f（y,y′）型 141

习题7-3 142

第四节 二阶线性微分方程 142

一、线性方程解的结构定理 143

二、二阶常系数线性齐次方程的通解 144

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的特解 146

习题7-4 149

第五节 应用与实践 150

第八章 空间解析几何与向量代数 155

第一节 空间直角坐标系 155

一、空间直角坐标系 155

二、空间两点间的距离公式 156

习题8-1 156

第二节 向量及其线性运算 157

一、向量的概念 157

二、向量的加、减法 158

三、数与向量的乘法 158

习题8-2 169

第三节 向量的坐标 160

一、向量的坐标 160

二、向量的线性运算的坐标表示 161

三、向量的模与方向余弦 161

习题8-3 162

第四节 向量的数量积和向量积 162

一、向量的数量积 162

二、向量的向量积 164

习题8-4 166

第五节 平面及其方程 167

一、平面的点法式方程 167

二、平面的一般方程 168

三、两平面的夹角、平行与垂直的条件 179

习题8-5 171

第六节 空间直线及其方程 172

一、直线的标准方程 172

二、空间直线的参数方程 173

三、空间直线的一般方程 174

四、两直线的夹角，平行与垂直的条件 174

习题8-6 176

第七节 常见曲面的方程及图形 177

一、曲面及其方程 177

二、常见的曲面方程及其图形 178

习题8-7 181

第八节 应用与实践 182

第九章 多元函数微分法及其应用 184

第一节 多元函数 184

一、多元函数的概念 184

二、二元函数的极限与连续性 187

习题9-1 187

第二节 偏导数 188

一、偏导数的概念 188

二、高阶偏导数 191

习题9-2 193

第三节 全微分及其应用 193

一、全微分的概念 193

二、全微分在近似计算中的应用 195

习题9-3 196

第四节 多元复合函数微分法 196

一、复合函数微分法 196

二、隐函数的微分法 199

习题9-4 200

第五节 偏导数的应用 201

一、偏导数的几何应用 201

二、多元函数极值 203

三、条件极值 207

习题9-5 209

第六节 应用与实践 210

第十章 二重积分 213

第一节 二重积分的概念 213

一、两个实例 213

二、二重积分的定义 214

三、二重积分的性质 214

习题10-1 215

第二节 二重积分的计算 216

一、直角坐标系下二重积分的计算方法 216

二、极坐标系下二重积分的计算方法 219

习题10-2 220

第三节 二重积分的应用 222

一、二重积分在几何上的应用 222

二、平面薄片的重心 224

三、平面薄板的转动惯量 225

习题10-3 226

第四节 应用与实践 226

第十一章 曲线积分 228

第一节 对弧长的曲线积分 228

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 228

二、对弧长的曲线积分的计算方法 229

习题11-1 231

第二节 对坐标的曲线积分 231

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 231

二、对坐标的曲线积分的计算方法 234

三、格林（Green）公式 236

四、平面上曲线积分与路径无关的条件 237

习题11-2 238

第三节 应用与实践 239

第十二章 无穷级数 241

第一节 常数项级数的概念和性质 241

一、常数项级数的基本概念 241

二、常数项级数的基本性质 243

习题12-1 244

第二节 常数项级数审敛法 245

一、正项级数及其审敛法 245

二、交错级数及其审敛法 248

三、绝对收敛与条件收敛 249

习题12-2 250

第三节 幂级数 251

一、函数项级数的概念 251

二、幂级数及其收敛性 251

三、幂级数的运算 254

习题12-3 255

第四节 函数展开成幂级数 255

一、泰勒（Taylor）公式 255

二、利用麦克劳林级数将函数展开成幂级数 256

三、函数幂级数展开式的应用 258

习题12-4 260

第五节 傅里叶级数 260

一、三角级数与三角函数系 260

二、周期为2π的函数展开成傅里叶级数 261

三、函数展开成正弦级数或余弦级数 265

四、周期为21的函数的傅里叶级数 266

习题12-5 267

第六节 应用与实践 267

第十三章 拉普拉斯变换 269

第一节 拉普拉斯变换的概念和性质 269

一、拉普拉斯变换的概念 269

二、拉氏变换的性质 271

习题13-1 274

第二节 拉普拉斯逆变换 274

一、拉氏逆变换的求法 275

二、单位脉冲函数及其拉氏变换 275

习题13-2 277

第三节 拉普拉斯变换应用举例 277

习题13-3 279

复习题13 279

习题答案 281