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第1章 函数与极限 1

1.1 函数及其性质 2

1.1.1 集合概念 2

1.1.2 集合的运算 3

1.1.3 区间与邻域 4

1.1.4 映射 6

1.1.5 函数的概念 8

1.1.6 函数的特性 13

1.1.7 反函数与复合函数 16

1.1.8 函数的四则运算 19

1.1.9 初等函数 19

习题1.1 22

1.2 数列的极限 23

1.2.1 数列极限的定义 24

1.2.2 数列极限的性质 29

习题1.2 31

1.3 函数的极限 32

1.3.1 函数极限的定义 32

1.3.2 函数极限的性质 38

习题1.3 40

1.4 极限的运算法则 40

1.4.1 四则运算法则 41

1.4.2 复合运算法则 47

习题1.4 49

1.5 极限存在准则两个重要极限 50

1.5.1 夹逼原理 50

1.5.2 单调有界准则 52

1.5.3 Cauchy收敛准则 54

1.5.4 两个重要极限 55

习题1.5 60

1.6 无穷小与无穷大 62

1.6.1 无穷小 62

1.6.2 无穷大 63

1.6.3 无穷小与无穷大的运算 64

1.6.4 无穷小的比较 66

习题1.6 70

1.7 函数的连续性 72

1.7.1 连续函数的定义 72

1.7.2 函数的间断点及其分类 75

1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性 77

1.7.4 闭区间上连续函数的性质 82

1.7.5 函数的一致连续性 86

习题1.7 87

习题1 89

第2章 一元函数微分学 92

2.1 导数及微分 93

2.1.1 引例 94

2.1.2 导数概念 95

2.1.3 导数的几何意义 97

2.1.4 可导与连续的关系 98

2.1.5 求导数的例题 99

2.1.6 函数的和、积、商的导数 101

2.1.7 反函数的导数 103

2.1.8 复合函数的导数 104

2.1.9 高阶导数 107

2.1.10 隐函数的求导法则 112

2.1.11 对数求导法 114

2.1.12 参数方程所确定的函数的导数 115

2.1.13 微分概念 117

2.1.14 微分公式与微分运算法则 119

2.1.15 微分应用于近似计算及误差的估计 121

习题2.1 124

2.2 微分中值定理 127

2.2.1 微分中值定理 127

2.2.2 Taylor公式 135

2.2.3 L′Hospital法则 144

习题2.2 149

2.3 导数的应用 151

2.3.1 函数的单调性的判定 152

2.3.2 函数的极值及其求法 155

2.3.3 最大值及最小值的求法 158

2.3.4 曲线的凹凸性及其判定法 161

2.3.5 曲线的拐点及其求法 164

2.3.6 曲线的渐近线 166

2.3.7 函数图形的描绘方法 169

2.3.8 弧微分 曲率 172

2.3.9 曲率圆与曲率半径 176

习题2.3 177

习题2 179

第3章 一元函数积分学 185

3.1 不定积分 185

3.1.1 原函数与不定积分的概念 185

3.1.2 不定积分的性质 188

3.1.3 基本积分表 189

3.1.4 换元积分法 192

3.1.5 分部积分法 204

3.1.6 有理函数的分解 213

3.1.7 有理函数的积分 216

3.1.8 三角函数的有理式的积分 217

3.1.9 简单无理函数的积分 220

3.1.10 关于积分问题的一些补充说明 222

习题3.1 224

3.2 定积分 227

3.2.1 曲边梯形的面积 变力所作的功 227

3.2.2 定积分的概念 229

3.2.3 定积分的性质 中值定理 234

3.2.4 Newton-Leibniz公式 238

3.2.5 用换元法计算定积分 243

3.2.6 用分部积分法计算定积分 248

3.2.7 广义积分 251

习题3.2 257

3.3 定积分的应用 259

3.3.1 平面图形的面积 259

3.3.2 体积 264

3.3.3 平面曲线的弧长 267

3.3.4 定积分在物理、力学上的应用 268

习题3.3 273

习题3 274

第4章 无穷级数 277

4.1 正项级数 278

4.1.1 常数项级数概念 278

4.1.2 常数项级数的基本性质 280

4.1.3 正项级数及其审敛法 282

习题4.1 287

4.2 交错级数与任意项级数 289

4.2.1 交错级数及其审敛法 289

4.2.2 条件收敛与绝对收敛 290

习题4.2 292

4.3 幂级数 294

4.3.1 函数项级数的概念 294

4.3.2 幂级数及其收敛半径 294

4.3.3 幂级数的运算性质 298

4.3.4 幂级数和函数性质 298

习题4.3 300

4.4 函数展开成幂级数 301

4.4.1 Taylor级数 301

4.4.2 函数展开成幂级数 304

4.4.3 函数展开成幂级数的运用 307

习题4.4 309

4.5 Fourier级数 310

4.5.1 三角级数、三角函数系的正交性 310

4.5.2 周期为2π的周期函数的Fourier级数 311

4.5.3 周期为2l的周期函数的Fourier级数 316

4.5.4 Fourier级数的复数形式 317

习题4.5 318

4.6 函数展开成正弦级数与余弦级数 319

习题4.6 324

习题4 325

附录 327

附录一 常用的初等数学公式 327

附录二 常用的平面曲线图形 330

附录三 积分表 334

习题参考答案 334

第1章 334

第2章 348

第3章 355

第4章 359

参考文献 365