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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 集合、常量和变量 1

1.1.2 函数 4

1.1.3 反函数和复合函数 10

1.1.4 初等函数 14

习题1-1 18

1.2 数列的极限 20

1.2.1 数列极限的定义 21

1.2.2 收敛数列的性质 24

1.2.3 数列极限的运算法则 27

1.2.4 数列极限存在的判别定理 28

习题1-2 31

1.3 函数的极限 33

1.3.1 函数极限的定义 33

1.3.2 函数极限的性质 37

1.3.3 函数极限的判别定理重要极限 42

习题1-3 46

1.4 无穷大和无穷小 47

1.4.1 无穷小 47

1.4.2 无穷大 48

1.4.3 无穷小的比较 50

习题1-4 53

1.5 连续函数 55

1.5.1 函数的连续性 55

1.5.2 函数的间断点 57

1.5.3 连续函数的运算和初等函数的连续性 59

1.5.4 闭区间上连续函数的性质 63

习题1-5 64

第2章 导数和微分 68

2.1 导数的概念 68

2.1.1 引例 68

2.1.2 导数的定义 69

习题2-1 75

2.2 函数的求导法则 77

2.2.1 函数和、差、积、商的求导法则 77

2.2.2 反函数的求导法则 79

2.2.3 复合函数的求导法则 81

2.2.4 基本求导法则与导数公式 84

习题2-2 85

2.3 高阶导数 86

2.3.1 高阶导数 86

2.3.2 莱布尼兹公式 89

习题2-3 90

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 91

2.4.1 隐函数及其求导法则 91

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 94

习题2-4 97

2.5 函数的微分 99

2.5.1 微分的定义 99

2.5.2 微分的几何意义 102

2.5.3 基本初等函数的微分公式和微分运算法则 103

2.5.4 微分在近似计算中的应用 105

习题2-5 108

第3章 微分中值定理和导数的应用 110

3.1 微分中值定理 110

3.1.1 罗尔定理 110

3.1.2 拉格朗日中值定理 112

3.1.3 柯西中值定理 115

习题3-1 116

3.2 洛必达法则 117

3.2.1 0/0型 118

3.2.2 ∞/∞型 119

3.2.3 其他型的未定式 120

习题3-2 122

3.3 泰勒公式 123

3.3.1 泰勒公式 124

3.3.2 几个常用函数的展开式 127

3.3.3 泰勒公式的应用 130

习题3-3 132

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 133

3.4.1 函数单调性的判定法 133

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点 136

习题3-4 139

3.5 函数的极值与最值 140

3.5.1 函数的极值及其求法 140

3.5.2 最大值和最小值问题 143

习题3-5 145

3.6 函数图形的描绘 146

3.6.1 渐近线 147

3.6.2 函数图形的描绘 148

习题3-6 151

3.7 曲率 152

3.7.1 曲率的概念 152

3.7.2 曲率的计算公式 154

3.7.3 曲率圆与曲率半径 156

习题3-7 157

3.8 方程的近似解 158

3.8.1 二分法 158

3.8.2 切线法 159

习题3-8 161

第4章 不定积分 162

4.1 不定积分的概念与性质 162

4.1.1 原函数 162

4.1.2 不定积分的性质和基本积分公式 163

习题4-1 165

4.2 换元积分法 165

4.2.1 第一类换元积分 166

4.2.2 第二类换元积分 169

习题4-2 171

4.3 分部积分法 172

习题4-3 174

4.4 有理函数和可以化为有理函数的积分 174

4.4.1 有理函数的积分 174

4.4.2 可以化为有理函数的积分 176

习题4-4 178

第5章 定积分 179

5.1 定积分的概念和性质 179

5.1.1 定积分的概念 179

5.1.2 定积分的基本性质 181

习题5-1 183

5.2 定积分的基本公式 184

5.2.1 积分上限函数 184

5.2.2 牛顿-莱布尼茨公式 186

习题5-2 188

5.3 定积分的计算 189

5.3.1 定积分的换元法 189

5.3.2 定积分的分部积分法 191

习题5-3 193

5.4 广义积分 194

5.4.1 无限区间上函数的广义积分 195

5.4.2 无界函数的广义积分 196

习题5-4 198

5.5 定积分的应用 198

5.5.1 定积分的微元法 198

5.5.2 定积分的几何应用 199

5.5.3 定积分的物理应用 205

习题5-5 206

第6章 空间解析几何概要 208

6.1 向量及其线性运算 208

6.1.1 向量的概念 208

6.1.2 向量的加法 209

6.1.3 向量的数乘 211

习题6-1 212

6.2 直角坐标系 213

6.2.1 空间直角坐标系 213

6.2.2 向量的坐标表示 215

习题6-2 216

6.3 向量的乘法 217

6.3.1 数量积 217

6.3.2 向量积 219

习题6-3 221

6.4 曲面与空间曲线及其方程 222

6.4.1 曲面及其方程 222

6.4.2 空间曲线及其方程 227

习题6-4 229

6.5 平面 230

6.5.1 平面的点法式方程 230

6.5.2 平面的一般方程 231

6.5.3 点到平面的距离 232

6.5.4 两平面的夹角 233

习题6-5 234

6.6 空间直线 235

6.6.1 空间直线的方程 235

6.6.2 直线与直线及平面的夹角 238

习题6-6 240

6.7 柱面、旋转曲面与二次曲面 241

6.7.1 柱面 241

6.7.2 旋转曲面 243

6.7.3 二次曲面 245

习题6-7 249

参考文献 251