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第一章 函数的极限 1

第一节 初等函数 1

一、函数的概念 1

二、基本初等函数 3

三、函数的复合 4

四、初等函数 5

五、双曲函数 6

习题1.1 8

一、数学建模的步骤 10

第二节 数学模型 10

二、例(双层玻璃窗的保暖作用) 11

习题1.2 14

第三节 函数的极限 15

一、函数的极限 15

二、极限的性质 20

三、极限思想的发展 21

习题1.3 22

第四节 权限方法 23

一、无穷大与无穷小 23

二、极限运算法则 24

三、两个重要极限 27

习题1.4 31

第五节 无穷小的比较 32

一、无穷小的比较 32

二、等价无穷小代换 34

三、极限应用一例——正矢法 36

习题1.5 39

第六节 函数的连续性 39

一、连续函数的概念 39

二、函数的间断点 42

三、初等函数的连续性 43

四、闭区间上连续函数的性质 44

习题1.6 46

第一章 复习题 47

第二章 导数与微分 49

第一节 导数的概念 49

—、引例 49

二、导数的定义 51

三、求导数举例 52

四、导数的实际意义 54

五、可导与连续的关系 57

习题2.1 58

第二节 求导法则 59

一、函数的和、差、积、商的求导法则 59

二、反函数的求导法则 61

三、复合函数的求导法则 62

习题2.2 65

第三节 隐函数的导数参数方程所确定的函数的导数 67

一、隐函数及其求导 67

二、对数求导法 68

三、参数方程所确定的函数的导数 69

习题2.3 70

第四节 高阶导致 71

一、高阶导数的概念 71

二、高阶导数的求法 71

习题2.4 74

第五节 微分及其应用 75

一、微分的概念 75

二、微分的几何意义 77

三、微分公式与微分法则 78

四、微分在近似计算中的应用 80

五、微分在误差估计中的应用 81

习题2.5 83

第二章 复习题 84

第三章 导数的应用 86

第一节 微分中值定理 86

一、罗尔中值定理 86

二、拉格朗日中值定理 87

三、柯西中值定理 89

习题3.1 90

第二节 泰勒公式 91

—、泰勒中值定理 91

二、麦克劳林公式 94

习题3.2 96

第三节 洛必达法则 97

一、“”及“”型未定式的极限 98

二、其他类型的未定式 99

三、应用洛必达法则时应注意的几个问题 101

习题3.3 102

一、函数的单调性 103

第四节 函数的单调性与极值 103

二、函数的极值 105

三、最大值、最小值 108

习题3.4 110

第五节 一元函数图形的描绘 112

一、曲线的凹凸与拐点 113

二、渐近线 115

三、函数图形的描绘方法 116

习题3.5 119

第六节 曲率 121

一、弧微分公式 122

二、曲率计算公式 123

三、曲率圆与曲率半径 126

习题3.6 128

第七节 方程的近似解法 129

习题3.7 131

第四章 不定积分 135

第一节 不定积分的概念与性质 135

一、原函数与不定积分的概念 135

二、不定积分的性质 137

四、基本积分表 138

三、不定积分的几何意义 138

习题4.1 142

第二节 换元积分法 142

一、第一类换元法(凑微分法) 142

二、第二类换元法 147

习题4.2 151

第三节 分部积分法 152

第四章 复习题 156

习题4.3 156

第五章 定积分及其应用 159

第一节 定积分的概念 159

—、引例 159

二、定积分的定义 163

三、定积分的几何意义 165

习题5.1 167

第二节 定积分的性质 167

习题5.2 171

一、积分上限函数及其导数 172

第三节 微积分基本公式 172

二、微积分基本公式 175

习题5.3 178

第四节 定积分的计算方法 179

一、换元积分法 179

二、分部积分法 184

三、近似计算法 187

习题5.4 193

第五节 定积分在几何方面的应用 194

一、定积分的微元法 195

二、平面图形的面积 197

三、体积 203

四、平面曲线的弧长 207

习题5.5 210

第六节 定积分在物理与经济方面的应用 212

一、功 213

二、液体的压力 214

三、拉(压)杆的变形 215

四、经济方面的应用 216

第七节 广义积分 219

习题5.6 219

一、无限区间上的广义积分 220

二、无界函数的广义积分 223

习题5.7 227

第五章 复习题 229

第六章 常微分方程 234

第一节 微分方程的基本概念 234

—、引例 234

二、微分方程的基本概念 235

习题6.1 237

二、可分离变量的微分方程 238

第二节 一阶微分方程 238

一、最简单的一阶微分方程的解法 238

三、齐次型微分方程 240

四、一阶线性微分方程 241

五、一阶微分方程的应用举例 245

习题6.2 250

第三节 可降阶的二阶微分方程 251

一、Y ＝f(x)型的微分方程 251

三、y ＝f(y，y )型的微分方程 252

二、Y ＝f(x，y )型的微分方程 252

第四节 二阶线性微分方程 256

一、通解形式 256

习题6.3 256

二、二阶线性常系数齐次微分方程的解法 258

三、二阶线性常系数非齐次微分方程的解法 262

四、二阶线性常系数微分方程的应用举例 265

习题6.4 268

第六章 复习题 269

一、启动 273

二、输入命令 273

第七章 Mathematica数学软件系统简介 273

第一节 基本知识 273

三、执行 275

四、退出与关机 275

第二节代数运算与作图 275

—、简单计算 275

二、函数作图 276

三、方程求解 279

习题7.1 280

一、极限运算 281

二、求导数 281

第三节一元微积分计算 281

三、积分 282

四、求泰勒多项式 283

五、数值运算 284

习题7.2 285

第四节微分方程模型 287

习题7.3 290

一、空间直角坐标系 292

第八章向量代数与空间解析几何 292

第一节空间直角坐标系 292

二、空间两点间的距离 294

习题8.1 295

第二节空间向量 295

一、空间向量的概念 295

二、向量的线性运算 296

三、向量的坐标表示 297

四、两向量的数量积 300

五、两向量的向量积 302

习题8.2 303

第三节空间平面与直线的方程 304

一、平面的方程 304

二、直线的方程 307

习题8.3 309

第四节曲面及其方程 310

一、曲面方程的概念 310

二、球面的方程 311

三、柱面的方程 311

四、旋转曲面的方程 313

五、几种常见二次曲面 314

习题8.4 316

第八章复习题 316

第九章无穷级数 318

第一节常数项级数 318

一、无穷级数的基本概念 318

二、无穷级数的基本性质 320

三、级数收敛的必要条件 321

习题9.1 323

一、比较审敛法 324

第二节正项级数及其审敛法 324

二、比值审敛法 327

习题9.2 329

第三节任意项级数 330

一、交错级数 330

二、绝对收敛与条件收敛 333

习题9.3 334

第四节幂级数 335

一、幂级数的收敛性 336

二、幂级数的性质 339

习题9.4 341

第五节函数的幂级数展开 342

一、麦克劳林级数 342

二、将函数展开成幂级数的两种方法 343

三、椭圆周长的近似公式 346

习题9.5 347

第六节傅里叶级数介绍 348

一、周期为2π的函数的傅里叶级数 348

二、周期为2ι的函数的傅里叶级数 354

三、定义在有限区间上的函数的展开 357

习题9.6 360

第九章复习题 361

第十章多元函数微分学 363

第一节多元函数的基本概念 363

一、多元函数概念 363

二、二元函数的极限与连续 367

习题10.1 370

第二节偏导数 371

一、偏导数的概念 371

二、高阶偏导数 374

习题10.2 376

第三节全微分与方向导数、梯度 377

一、全微分的定义 377

二、全微分在近似计算中的应用 380

三、方向导数 382

四、梯度 383

习题10.3 385

第四节复合函数与隐函数求导法 386

一、复合函数求导法 386

二、隐函数求导法 389

习题10.4 391

第五节偏导数的应用 392

一、偏导数的几何应用 392

二、多元函数的极值 395

习题10.5 403

第六节偏微分方程简介 405

一、偏微分方程的一般概念 405

二、与常微分方程的比较 405

三、分离变量法 406

第十章复习题 409

习题10.6 409

第十一章多元函数的积分学 411

第一节二重积分的概念 411

习题11.1 415

第二节二重积分的计算 415

一、直角坐标系下二重积分的计算 416

二、极坐标系下二重积分的计算 420

习题11.2 423

一、三重积分 424

第三节三重积分、曲线积分、曲面积分简介 424

二、对弧长的曲线积分 428

三、对面积的曲面积分 430

习题11.3 432

第四节二重积分在工程力学中的应用 433

一、重心与形心 433

二、平面图形的几何性质 438

三、转动惯量 441

习题11.4 442

一、空间图形的画法 444

第五节Mathematica数学软件系统在多元微积分中的应用 444

二、偏导数与全微分 446

三、重积分 446

习题11.1 447

第六节山区公路选线模型 448

一、问题的提出 448

二、模型假设 449

三、绘三维图——看看该山区的立体形象 450

四、画等值线图——看看该山区的平面形象 450

六、画横断面图——为了选择隧道口的位置 451

五、画密度图——为了确定桥头和隧道候选点的平面位置 451

七、四个值得进一步研究的问题 452

第十一章复习题 452

第十二章拉普拉斯变换 454

第一节拉氏变换的概念及常见的拉氏变换 454

习题12.1 458

第二节拉氏变换的性质 459

习题12.2 465

第三节拉普拉斯逆变换 465

习题12.3 468

第四节拉氏变换应用举例 469

习题12.4 471

第十二章复习题 472

附录I常用函数的拉氏变换表 473

附录II几种常用的曲线 474

附录III初等数学公式 478

附录IV希腊字母表 481

习题参考答案 482

参考文献 514