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第1章 映射与函数 1

1.1 集合 1

1.1.1 集合的概念 1

1.1.2 集合的运算 2

1.2 映射 3

1.2.1 映射的概念 3

1.2.2 逆映射与复合映射 3

1.3 数集 实数的绝对值 4

1.4 函数 7

1.4.1 函数的概念 7

1.4.2 函数的几种特性 9

1.4.3 反函数与复合函数 12

1.4.4 函数的运算 13

1.4.5 初等函数 13

习题1 14

第2章 数列极限 15

2.1 数列极限的概念 15

习题2.1 19

2.2 收敛数列的性质 20

习题2.2 25

2.3 数列极限存在的条件 26

习题2.3 30

第3章 函数极限 31

3.1 函数极限的概念 31

3.1.1 x→∞时函数的极限 31

3.1.2 x→x0时函数的极限 32

习题3.1 34

3.2 函数极限的性质 34

习题3.2 37

3.3 函数极限存在的条件 37

习题3.3 39

3.4 两个重要极限 39

3.4.1 第一重要极限lim x→0 sinx/x＝1 39

3.4.2 第二重要极限lim x→∞（1+1/x）x＝e 40

习题3.4 41

3.5 无穷小量与无穷大量 42

3.5.1 无穷小量 42

3.5.2 无穷小的比较 43

3.5.3 无穷大量 44

3.5.4 曲线的渐近线 45

习题3.5 47

第4章 函数的连续性 48

4.1 连续性的概念 48

4.1.1 函数连续的概念 48

4.1.2 函数的间断点及其分类 50

习题4.1 52

4.2 连续函数的性质 52

4.2.1 连续函数的局部性质 52

4.2.2 闭区间上连续函数的性质 54

4.2.3 反函数的连续性 57

4.2.4 一致连续性 57

习题4.2 59

第5章 导数和微分 60

5.1 导数的概念 60

5.1.1 导数的定义 60

5.1.2 导数的几何意义 64

习题5.1 65

5.2 求导法则 66

5.2.1 导数的四则运算 66

5.2.2 复合函数的导数 69

习题5.2 72

5.3 参变量函数的导数 73

习题5.3 74

5.4 高阶导数 74

习题5.4 77

5.5 微分 77

5.5.1 微分的概念 77

5.5.2 微分的运算法则 79

习题5.5 79

第6章 微分中值定理及其应用 80

6.1 拉格朗日定理及函数的单调性 80

6.1.1 拉格朗日定理 80

6.1.2 函数的单调性与极值 86

习题6.1 89

6.2 柯西中值定理与不定式极限 89

6.2.1 柯西中值定理 89

6.2.2 不定式极限 91

习题6.2 94

6.3 泰勒公式 95

习题6.3 99

6.4 函数的极值与最大（小）值 99

6.4.1 函数的极值 99

6.4.2 函数的最大值与最小值 102

习题6.4 103

6.5 函数的凹凸性与拐点 104

习题6.5 108

6.6 函数图像的讨论 109

习题6.6 111

第7章 实数及其完备性 112

7.1 实数 112

7.1.1 实数的小数表示 112

7.1.2 实数的基本性质 114

7.1.3 实数的绝对值和不等式 114

7.2 实数的完备性 115

7.2.1 有界集—确界原理 115

7.2.2 区间套定理 117

7.2.3 聚点定理 118

7.2.4 有限覆盖定理 119

7.2.5 实数完备性定理的等价性 120

7.3 闭区间上连续函数性质的证明 120

习题7 122

第8章 不定积分 123

8.1 不定积分的概念和性质 123

8.1.1 不定积分的概念 123

8.1.2 不定积分的性质与积分表 125

习题8.1 128

8.2 换元法 128

8.2.1 第一换元法（凑微分法） 128

8.2.2 第二换元法（第一换元法的逆形式） 132

习题8.2 135

8.3 分部积分法 136

习题8.3 139

8.4 有理函数的积分 139

习题8.4 143

8.5 三角函数有理式的积分 143

习题8.5 145

8.6 不定积分杂例与积分表的使用 145

习题8.6 147

第9章 定积分 149

9.1 定积分的概念 149

9.1.1 引例 149

9.1.2 定积分的定义 151

习题9.1 152

9.2 可积条件 153

9.2.1 可积的必要条件 153

9.2.2 可积准则 154

9.2.3 可积函数类 156

习题9.2 158

9.3 定积分的性质和积分中值定理 158

9.3.1 定积分的性质 158

9.3.2 积分中值定理 162

习题9.3 163

9.4 定积分的计算 163

9.4.1 微积分学基本定理 163

9.4.2 牛顿-莱布尼茨公式 167

9.4.3 定积分的换元法 168

9.4.4 定积分的分部积分法 170

习题9.4 171

第10章 定积分的应用 174

10.1 定积分的几何应用 174

10.1.1 定积分的微元法 174

10.1.2 平面图形的面积 175

10.1.3 旋转曲面的面积 179

10.1.4 空间立体的体积 180

10.1.5 平面曲线的弧长 183

10.1.6 曲率 187

习题10.1 190

10.2 定积分的物理应用 190

10.2.1 功与平均功率 190

10.2.2 液体对平面薄板的压力 194

10.2.3 引力 194

10.2.4 转动惯量 195

习题10.2 196

10.3 定积分的近似计算 196

10.3.1 梯形法 197

10.3.2 抛物线法 198

习题10.3 200

第11章 广义积分 201

11.1 无穷限广义积分 201

11.1.1 无穷积分的概念 201

11.1.2 无穷积分的性质 203

11.1.3 无穷积分的收敛判别法 205

习题11.1 208

11.2 无界函数的广义积分 209

11.2.1 瑕积分的概念 209

11.2.2 瑕积分的性质 211

11.2.3 瑕积分的收敛判别法 212

11.2.4 两类广义积分之间的关系 214

习题11.2 215

习题答案 216

参考文献 225