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第1篇 微积分学 1

第1章 函数与极限 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、区间、邻域 1

1.1.2 函数的概念 2

1.1.3 函数的几种特性 4

1.1.4 反函数和复合函数 5

1.1.5 初等函数 6

1.2 极限 10

1.2.1 数列的极限 10

1.2.2 函数的极限 11

1.2.3 极限的性质 14

1.3 极限运算 14

1.3.1 极限运算法则 14

1.3.2 两个重要极限 15

1.3.3 无穷小与无穷大 16

1.4 函数的连续性 19

1.4.1 函数连续性的概念 19

1.4.2 函数的间断点 20

1.4.3 闭区间上连续函数的性质 21

习题1 22

传记1 大器晚成的现代分析之父——魏尔斯特拉斯 24

第2章 导数与微分 27

2.1 导数 27

2.1.1 导数的概念 27

2.1.2 导数的几何意义 30

2.1.3 可导与连续的关系 30

2.2 函数的求导法则 31

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 31

2.2.2 反函数的求导法则 32

2.2.3 复合函数的求导法则 32

2.2.4 隐函数的求导法则 33

2.2.5 对数求导法 34

2.2.6 基本导数公式表 35

2.2.7 高阶导数 35

2.3 微分及其应用 37

2.3.1 微分的概念 37

2.3.2 函数可微的条件 38

2.3.3 微分运算 38

2.3.4 微分的形式不变性 39

2.3.5 微分的应用 39

习题2 40

传记2 科学泰斗——牛顿 41

第3章 中值定理与导数应用 44

3.1 中值定理 44

3.1.1 罗尔定理 44

3.1.2 拉格朗日中值定理 45

3.1.3 柯西中值定理 47

3.2 导数在求不定式极限中的应用 47

3.2.1 罗必达法则 47

3.2.2 0/0型不定式 48

3.2.3 ∞/∞型不定式 48

3.2.4 其他类型的不定式 49

3.3 导数在求函数极值中的应用 51

3.3.1 函数的单调性 51

3.3.2 函数的极值理论 53

3.3.3 最大值、最小值问题 56

习题3 58

传记3 揭开350年未解之谜的孤独斗士——安德鲁·怀尔斯 59

第4章 不定积分 62

4.1 不定积分的概念与性质 62

4.1.1 原函数的概念 62

4.1.2 不定积分的定义 63

4.1.3 不定积分的性质与基本积分公式 64

4.2 不定积分的换元积分法与分部积分法 65

4.2.1 第一类换元积分法（凑微分法或配元法） 65

4.2.2 第二类换元积分法 68

4.2.3 分部积分法 70

习题4 72

传记4 罕见全才——莱布尼兹 72

第5章 定积分及其应用 75

5.1 定积分的概念与性质 75

5.1.1 定积分的概念 75

5.1.2 定积分的性质 78

5.2 微积分基本公式 79

5.2.1 积分上限的函数 79

5.2.2 牛顿——莱布尼兹公式 80

5.3 定积分的换元积分法与分部积分法 81

5.3.1 定积分的换元积分法 81

5.3.2 定积分的分部积分法 83

5.4 反常积分 83

5.5 定积分的应用 85

5.5.1 定积分的微元法 85

5.5.2 定积分在几何上的应用 86

5.5.3 定积分在经济中的应用 88

习题5 89

传记5 现代数学史上最具创造性的数学家——黎曼 90

第6章 微分方程简介 93

6.1 微分方程的基本概念 93

6.2 一阶微分方程 94

6.2.1 可分离变量的微分方程 94

6.2.2 齐次微分方程 96

6.2.3 一阶线性微分方程 97

6.2.4 微分方程应用举例 98

习题6 99

传记6 盛产数学家的家族——伯努利 100

第2篇 线性代数 103

第7章 行列式 103

7.1 n阶行列式的概念 103

7.1.1 二阶、三阶行列式 103

7.1.2 n阶行列式 106

7.2 行列式的性质及计算 109

7.2.1 行列式的性质 109

7.2.2 行列式的计算 111

7.3 克莱姆法则和n元齐次线性方程组 112

7.3.1 克莱姆法则 113

7.3.2 n元齐次线性方程组 114

习题7 114

传记7 命途多舛的挪威天才数学家——阿贝尔 115

第8章 矩阵与线性方程组 119

8.1 矩阵 119

8.1.1 矩阵的概念 119

8.1.2 几种常用的特殊矩阵 120

8.2 矩阵的运算 122

8.2.1 矩阵的加法 122

8.2.2 数与矩阵相乘 122

8.2.3 矩阵的乘法 123

8.2.4 矩阵的转置 125

8.2.5 方阵的行列式 125

8.3 逆矩阵 126

8.3.1 逆矩阵的概念 126

8.3.2 用矩阵的初等变换求逆矩阵 128

8.4 线性方程组的解 131

8.4.1 矩阵的秩及其求法 131

8.4.2 线性方程组的解 133

习题8 137

传记8 智慧的孤独与悲哀——天才少年伽罗华 138

第3篇 概率论与数理统计第9章 随机事件及其概率 141

9.1 随机事件及其运算 141

9.1.1 随机现象与随机试验 141

9.1.2 样本空间与随机事件 142

9.1.3 随机事件间的关系及运算 142

9.2 随机事件的概率 144

9.2.1 频率与概率 144

9.2.2 概率的数学定义 145

9.2.3 概率的性质 145

9.2.4 等可能概型（古典概型） 146

9.3 条件概率 147

9.3.1 条件概率的概念 147

9.3.2 乘法公式 148

9.3.3 全概率公式与贝叶斯公式 149

9.4 事件的独立性 151

9.4.1 两个事件的独立性 151

9.4.2 多个事件的独立性 152

习题9 152

传记9 彼得堡数学学派的奠基人——切比雪夫 154

第10章 随机变量及其分布 157

10.1 随机变量的概念及其分布 157

10.1.1 随机变量的概念 157

10.1.2 随机变量的分布函数 158

10.2 离散型随机变量及其分布律 159

10.2.1 离散型随机变量的分布律 159

10.2.2 几种常见离散型随机变量的概率分布 161

10.3 连续型随机变量及其概率密度 162

10.3.1 连续型随机变量的概率密度 162

10.3.2 几种常见的连续型随机变量的分布 163

10.4 随机变量的数字特征 166

10.4.1 随机变量的数学期望 166

10.4.2 随机变量的方差 169

习题10 172

传记10 概率公理体系的奠基人——柯尔莫哥洛夫 173

第11章 数理统计的基础知识 177

11.1 数理统计的基本概念 177

11.1.1 总体与样本 177

11.1.2 样本分布函数 178

11.1.3 统计量 179

11.2 抽样分布 179

11.2.1 分位点 179

11.2.2 两个重要分布 180

11.2.3 正态总体统计量的分布 182

习题11 183

传记11 数理统计学的奠基人——费歇尔 184

第12章 参数估计与假设检验 187

12.1 参数估计 187

12.1.1 点估计 187

12.1.2 估计量的评选标准 189

12.1.3 区间估计 190

12.2 假设检验 193

12.2.1 假设检验的基本概念 193

12.2.2 正态总体参数的假设检验 196

习题12 198

附录 200

附录A 标准正态函数分布表 200

附录B t分布表 202

附录C χ2分布表 204

附录D 数学软件简介 208

附录E 习题答案与提示 214

参考文献 224