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第一章 函数 1

1.1 集合、区间、邻域 1

一、集合 1

二、实数的绝对值 2

三、区间和邻域 3

习题1-1 5

1.2　函数的概念 5

一、变量与常量 5

二、函数的概念 5

三、函数的表示法与分段函数 8

习题1-2 9

1.3 函数的几种特性 10

一、函数的有界性 10

二、函数的奇偶性 11

三、函数的单调性 12

四、函数的周期性 13

习题1-3 14

1.4 反函数与复合函数 15

一、反函数 15

二、复合函数 17

习题1-4 19

1.5 初等函数 20

一、基本初等函数 20

二、初等函数 24

三、双曲函数 25

四、建立函数关系式举例 26

习题1-5 28

学习指导 29

复习思考题（一） 33

第二章 极限与连续 35

2.1 数列的极限 35

一、数列的概念及其性质 35

二、数列的极限 36

三、数列的收敛性与有界性的关系 39

习题2-1 42

2.2 函数的极限 43

一、自变量趋向于无穷时函数的极限 43

二、自变量趋向于有限值时函数的极限 44

三、函数极限的性质定理 48

习题2-2 48

2.3 无穷小量和无穷大量 49

一、无穷小量的概念及运算 49

二、无穷大量的概念 50

三、无穷大与无穷小的关系 52

四、具有极限的函数与无穷小的关系 52

习题2-3 53

2.4 极限的运算法则 54

一、极限的四则运算法则 54

二、复合函数的极限 58

三、极限的不等式定理 59

习题2-4 59

2.5 极限存在的夹逼准则 两个重要极限 60

一、极限存在的夹逼准则 60

二、两个重要极限 62

习题2-5 66

2.6 无穷小的比较 67

一、无穷小比较的概念 67

二、等价无穷小的性质及其应用 68

习题2-6 69

2.7 函数的连续性与间断点 70

一、函数的连续性 70

二、左、右连续及连续的充要条件 72

三、函数的间断点及其分类 73

习题2-7 76

2.8 连续函数的运算及初等函数的连续性 76

一、连续函数的四则运算 76

二、反函数与复合函数的连续性 77

三、初等函数的连续性 78

习题2-8 79

2.9 闭区间上连续函数的性质 79

一、最大值和最小值定理 79

二、介值定理 81

习题2-9 82

学习指导 83

复习思考题（二） 87

第三章 导数与微分 91

3.1 导数的概念 91

一、变化率问题举例 91

二、导数的定义 92

三、根据定义求导数举例 94

四、导数的几何意义 96

五、函数的可导性与连续性的关系 98

习题3-1 99

3.2 函数的四则运算求导法则 100

一、函数的和、差求导法则 100

二、函数的积、商求导法则 101

习题3-2 104

3.3 反函数的导数 105

一、反函数的求导法则 105

二、指数函数的导数 105

三、反三角函数的导数 106

习题3-3 107

3.4 复合函数的求导法则 107

习题3-4 112

3.5 初等函数的导数和分段函数的求导举例 113

一、初等函数的导数 113

二、分段函数求导举例 114

习题3-5 115

3.6 高阶导数 116

习题3-6 118

3.7 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 119

一、隐函数的导数 119

二、对数求导法 121

三、由参数方程所确定的函数的导数 122

习题3-7 124

3.8 函数的微分 125

一、微分的定义 125

二、函数可微与可导之间的关系 126

三、微分的几何意义 128

四、函数的微分公式与微分法则 128

五、复合函数的微分法则与微分形式不变性 129

六、微分在近似计算中的应用 131

习题3-8 133

学习指导 134

复习思考题（三） 140

第四章 中值定理与洛必达法则4.1 中值定理&. 143

一、罗尔定理 143

二、拉格朗日定理 145

三、柯西定理 147

习题4-1 149

4.2 洛必达法则 149

一、0/0和∞/∞型未定式的洛必达法则 150

二、其他未定式的计算 152

习题4-2 154

4.3 泰勒公式 154

习题4-3 159

学习指导 160

复习思考题（四） 165

第五章 导数的应用 167

5.1 函数的单调性的判定法 167

习题5-1 171

5.2 函数的极值及其求法 171

习题5-2 176

5.3 最大值、最小值问题 176

一、函数在闭区间上的最大值和最小值 177

二、实际问题中的最大值和最小值 178

习题5-3 181

5.4 曲线的凹凸性与拐点 182

一、曲线的凹凸性 182

二、曲线的拐点 184

习题5-4 185

5.5 函数图形的描绘 186

一、曲线的水平渐近线与铅直渐近线 186

二、函数图形的描绘 186

习题5-5 189

5.6 曲率 190

一、弧微分 190

二、曲率的概念及计算公式 191

三、曲率半径与曲率圆 195

习题5-6 196

学习指导 197

复习思考题（五） 202

第六章 不定积分 205

6.1 原函数与不定积分 205

一、原函数与不定积分的概念 205

二、基本积分表 208

三、不定积分的性质 210

习题6-1 213

6.2 换元积分法 214

一、第一类换元法 214

习题6-2(1) 221

二、第二类换元法 222

习题6-2(2) 226

三、基本积分表的扩充 227

习题6-2(3) 228

6.3 分部积分法 229

习题6-3 234

6.4 有理函数的积分 235

一、把有理真分式化为部分分式之和 235

二、有理真分式的积分 238

习题6-4 243

6.5 三角函数有理式的积分及简单无理函数的积分举例 243

一、三角函数有理式的积分 243

二、简单无理函数的积分举例 246

习题6-5 248

学习指导 248

复习思考题（六） 257

第七章 定积分 261

7.1 定积分的概念 261

一、引入定积分的两个实例 261

二、定积分的定义 264

三、定积分的几何意义 265

习题7-1 268

7.2 定积分的性质 中值定理 269

习题7-2 274

7.3 牛顿－莱布尼兹公式 275

一、变上限的定积分 275

二、牛顿－莱布尼兹公式 277

习题7-3 280

7.4 定积分的换元积分法 282

习题7-4 287

7.5 定积分的分部积分法 288

习题7-5 292

7.6 定积分的近似计算法 292

一、矩形法 293

二、梯形法 293

三、抛物线法 293

习题7-6 296

7.7 广义积分 296

一、无穷区间上的广义积分 297

二、无界函数的广义积分 300

习题7-7 303

学习指导 304

复习思考题（七） 312

第八章 定积分的应用 316

8.1 平面图形的面积 316

一、直角坐标情形 317

二、极坐标情形 320

习题8-1 321

8.2 某些特殊立体的体积 322

一、平行截面面积为已知的立体的体积 322

二、旋转体的体积 324

习题8-2 326

8.3　平面曲线的弧长 327

一、直角坐标情形 327

二、参数方程情形 328

三、极坐标情形 330

习题8-3 331

8.4　定积分在物理、力学中的应用举例 332

一、功 332

二、水压力 335

习题8-4 338

学习指导 339

复习思考题（八） 345

第九章　向量代数 349

9.1 空间直角坐标系 349

一、空间直角坐标系 349

二、空间内点的直角坐标 349

三、空间内两点间的距离公式 350

习题9-1 351

9.2 向量的概念及其几何运算 352

一、向量的概念 352

二、向量的加、减运算 353

三、数与向量的乘法 354

习题9-2 356

9.3 向量的坐标 356

一、向量在轴上的投影 357

二、向量的坐标 358

三、向量线性运算的坐标表示式 360

四、向量的模及方向余弦的坐标表示式 362

习题9-3 364

9.4 向量的数量积 365

一、数量积的定义及其运算性质 365

二、数量积的坐标表示式及两个向量垂直的充分必要条件 367

习题9-4 369

9.5 向量的向量积 370

一、向量积的定义及其运算性质 370

二、向量积的坐标表示式及两个向量平行的充分必要条件 372

习题9-5 374

学习指导 374

复习思考题（九） 377

第十章　空间解析几何 379

10.1　空间平面及其方程 379

一、平面的点法式方程 379

二、平面的一般方程 380

三、平面的截距式方程 382

四、两平面的夹角及两平面平行或垂直的条件 383

五、点到平面的距离公式 384

习题10-1 385

10.2　空间直线及其方程 386

一、空间直线的一般方程 386

二、空间直线的点向式、两点式及参数方程 386

三、两直线的夹角及两直线平行或垂直的条件 389

四、直线与平面的夹角及平行或垂直的条件 390

五、平面束方程 391

习题10-2 395

10.3　空间曲面及其方程 396

一、曲面与方程的概念 396

二、球面 397

三、柱面 397

四、旋转曲面 398

五、二次曲面 400

习题10-3 403

10.4　空间曲线及其方程 404

一、空间曲线的一般方程 404

二、空间曲线的参数方程 405

三、空间曲线在坐标面上的投影 405

习题10-4 407

学习指导 408

复习思考题（十） 412

附录 415

附录一　积分表 415

附录二　希腊字母表及初等数学常用公式 422

附录三　极坐标简介 425

附录四 某些常用的曲线方程及其图形 427