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第8章 向量代数与空间解析几何 1

8.1　向量及其线性运算 1

8.1.1　向量的概念 1

8.1.2　向量的线性运算 2

8.1.3　空间直角坐标系 4

8.1.4　向量的坐标及向量的运算 6

8.1.5　向量的模、方向余弦、投影 8

习题8.1 12

8.2　数量积　向量积　混合积 13

8.2.1　两向量的数量积 13

8.2.2　两向量的向量积 15

8.2.3　向量的混合积 17

习题8.2 19

8.3　平面及其方程 19

8.3.1　平面的点法式方程 20

8.3.2　平面的一般式方程 21

8.3.3　平面的截距式方程 22

8.3.4　两平面的夹角 23

习题8.3 25

8.4　空间直线及其方程 25

8.4.1　空间直线的一般式方程 25

8.4.2　空间直线的对称式方程和参数方程 26

8.4.3　两直线的夹角 27

8.4.4　直线与平面的夹角 28

习题8.4 31

8.5　曲面及其方程 32

8.5.1　曲面方程的概念 32

8.5.2　旋转曲面 33

8.5.3　柱面 35

习题8.5 36

8.6　空间曲线及其方程 37

8.6.1　空间曲线的一般式方程 37

8.6.2　空间曲线的参数方程 38

8.6.3　空间曲线在坐标面上的投影 39

习题8.6 41

8.7　二次曲面 41

8.7.1 椭球面 42

8.7.2　双曲面 43

8.7.3　椭圆锥面 44

8.7.4　抛物面 45

习题8.7 46

总习题8 47

第9章 多元函数微分法及其应用 49

9.1　多元函数的基本概念 49

9.1.1　平面点集 n维空间 49

9.1.2　多元函数的概念 51

9.1.3　多元函数的极限 53

9.1.4　多元函数的连续性 54

习题9.1 56

9.2　偏导数 57

9.2.1　偏导数及其计算法 57

9.2.2　高阶偏导数 60

习题9.2 62

9.3　全微分 63

9.3.1　全微分的定义 64

9.3.2　全微分在近似计算中的应用 67

习题9.3 68

9.4　多元复合函数的求导法则 69

9.4.1 多元复合函数的求导法则 69

9.4.2　全微分的形式不变性 74

习题9.4 75

9.5　隐函数的求导公式 76

9.5.1 由一个方程所确定的隐函数的求导公式 76

9.5.2 由方程组所确定的隐函数的求导公式 79

习题9.5 83

9.6　微分法在几何上的应用 84

9.6.1　空间曲线的切线与法平面 84

9.6.2　曲面的切平面与法线 88

习题9.6 91

9.7　方向导数与梯度 92

9.7.1　方向导数 92

9.7.2　梯度 95

9.7.3　向量场简介 98

习题9.7 99

9.8　多元函数的极值及其求法 100

9.8.1　多元函数的极值 100

9.8.2　函数的最大值和最小值 103

9.8.3　条件极值拉格朗日乘数法 104

9.8.4　最小二乘法 107

习题9.8 109

9.9 二元函数的泰勒公式和极值充分条件的证明 110

9.9.1　二元函数的泰勒公式 110

9.9.2　极值充分条件的证明 114

习题9.9 115

总习题9 115

第10章　重积分 118

10.1　二重积分的概念和性质 118

10.1.1　实例分析 118

10.1.2　二重积分的概念 119

10.1.3　二重积分的性质 120

习题10.1 122

10.2　二重积分的计算法 123

10.2.1　利用直角坐标计算二重积分 123

10.2.2　利用极坐标计算二重积分 131

10.2.3　二重积分的换元法 135

习题10.2 138

10.3　三重积分 141

10.3.1　三重积分的概念 141

10.3.2　三重积分的计算 142

习题10.3 151

10.4　重积分的应用 153

10.4.1　立体的体积 153

10.4.2　曲面的面积 154

10.4.3　质心 156

10.4.4　转动惯量 158

10.4.5 引力 159

习题10.4 161

总习题10 162

第11章 曲线积分与曲面积分 166

11.1　对弧长的曲线积分 166

11.1.1 曲线形构件的质量 166

11.1.2　对弧长的曲线积分的概念与性质 167

11.1.3　对弧长的曲线积分的计算 168

习题11.1 171

11.2　对坐标的曲线积分 172

11.2.1　变力沿曲线所做的功 172

11.2.2　对坐标的曲线积分的概念与性质 173

11.2.3　对坐标的曲线积分的计算 175

11.2.4　两类曲线积分之间的联系 179

习题11.2 180

11.3　格林公式及其应用 182

11.3.1　格林公式 182

11.3.2　平面上曲线积分与路径无关的条件 186

11.3.3　全微分方程 190

习题11.3 191

11.4　对面积的曲面积分 193

11.4.1 曲面型构件的质量 193

11.4.2　对面积的曲面积分的概念与性质 193

11.4.3　对面积的曲面积分的计算 194

习题11.4 197

11.5　对坐标的曲面积分 197

11.5.1　有向曲面 197

11.5.2　流向曲面一侧的流量 198

11.5.3　对坐标的曲面积分的概念与性质 199

11.5.4　两类曲面积分之间的联系 200

11.5.5　对坐标曲面积分的计算 201

习题11.5 205

11.6　高斯公式通量与散度 206

11.6.1　高斯公式 206

11.6.2　通量与散度 210

11.6.3　曲面积分与曲面无关的条件 212

习题11.6 213

11.7　斯托克斯公式　环流量与旋度 214

11.7.1　斯托克斯公式 214

11.7.2　环流量与旋度 218

11.7.3　空间曲线积分与路径无关的条件 220

习题11.7 221

总习题11 221

第12章　无穷级数 225

12.1　常数项级数的概念与性质 225

12.1.1　常数项级数的概念 225

12.1.2　常数项级数的基本性质 228

12.1.3　柯西审敛原理 231

习题12.1 232

12.2　常数项级数的审敛法 233

12.2.1　正项级数及其审敛法 233

12.2.2　交错级数及其审敛法 240

12.2.3　绝对收敛与条件收敛 242

习题12.2 244

12.3　幂级数 246

12.3.1 函数项级数的一般概念 246

12.3.2　幂级数及其收敛域 247

12.3.3　幂级数的运算与性质 251

习题12.3 255

12.4　函数展开成幂级数 255

12.4.1　泰勒级数 256

12.4.2 函数展开成幂级数的方法 258

习题12.4 264

12.5 函数幂级数展开式的应用 264

习题12.5 267

12.6　傅里叶级数 268

12.6.1　三角级数、三角函数系的正交性 268

12.6.2 函数展开成傅里叶级数 269

12.6.3　正弦级数和余弦级数 273

习题12.6 276

12.7　一般周期函数的傅里叶级数 277

习题12.7 280

总习题12 281

部分习题答案与提示 284

参考文献 307