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目 录第十一章 多元函数微分法及其应用11.1 多元函数的概念 1

一、邻域和区域的概念（1）二、多元函数的概念 5

三、多元函数的图形 10

练习 11-1 12

11.2二元函数的极限与连续 13

一、二元函数的极限（13）二、二元函数的连续性 16

练习 11-2 20

11.3偏导数 20

一、偏导数的概念（20） 二、偏导数的求法 24

三、二元函数偏导数的几何意义（27） 四、高阶偏导数 29

练习 11-3 32

11.4全微分 33

一、全微分的概念 33

*二、全微分在近似计算和误差估计中的应用 41

练习 11-4 45

11.5多元复合函数的导数 45

一、多元复合函数的求导法则 45

二、多元复合函数的高阶偏导数 54

练习 11-5 63

一、由方程F（x，y）=0所确定的隐函数y=f（x）的求导公式 65

11.6隐函数的求导公式 65

二、由方程F（x，y，z）=0所确定的隐函数z=f（x，y）的求导公式（66） *三、由方程组所确定的隐函数的导数 69

练习 11-6 71

*11.7方向导数与梯度 71

一、方向导数（71）二、梯度 75

*练习 11-7 79

11.8微分法在几何上的应用 80

一、空间曲线的切线与法平面及其方程 80

二、空间曲面的切平面与法线及其方程 83

练习 11-8 89

11.9多元函数的极值 90

一、多元函数的极值与最值 90

二、条件极值拉格朗日乘数法 98

练习 11-9 104

习题（十一） 105

自学指导 109

复习思考题（十一） 119

测验作业题（七） 122

第十二章重积分12.1二重积分的概念与性质 124

一、二重积分的概念（124）二、二重积分的性质 131

12.2二重积分在直角坐标系中的计算法 135

练习 12-1 135

练习 12-2 151

12.3二重积分在极坐标系中的计算法 153

练习 12-3 164

12.4二重积分的应用 165

一、曲面的面积（166）二、平面薄片的重心 173

三、平面薄片的转动惯量 178

一、三重积分的概念 182

练习 12-4 182

12.5三重积分的概念及其在直角坐标系中的计算法 182

二、三重积分在直角坐标系中的计算法 185

练习 12-5 196

12.6利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 197

一、利用柱面坐标计算三重积分 198

二、利用球面坐标计算三重积分 204

练习 12-6 209

12.7三重积分的应用举例 210

习题（十二） 220

练习12-7 220

自学指导 224

复习思考题（十二） 238

测验作业题（八） 247

第十三章 曲线积分与曲面积分13.1对弧长的曲线积分 249

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 249

二、对弧长的曲线积分的计算法 251

练习 13-1 261

13.2对坐标的曲线积分 263

一、对坐标的曲线积分的概念与性质（263）二、对坐标的曲线积分的计算法（268） 三、两类曲线积分之间的关系 280

练习 13-2 282

13.3格林公式 284

练习 13-3 294

13.4平面上曲线积分与路径无关的问题 296

一、平面上曲线积分与路径无关的条件 296

二、二元函数的全微分求积 304

练习 13-4 315

13.5对面积的曲面积分 316

一、对面积的曲面积分的概念与性质 316

二、对面积的曲面积分的计算法 319

练习 13-5 329

13.6对坐标的曲面积分 330

一、对坐标的曲面积分的概念与性质（330） 二、对坐标的曲面积分的计算法（337） 三、两类曲面积分之间的关系 344

练习 13-6 346

13.7高斯公式 347

练习 13-7 354

习题（十三） 354

自学指导 357

复习思考题（十三） 373

测验作业题（九） 383

第十四章常数项级数与幂级数14.1 常数项级数的概念和性质 385

一、常数项级数的概念（385）二、级数的基本性质 388

三、级数收敛的必要条件 392

练习 14-1 394

14.2正项级数的审敛法 395

一、比较审敛法（396）二、比值审敛法［达朗贝尔（D’Alembert）判别法］（400）三、根值审敛法［柯西（Cauchy）判别法］ 403

练习 14-2 405

14.3任意项级数的审敛法 406

一、交错级数审敛法［莱布尼兹（Leibniz）准则］ 406

二、绝对收敛与条件收敛 408

14.4函数项级数的概念与幂级数 412

练习14-3 412

一、函数项级数的概念（413） 二、幂级数及其收敛性 414

三、幂级数的运算 420

练习14-4 424

14.5把函数展开成幂级数 424

一、泰勒级数（425） 二、把函数展开成幂级数 427

练习 14-5 437

14.6函数的幂级数展开式的应用 438

一、近似计算（438） 二、欧拉公式 444

练习 14-6 445

习题（十四） 446

自学指导 449

复习思考题（十四） 454

测验作业题（十） 461

第十五章傅立叶级数15.1周期为2π的函数的傅立叶级数 463

一、三角级数及三角函数系的正交性（463）二、周期为2π的函数的傅立叶级数及其收敛性（465） 三、周期为2π的函数展开为傅立叶级数（467） 四、定义在［-π，π］上的函数展开为傅立叶级数 471

练习 15-1 476

15.2正弦级数和余弦级数 478

一、正弦级数和余弦级数（478）二、定义在［0，π］上的函数展开为正弦（余弦）级数 480

练习 15-2 485

15.3周期为2l的周期函数的傅立叶级数 486

练习 15-3 493

习题（十五） 495

自学指导 499

复习思考题（十五） 502

测验作业题（十一） 505

第十六章微分方程16.1微分方程的基本概念 507

练习 16-1 512

16.2可分离变量的微分方程和齐次方程 513

一、可分离变量的微分方程（513）二、齐次方程 516

练习 16-2 522

16.3一阶线性微分方程与贝努利方程 523

一、一阶线性微分方程（523） 二、贝努利方程 529

练习 16-3 531

16.4全微分方程 532

练习 16-4 536

16.5一阶微分方程的应用举例 537

练习 16-5 547

16.6可降阶的高阶微分方程 548

一、y(n)=f(x)型的微分方程（548）二、yn=f（x，y′）型的微分方程（549）三、y =f（y，y ）型的微分方程 551

练习 16-6 554

16.7高阶线性微分方程及其解的结构 554

一、二阶线性微分方程举例（555） 二、线性微分方程解的结构 557

练习 16-7 562

16.8二阶常系数线性齐次微分方程 563

练习 16-8 569

16.9二阶常系数线性非齐次微分方程 570

一、f(x)=Pm(x)eλx型（570）二、f(x)=Pm(x)eλxcoswx（或P-(x)eλxsinws）型 574

练习 16-9 576

*16.10欧拉方程 577

*练习 16-10 580

16.11高阶微分方程的应用举例 580

练习 16-11 592

*16.12微分方程的幂级数解法举例 593

*练习 16-12 599

习题（十六） 599

自学指导 604

复习思考题（十六） 615

测验作业题（十二） 620