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第一章 尼氏基本定理 1

1 第一基本定理 1

1．1 定义 1

1．2 钱笙公式 3

1．3 征量的不等式 4

1．4 第一基本定理 5

2 亚纯函数的征量 7

2．1 均量性质 7

2．2 密量与征量 10

2．3 线性变换 11

2．4 有理函数 12

2．5 整函数e~c~z 12

3．1 亚纯函数的阶 17

3 尼氏因子分解定理 17

3．2 对数导数 19

3．3 因子分解 21

4 m(r，f_1/f)的估计 30

4．1 叙述 30

4．2 线性函数的均量 31

4．3 logn的估计 33

4．4 定理7的证明 34

5 第二基本定理 36

5．1 三密量不等式 36

5．2 一般形式 38

6 余项A(r，f) 41

6．1 波勒耳引理 41

6．3 小项 46

6．2 A(r，f)的估计 46

7．1 定义 48

7 亏量 48

7．2 亏量定理 49

7．3 重值 52

7．4 有理函数 53

8 小函数 54

8．1 定义 54

8．2 三密量不等式的推广 54

8．3 亏函数 55

习題 57

1 两个不等式 59

1．1 消去log+log+1/x 59

第二章 导数 59

1．2 消去log+U(s) 60

2 界囿关系 62

2．1 用T(r，f)界囿T(r，f~(l)) 62

2．2 用T(r，f~l)界囿T(r，f) 65

2．3 阶与下阶 71

3 米老克斯理论 72

3．1 微分多项式 72

3．2 米老克斯不等式 75

3．3 导数的简亏量 77

4 赫门不等式 78

4．1 叙述 78

4．2 N_1(r，f)的上界 79

4．3 定理8的证明 81

4．4 f(z)与f~(k)(z)的取值 83

5 波鲁亚理论 84

5．1 导数性质 84

5．2 定理9(1)的证明 84

5．3 根的存在 86

5．4 定理9(2)的证明 88

5．5 至少两个极点 92

5．6 无零点的亚纯函数 93

习题 95

第三章 亏量理论 96

1 亏量级数 96

1．1 叙述 96

1．2 振幅 97

1．3 两个不等式 99

1．4 征量的一个不等式 101

1．5 最小值 102

1．6 U(θ_o，θ_p，ψ_1) 104

1．7 U(θ_o，I_p，ψ_2) 106

1．8 ∑m_p|I_p|~(1-β) 108

1．9 函数Kf(z) 109

1．10 点集E_n 110

1．11 定理1的证明 112

1．12 0＜a＜1/3 114

2 K(f) 118

2．1 叙述 118

2．2 波鲁亚峰 119

2．3 征量的上界 120

2．4 定理3的证明 122

2．5 整函数 124

3 哥德培克理论 126

3．1 叙述 126

3．2 凸函数的性质 126

3．3 定理6的证明 129

3．4 正零点与负极点 130

4 椭圆定理 133

4．1 叙述 133

4．2 简化 136

4．3 函数f(z) 137

4．4 logf(z)的积分表示 139

4．5 T(r，f)的积分表示 140

4．6 定积分的估计 143

4．7 (4)的证明 144

4．8 (5)的证明 146

4．9 推论 147

4．10 精确性 151

5 亏量与极限 158

5．1 叙述 158

5．2 函数g(z，b) 160

5．3 函数X(x) 162

5．4 函数G(z) 163

5．5 log|f(z)|的上界 165

5．6 T(r，f)的上界 167

5．7 无穷积分的估计 168

5．8 定理9的证明 171

习题 171

1．2 界囿定理 173

1．1 叙述 173

1 肖特克定理 173

第四章 例外值 173

1．3 定理1的证明 177

1．4 其他形式 180

1．5 朗道定理 182

2 毕卡定理 183

2．1 有理函数 183

2．2 整函数 183

2．3 亚纯函数 184

2．4 B值 185

2．5 关系 186

2．6 孤立本性奇点 187

3．1 渐近值与P值 191

3 路线 191

3．2 相邻路线 193

3．3 渐近值与B值 196

习题 198

第五章 正规族理论 199

1 匀趋 199

1．1 覆盖定理 199

1．2 匀向∞ 200

1．3 局部匀敛 201

2 正倒匀敛 202

2．1 定义 202

2．2 极限函数 202

2．3 解析函数项序列 205

3．1 定义 207

3．2 等价性 207

3 正规族 207

3．3 解析函数族 209

4 正规定则 210

4．1 覆盖域 210

4．2 线性运算 211

4．3 有界定则 213

4．4 两值定则 213

4．5 三值定则 215

4．6 充要定则 216

习题 219

第六章 球征量 220

1 球距 220

1．1 测地投影 220

1．2 定义与性质 221

1．3 球距圆 224

1．4 球距卡当定理 226

2 球面 226

2．1 面积元素 226

2．2 旋转 228

3 格林公式 230

3．1 单连域 230

3．2 多连域 231

3．3 关键等式 232

4 亚历富斯征量 234

4．1 定义 234

4．2 关系 237

4．3 尼氏第一基本定理 237

4．4 T_o(r，f)的性质 240

5．1 几何意义 242

5 几何方法 242

5．2 几何证明 243

6 比较 244

6．1 n(r，a)与A(r) 244

6．2 赫门定理 246

习题 250

第七章 茹利亚方向 252

1 定义 252

1．1 与P值的联系 252

1．2 充圆 253

1．3 关系 254

2 存在定理 256

2．1 叙述 256

2．2 均匀有界 256

2．3 不正规 258

2．4 定理1的证明 259

3 标量正值区间的端点 260

3．1 叙述 260

3．2 充圆的存在性 261

3．3 定理2的证明 262

3．4 公共J线 263

4 角域 264

4．1 角域S(π/2) 264

4．2 部分和的上界 264

4．3 定积分的上界 265

4．4 关键引理 266

4．5 充圆存在 270

4．6 定理3的证明 271

4．7 超整函数 272

5．1 ρ＞1/2 274

5 J线的条数 274

5．2 ρ=1/2 275

习题 276

第八章 波勒耳方向 277

1 范礼隆定理 277

1．1 叙述 277

1．2 定理2的证明 278

1．3 定理1的证明 285

2 征量与密量 288

2．1 球距三密量不等式 288

2．2 定理3的证明 289

2．3 密量的下界 293

3．1 定义 295

3 m幂充圆 295

3．2 存在定理 296

3．3 覆盖圆域 296

3．4 n(？，a)的上界 299

3．5 n(？，a)的下界 300

3．6 定理5的证明 302

4 ρ阶B线 303

4．1 定义 303

4．2 ρ阶充圆序列 304

4．3 ρ阶B线的存在性 305

4．4 J线 306

习题 308

参考文献 309