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第7章 向量代数与空间解析几何 1

7.1 向量及其运算 1

7.1.1 向量的基本概念 1

7.1.2 向量的运算 2

习题7.1 8

7.2 空间直角坐标系与向量的坐标表示 9

7.2.1 空间直角坐标系 9

7.2.2 向量的坐标表示 10

7.2.3 向量的模及其方向余弦 11

7.2.4 向量线性运算的坐标表示 12

7.2.5 向量数量积的坐标表达式 13

7.2.6 向量叉积（向量积）的坐标表达形式 14

7.2.7 混合积的坐标表示式 16

习题7.2 16

7.3 平面与直线 17

7.3.1 平面方程及其位置关系 17

7.3.2 直线方程及直线的位置关系 22

7.3.3 直线与平面的位置关系 26

7.3.4 平面束 27

习题7.3 29

7.4 空间曲面与曲线 30

7.4.1 空间曲面 30

7.4.2 空间曲线及其方程 34

7.4.3 空间曲线在坐标面上的投影 36

习题7.4 37

7.5 二次曲面 38

7.5.1 椭球面 38

7.5.2 双曲面 39

7.5.3 抛物面 41

习题7.5 42

总习题7 43

第8章 多元函数微分法及其应用 44

8.1 多元函数的基本概念 44

8.1.1 平面点集 44

8.1.2 n维空间 46

8.1.3 多元函数的概念 46

8.1.4 二元函数的图形 47

8.1.5 多元函数的极限 48

8.1.6 多元函数的连续性 50

8.1.7 二元连续函数在有界闭区域上的性质 51

习题8.1 51

8.2 偏导数 52

8.2.1 偏导数的定义及其计算法 52

8.2.2 偏导数的几何意义 54

8.2.3 高阶偏导数 56

习题8.2 57

8.3 全微分 58

8.3.1 全微分概念 58

8.3.2 全微分的应用 62

习题8.3 63

8.4 复合函数的求导法则 64

8.4.1 复合函数的偏导数法则 64

8.4.2 全微分形式不变性 68

习题8.4 69

8.5 隐函数的微分法 71

8.5.1 一个方程确定的隐函数 71

8.5.2 方程组确定的隐函数 74

习题8.5 78

8.6 多元函数微分法在几何上的应用 79

8.6.1 空间曲线的切线及法平面 79

8.6.2 曲面的切平面及法线 81

习题8.6 83

8.7 方向导数与梯度 85

8.7.1 方向导数 85

8.7.2 梯度 87

8.7.3 二元函数的等值线 89

习题8.7 89

8.8 多元函数的极值 90

8.8.1 多元函数的极值 91

8.8.2 拉格朗日条件极值 92

8.8.3 多元函数的最大值与最小值 95

习题8.8 96

总习题8 97

第9章 重积分 98

9.1 二重积分 98

9.1.1 二重积分的背景 98

9.1.2 二重积分的定义 100

9.1.3 二重积分的性质 101

9.1.4 二重积分的计算 104

习题9.1 115

9.2 三重积分 117

9.2.1 背景实例 118

9.2.2 三重积分的概念 118

9.2.3 三重积分的性质 118

9.2.4 三重积分的计算 119

习题9.2 130

9.3 重积分的应用 131

9.3.1 曲面的面积 131

9.3.2 重心 134

9.3.3 转动惯量 136

9.3.4 引力 138

习题9.3 139

总习题9 139

第10章 曲线积分与曲面积分 141

10.1 第一型曲线积分 141

10.1.1 实例 141

10.1.2 第一型曲线积分的定义及性质 142

10.1.3 第一型曲线积分的计算 143

习题10.1 147

10.2 第二型曲线积分 148

10.2.1 实例:变力沿曲线所做的功 148

10.2.2 第二型曲线积分的定义 149

10.2.3 向量值函数在有向曲线上的积分的计算法 151

习题10.2 154

10.3 格林公式 156

10.3.1 格林公式（Green公式） 156

10.3.2 平面曲线的第二型曲线积分与路径无关的条件 160

习题10.3 164

10.4 第一型曲面积分 166

10.4.1 实例 166

10.4.2 第一型曲面积分的定义 166

10.4.3 第一型曲面积分的计算 167

习题10.4 170

10.5 第二型曲面积分 172

10.5.1 基本概念 172

10.5.2 实例：流体流向曲面一侧的流量 173

10.5.3 第二型曲面积分的定义及性质 174

10.5.4 第二型曲面积分的计算法 176

习题10.5 181

10.6 高斯公式 182

10.6.1 高斯公式（（Gauss公式） 182

10.6.2 散度的定义及其物理意义 185

10.6.3 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 187

习题10.6 187

10.7 斯托克斯公式 189

10.7.1 斯托克斯公式 189

10.7.2 旋度的定义及其物理意义 192

习题10.7 195

总习题10 195

第11章 无穷级数 198

11.1 数项级数 198

11.1.1 数项级数的基本概念 198

11.1.2 无穷级数的基本性质 199

习题11.1 201

11.2 正项级数 202

习题11.2 209

11.3 一般项级数 211

11.3.1 交错级数 211

11.3.2 级数的绝对收敛与条件收敛 212

11.3.3 绝对收敛级数的性质 213

习题11.3 217

11.4 幂级数 217

11.4.1 函数项级数的一些基本概念 217

11.4.2 幂级数的基本概念 218

11.4.3 幂级数的运算 222

11.4.4 幂级数的性质 223

习题11.4 225

11.5 函数展开成幂级数 226

11.5.1 泰勒级数 226

11.5.2 函数展开成幂级数 228

习题11.5 231

11.6 函数幂级数展开式的应用 232

11.6.1 近似计算 232

11.6.2 欧拉公式 233

习题11.6 234

11.7 傅立叶级数 234

11.7.1 三角级数 234

11.7.2 以2π为周期的函数的傅立叶级数 235

11.7.3 奇偶函数的傅立叶级数 239

11.7.4 周期为2ι的周期函数的傅立叶级数 241

习题11.7 243

总习题11 244

第12章 微分方程 247

12.1 微分方程的基本概念 247

习题12.1 249

12.2 可分离变量方程 250

习题12.2 252

12.3 齐次方程 252

12.3.1 齐次方程 252

12.3.2 dy/dx=f(ax+by+c/a1x+b1y+c1)型微分方程的解法 254

习题12.3 256

12.4 一阶线性微分方程 256

12.4.1 一阶线性方程 256

12.4.2 贝努利方程 258

习题12.4 260

12.5 全微分方程 261

12.5.1 全微分方程的概念 261

12.5.2 全微分方程的解法 261

12.5.3 积分因子的概念 262

习题12.5 263

12.6 一阶微方程应用和举例 263

12.6.1 放射性物质的衰减问题 263

12.6.2 抛物线的光学性质 264

12.6.3 电路问题 265

12.6.4 流体混合问题 266

12.6.5 在动力学中的运用 266

习题12.6 267

12.7 可降阶的高阶微分方程 268

12.7.1 y″（x）=f(x)型的微分方程 268

12.7.2 F（x,y′,y″）=0型的微分方程 268

12.7.3 F（y,y′,y″）=0型的微分方程 270

12.7.4 恰当导数方程 272

习题12.7 273

12.8 二阶线性方程 274

12.8.1 二阶线性方程的概念 274

12.8.2 二阶线性齐次方程解的结构 274

12.8.3 二阶线性非齐次方程解的结构 277

习题12.8 279

12.9 二阶常系数齐次线性方程解法 279

习题12.9 283

12.10 二阶常系数线性非齐次方程解法 284

12.10.1 二阶常系数线性非齐次方程的概念 284

12.10.2 f（x）=pm（x）eax型 284

12.10.3 f(x）=eax［Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx］型 286

习题12.10 288

12.11 微分方程的幂级数解法 288

习题12.11 290

12.12 欧拉方程 290

习题12.1 2 291

12.13 线性微分方程组 292

习题12.1 3 294

总习题12 295

参考文献 297