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目 录 1

第一篇复变函数论 1

第一章复变函数和解析函数 1

§1.1.1复数 1

§1.1.2复变函数 5

§1.1.3复变函数的极限与连续 7

§1.1.4复变函数的导数 9

§1.1.5解析函数 13

第二章复变函数的积分 18

§1.2.1复变函数的积分 18

§1.2.2柯西定理 20

§1.2.3柯西公式与高阶导数公式 23

第三章复变函数的级数 28

§1.3.1复变函数项级数 28

§1.3.2幂级数 32

§1.3.3泰勒级数 34

§1.3.4罗朗级数 38

§1.3.5单值函数的孤立奇点 42

第四章 留数定理及其应用 47

§1.4.1 留数定理 47

§1.4.2几类典型实积分的计算 52

§1.4.3物理学中的几个实积分 57

第五章解析延拓与黎曼面 62

§1.5.1解析延拓Г函数 62

§1.5.2多值函数与黎曼面 65

第六章线性常微分方程的级数解法球函数与柱函数 73

§1.6.1 二阶线性齐次常微分方程的级数解法 73

§1.6.2勒让德方程与勒让德多项式 76

§1.6.3缔合勒让德方程与缔合勒让德函数 84

§1.6.4贝塞耳方程与贝塞耳函数、诺埃曼函数、汉克耳函数 87

§1.6.5虚宗量贝塞耳方程与虚宗量贝塞耳函数 99

§1.6.6球贝塞耳方程与球贝塞耳函数 100

§2.1.1波动问题 103

第二篇数学物理方程 103

第一章定解问题 103

§2.1.2输运问题 107

§2.1.3稳定场问题 110

§2.1.4定解问题小结 113

第二章行波法与平均值法 116

§2.2.1无界弦的自由振动达朗贝尔公式及其推广 116

*§2.2.2三维无界空间的自由振动泊松公式 120

第三章分离变量法 123

§2.3.1直角坐标系中的分离变量法 123

§2.3.2柱坐标系中的分离变量法 134

§2.3.3球坐标系中的分离变量法 141

§2.3.4斯-刘型本征值问题 147

第四章积分变换法 154

§2.4.1傅里叶变换 154

§2.4.2傅里叶变换法 160

§2.4.3拉普拉斯变换 165

§2.4.4拉普拉斯变换法 171

第五章格林函数法 174

§2.5.1 δ函数 174

*§2.5.2格林函数法在稳定场问题中的应用 180

*§2.5.3格林函数法在输运问题中的应用 187

*§2.5.4格林函数法在波动问题中的应用 192

第六章变分法简介 197

*§2.6.1泛函的极值 197

*§2.6.2里兹法 定态薛定谔方程的本征值问题 200

附录Ⅰ 二阶线性齐次常微分方程w″(z)+p(z)w′(z)+q(z)w(z)=0的解 204

附录Ⅱ 几种常用的常系数常微分方程的解 206

附录Ⅲ 三角函数的正交关系 208

附录Ⅳ 微分算符？的若干常用公式 209

习题解答和答案 210

参考书目 220