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第8章 多元函数的微分学 1

8.1多元函数的基本概念 1

8.1.1 n维Euclid空间 1

8.1.2 R2空间中的点集 3

8.1.3多元函数的概念 4

习题8.1 6

8.2多元函数的极限与连续 7

8.2.1多元函数的极限 7

8.2.2多元函数的连续性 9

8.2.3有界闭区域上连续函数的性质 11

习题8.2 12

8.3偏导数与全微分 12

8.3.1偏导数 12

8.3.2高阶偏导数 16

8.3.3全微分 18

习题8.3 24

8.4复合函数偏导数的求导法则 25

习题8.4 30

8.5隐函数偏导数的求导法则 31

8.5.1由一个方程确定的隐函数的求导法则 31

8.5.2由方程组确定的隐函数的求导法则 33

习题8.5 37

8.6方向导数和梯度 38

8.6.1方向导数 38

8.6.2梯度 40

习题8.6 42

8.7二元函数的Taylor公式 43

习题8.7 46

8.8多元函数的极值 46

8.8.1极值的概念 46

8.8.2条件极值 50

习题8.8 55

8.9多元函数微分学在几何上的应用 56

8.9.1向量值函数 56

8.9.2空间曲线的切线与法平面 58

8.9.3曲面的切平面与法线 61

习题8.9 63

第9章 多元函数的积分学 65

9.1几何体上的积分及基本性质 65

9.1.1几何体上的积分 65

9.1.2几种常见形式的几何体上的积分 66

9.1.3积分的基本性质 68

习题9.1 70

9.2二重积分的计算 71

9.2.1二重积分的几何意义 71

9.2.2在平面直角坐标系下计算二重积分 72

9.2.3在极坐标系下计算二重积分 78

9.2.4二重积分的变量替换 82

习题9.2 85

9.3三重积分的计算 87

9.3.1在直角坐标系下计算三重积分 87

9.3.2在柱面坐标系下计算三重积分 92

9.3.3在球面坐标系下计算三重积分 94

习题9.3 96

9.4重积分的应用 98

9.4.1积分的元素法简介 98

9.4.2曲面的面积 99

9.4.3质心 102

9.4.4转动惯量 104

9.4.5引力 105

习题9.4 106

9.5第一类曲线积分与曲面积分的计算 106

9.5.1第一类曲线积分的计算 106

9.5.2第一类曲面积分的计算 110

习题9.5 112

9.6第二类曲线积分与曲面积分 113

9.6.1第二类曲线积分的概念与性质 114

9.6.2第二类曲线积分的计算方法 117

9.6.3第二类曲面积分的概念与性质 119

9.6.4第二类曲面积分的计算 124

习题9.6 125

9.7几种积分间的联系 126

9.7.1两类曲线积分之间的关系 127

9.7.2两类曲面积分之间的联系 128

9.7.3 Green公式 129

9.7.4 Gauss公式 138

9.7.5 Stokes公式 140

习题9.7 145

第10章 无穷级数 147

10.1常数项级数的概念及基本性质 147

10.1.1常数项级数的概念 147

10.1.2常数项级数的基本性质 149

习题10.1 153

10.2常数项级数的审敛法 154

10.2.1正项级数 154

10.2.2一般项级数 159

习题10.2 162

10.3函数项级数 163

10.3.1函数项级数的概念及基本性质 163

10.3.2函数项级数的一致收敛性及基本性质 165

习题10.3 168

10.4幂级数 168

10.4.1幂级数的基本概念及基本性质 168

10.4.2函数的Taylor展式 176

10.4.3 Taylor展式在近似计算中的应用 183

10.4.4 Euler公式 186

习题10.4 188

10.5 Fourier级数 189

10.5.1三角级数及三角函数系的概念 189

10.5.2以2πr为周期的周期函数的Fourier级数展式 191

10.5.3一般周期函数的Fourier级数展式 199

习题10.5 203

第11章 常微分方程 205

11.1微分方程的基本概念 205

习题11.1 210

11.2可分离变量的一阶微分方程 210

11.2.1可分离变量方程 210

11.2.2可化为可分离变量方程的几种类型 212

习题11.2 218

11.3一阶线性微分方程 218

习题11.3 222

11.4全微分方程 222

习题11.4 226

11.5某些高阶微分方程的降阶解法 226

11.5.1形如y（n）=f（x）的微分方程 226

11.5.2形如y ″=f （x， y′）的微分方程 227

11.5.3形如y ″=f （y， y′）的微分方程 228

习题11.5 230

11.6 n阶线性微分方程解的结构及幂级数解法 230

11.6.1 n阶线性微分方程解的结构 230

11.6.2 n阶线性微分方程的幂级数解法 235

习题11.6 238

11.7 n阶常系数线性微分方程的解法 238

11.7.1 n阶常系数齐次线性微分方程的解法 239

11.7.2 n阶常系数非齐次线性微分方程的解法 243

11.7.3 Euler方程 252

习题11.7 254

11.8常系数线性微分方程组解法举例 255

习题11.8 259

11.9微分方程的应用举例 259

习题11.9 265

习题参考答案与提示 267

参考书目 281