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预备知识 1

第1章 函数、极限与连续 3

1.1 函数 3

1.1.1 函数的概念 3

1.1.2 函数的性质 5

1.1.3 函数的运算 6

习题1-1 8

1.2 基本初等函数 9

1.2.1 常值函数 10

1.2.2 幂函数 10

1.2.3 指数函数 11

1.2.4 对数函数 11

1.2.5 三角函数 12

1.2.6 反三角函数 14

1.2.7 幂指函数 19

习题1-2 19

1.3 数列的极限 20

习题1-3 27

1.4 函数的极限 28

1.4.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 29

1.4.2 自变量趋于有限值时函数的极限 31

习题1-4 36

1.5 极限的运算法则 37

1.5.1 极限的四则运算法则 37

1.5.2 复合函数的极限法则 41

习题1-5 42

1.6 两个重要极限 43

1.6.1 第一个重要极限？sin x/x=1 43

1.6.2 第二个重要极限？（1+1/x）x=e 45

1.6.3 复利计算问题 47

习题1-6 48

1.7 无穷小、无穷大和无穷小的比较 49

1.7.1 无穷小 49

1.7.2 无穷大 51

1.7.3 无穷小与无穷大的关系 52

1.7.4 无穷小的比较 53

习题1-7 55

1.8 函数的连续性与间断点 56

1.8.1 函数的增量 56

1.8.2 函数连续的定义 57

1.8.3 函数的间断点 60

习题1-8 61

1.9 连续函数的运算与闭区间上连续函数的性质 62

1.9.1 连续函数的运算法则 62

1.9.2 初等函数连续性 63

1.9.3 闭区间上连续函数的性质 65

习题1-9 66

第2章 导数 68

2.1 导数的概念 68

2.1.1 引例 68

2.1.2 导数的定义 71

2.1.3 用定义求导数公式举例 72

2.1.4 导数的几何意义 74

2.1.5 函数的可导性与连续性的关系 75

习题2-1 75

2.2 函数的求导法则 76

2.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 76

2.2.2 复合函数的求导法则 78

2.2.3 隐函数的求导法则 79

2.2.4 初等函数的求导公式 81

习题2-2 82

2.3 高阶导数 83

习题2-3 87

2.4 函数的微分 88

2.4.1 微分的定义 88

2.4.2 微分的公式和计算 89

2.4.3 微分的几何意义 92

2.4.4 微分在近似计算中的应用 92

习题2-4 93

第3章 微分中值定理与导数的应用 95

3.1 微分中值定理 95

3.1.1 罗尔（Rolle）定理 95

3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 98

3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 101

习题3-1 103

3.2 洛必达法则 105

3.2.1 未定式 105

3.2.2 0/0型未定式 105

3.2.3 ∞/∞型未定式 107

3.2.4 其他类型的未定式 108

习题3-2 110

3.3 泰勒公式 112

3.3.1 泰勒（Taylor）中值定理 113

3.3.2 麦克劳林（Maclaurin）公式 114

3.3.3 麦克劳林公式的应用 115

3.3.4 常用初等函数的麦克劳林公式 117

习题3-3 118

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 118

3.4.1 函数的单调性 118

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点 123

习题3-4 128

3.5 函数的极值与最值 129

3.5.1 函数的极值及其求法 129

3.5.2 最大值、最小值问题 134

习题3-5 137

3.6 函数图形的描绘 138

3.6.1 曲线的渐近线 138

3.6.2 函数图形的描绘 140

习题3-6 144

3.7 曲率 145

3.7.1 弧微分 145

3.7.2 曲率及其计算公式 148

3.7.3 曲率圆与曲率半径 151

习题3-7 152

第4章 不定积分 153

4.1 不定积分的概念与性质 153

4.1.1 原函数与不定积分的定义 153

4.1.2 基本积分表 155

4.1.3 不定积分的性质 156

4.1.4 直接积分法 157

习题4-1 158

4.2 换元积分法 159

4.2.1 第一类换元法 159

4.2.2 第二类换元法 167

习题4-2 171

4.3 分部积分法 172

习题4-3 176

4.4 有理函数的积分 177

习题4-4 180

4.5 积分表的使用 182

4.5.1 查积分表 182

4.5.2 先作变量代换再查表 182

4.5.3 用递推公式 183

习题4-5 184

第5章 定积分 185

5.1 定积分的概念与性质 185

5.1.1 问题举例 185

5.1.2 定积分的定义 189

5.1.3 定积分的几何意义 190

5.1.4 定积分的性质 191

习题5-1 193

5.2 微积分基本公式 194

5.2.1 引例 195

5.2.2 变上限积分函数及其导数 196

5.2.3 微积分基本公式 198

习题5-2 201

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 202

5.3.1 定积分的换元积分法 202

5.3.2 定积分的分部积分法 205

习题5-3 206

5.4 定积分的应用 207

5.4.1 定积分的元素法 207

5.4.2 定积分在几何应用上的应用（求面积、体积、弧长） 208

习题5-4 211

单元选修 212

附录 常用积分公式 218

部分习题参考答案 230