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第十章 多元函数积分学 1

10.1 二重积分 1

一、二重积分的概念和性质 1

二、二重积分的计算 5

10.2 三重积分 15

一、三重积分的概念 15

二、利用直角坐标计算三重积分 16

三、三重积分变换 21

10.3 重积分的应用 24

一、曲面的面积 24

二、重心 26

三、转动惯量 28

四、引力 30

10.4 对弧长的曲线积分 31

一、对弧长的曲线积分的概念与性质 31

二、对弧长的曲线积分的计算法 33

10.5 对坐标的曲线积分 35

一、对坐标的曲线积分的概念与性质 35

二、对坐标的曲线积分的计算法 37

10.6 格林公式及其应用 40

一、格林公式 40

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 43

三、二元函数的全微分求积 45

10.7 对面积的曲面积分 47

一、对面积的曲面积分的概念与性质 47

二、对面积的曲面积分的计算 48

10.8 对坐标的曲面积分 50

一、对坐标的曲面积分的概念与性质 50

二、对坐标的曲面积分的计算法 53

10.9 高斯公式与斯托克斯公式 56

一、高斯公式 56

二、斯托克斯公式 59

习题十 60

第十一章 无穷级数 69

11.1 数项级数 69

一、数项级数的基本概念 69

二、正项级数的审敛法 74

三、级数的绝对收敛与条件收敛 81

11.2 幂级数 84

一、函数项级数的概念 84

二、幂级数及其收敛性 85

三、幂级数的和函数 90

四、函数的泰勒公式与幂级数展开 93

11.3 傅里叶级数 100

一、三角级数 100

二、以2π为周期的函数的傅里叶级数 101

三、收敛定理 103

四、函数的傅里叶级数展开的例 105

五、正弦级数和余弦级数 107

六、一般周期函数的傅里叶级数 109

习题十一 112

第十二章 微分方程与差分方程 120

12.1 微分方程·可分离变量的方程 120

一、微分方程的基本概念 120

二、可分离变量的一阶微分方程 123

12.2 齐次方程与全微分方程 125

一、齐次微分方程 125

二、全微分方程 128

12.3 一阶线性方程 130

一、一阶线性齐次方程的解法 131

二、一阶线性非齐次方程的解法 131

三、伯努利方程 134

12.4 可降阶的二阶微分方程 135

一、可直接积分求解的微分方程 135

二、不显含未知函数y的微分方程 135

三、不显含自变量x的二阶微分方程 136

12.5 高阶线性微分方程 136

一、二阶常系数线性齐次方程的通解 137

二、二阶常系数线性非齐次方程 138

12.6 差分方程初步 142

一、基本概念 142

二、一阶常系数线性差分方程 145

三、非齐次方程的通解与特解 146

习题十二 149

第十三章 再论极限 154

13.1 极限概念的回顾 154

13.2 确界定理 155

一、有界集 155

二、确界原理 156

13.3 单调有界定理 158

13.4 致密性定理与上、下极限 162

一、致密性定理 162

二、上、下极限 163

13.5 函数极限的归结原则 166

13.6 柯西收敛准则 168

一、数列极限的柯西收敛准则 168

二、函数极限的柯西收敛准则 170

三、完备的距离空间 171

13.7 区间套定理 172

13.8 有限覆盖定理 174

一、有限覆盖定理 174

二、实数连续基本定理的等价性 175

习题十三 176

第十四章 再论连续 181

14.1 连续函数的局部性质 181

一、函数在一点连续的意义 181

二、连续函数的局部保号性 183

14.2 闭区间上的连续函数的性质 184

一、有界性 184

二、介值性 185

14.3 一致连续函数 186

一、一致连续的概念 186

二、一致连续函数的性质 187

三、一致连续定理 188

14.4 非闭区间上的连续函数的性质 189

14.5 紧集上的连续函数的性质 191

14.6 实数连续性定理的应用 194

习题十四 195

第十五章 再论微分 199

15.1 一阶微分中值定理 199

一、导数概念及费马定理 199

二、微分中值定理及导函数性质 200

三、多元函数微分中值定理 206

15.2 高阶微分中值定理 208

一、一元函数泰勒公式 208

二、二元函数泰勒公式 214

15.3 凸函数 216

15.4 隐函数存在定理 222

一、单个隐函数 222

二、隐函数组 227

三、逆映射定理 230

四、空间参数方程曲面的法线 235

习题十五 236

第十六章 再论级数 241

16.1 数项级数的收敛性 241

一、正项级数判别法 241

二、一般项级数 245

三、收敛级数的若干性质 249

16.2 函数列与函数项级数的一致收敛性 255

一、函数列的一致收敛性 255

二、函数项级数一致收敛的概念 262

三、利用一般项判断函数项级数一致收敛 264

16.3 一致收敛的极限函数的性质 268

一、函数列的极限函数 268

二、函数项级数的和函数 272

16.4 幂级数的性质 276

一、幂级数的内闭一致收敛性 276

二、幂级数和函数的性质 277

16.5 傅里叶级数的收敛判别法 280

一、狄利克雷积分 281

二、Riemann-Lebesgue引理及推论 282

三、傅里叶级数的收敛定理 284

习题十六 291

第十七章 再论积分 297

17.1 定积分与重积分的定义 297

17.2 达布上和与达布下和 299

17.3 函数可积的条件 302

17.4 含参变量积分 305

一、连续性（积分号下取极限） 305

二、可微性（积分号下求导） 307

三、可积性（交换积分顺序） 309

17.5 反常积分的收敛性 311

一、无穷积分的性质 311

二、比较判别法 312

三、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法 314

四、瑕积分 316

五、含参变量反常积分 318

六、欧拉积分 321

17.6 重积分的换元法 324

17.7 场论初步 329

一、场的概念 329

二、各种积分间的联系 331

三、第二型曲面积分的计算小结 334

四、麦克斯韦方程 339

习题十七 344

部分习题参考答案 351