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第1章 素数（1） 1

1.1 整除性 1

1.2 素数 2

1.3 算术基本定理的表述 3

1.4 素数序列 3

1.5 关于素数的某些问题 5

1.6 若干记号 6

1.7 对数函数 8

1.8 素数定理的表述 8

本章附注 10

第2章 素数（2） 12

2.1 Euclid第二定理的第一个证明 12

2.2 Euclid方法的更进一步的推论 12

2.3 某种算术级数中的素数 13

2.4 Euclid定理的第二个证明 14

2.5 Fermat数和Mersenne数 15

2.6 Euclid定理的第三个证明 16

2.7 关于素数公式的进一步结果 17

2.8 关于素数的未解决的问题 19

2.9 整数模 19

2.10 算术基本定理的证明 21

2.11 基本定理的另一个证明 21

本章附注 21

第3章 Farey数列和Minkowski定理 24

3.1 Farey数列的定义和最简单的性质 24

3.2 两个特征性质的等价性 25

3.3 定理28和定理29的第一个证明 25

3.4 定理28和定理29的第二个证明 26

3.5 整数格点 27

3.6 基本格的某些简单性质 28

3.7 定理28和定理29的第三个证明 29

3.8 连续统的Farey分割 30

3.9 Minkowski的一个定理 31

3.10 Minkowski定理的证明 32

3.11 定理37的进一步拓展 34

本章附注 36

第4章 无理数 38

4.1 概论 38

4.2 已知的无理数 38

4.3 Pythagoras定理及其推广 39

4.4 基本定理在定理43～45证明中的应用 41

4.5 历史杂谈 41

4.6 ？5无理性的几何证明 43

4.7 更多的无理数 44

本章附注 46

第5章 同余和剩余 47

5.1 最大公约数和最小公倍数 47

5.2 同余和剩余类 48

5.3 同余式的初等性质 49

5.4 线性同余式 49

5.5 Euler函数φ（m） 51

5.6 定理59和定理61对三角和的应用 53

5.7 一个一般性的原理 56

5.8 正十七边形的构造 57

本章附注 61

第6章 Fermat定理及其推论 63

6.1 Fermat定理 63

6.2 二项系数的某些性质 63

6.3 定理72的第二个证明 65

6.4 定理22的证明 66

6.5 二次剩余 67

6.6 定理79的特例：Wilson定理 68

6.7 二次剩余和非剩余的初等性质 69

6.8 a（mod m）的阶 71

6.9 Fermat定理的逆定理 71

6.10 2p-1-1能否被p2整除 73

6.11 Gauss引理和2的二次特征 73

6.12 二次互倒律 76

6.13 二次互倒律的证明 78

6.14 素数的判定 79

6.15 Mersenne数的因子；Euler的一个定理 80

本章附注 81

第7章 同余式的一般性质 83

7.1 同余式的根 83

7.2 整多项式和恒等同余式 83

7.3 多项式（mod m）的整除性 84

7.4 素数模同余式的根 85

7.5 一般定理的某些应用 86

7.6 Fermat定理和Wilson定理的Lagrange证明 88

7.7 [1/2(p-1)]！的剩余 89

7.8 Wolstenholme的一个定理 90

7.9 von Staudt定理 92

7.10 von Staudt定理的证明 93

本章附注 95

第8章 复合模的同余式 96

8.1 线性同余式 96

8.2 高次同余式 98

8.3 素数幂模的同余式 98

8.4 例子 99

8.5 Bauer的恒等同余式 101

8.6 Bauer的同余式：p=2的情形 102

8.7 Leudesdorf的一个定理 103

8.8 Bauer定理的进一步的推论 105

8.9 2p-1和（p-1）！关于模p2的同余式 107

本章附注 109

第9章 用十进制小数表示数 110

9.1 与给定的数相伴的十进制小数 110

9.2 有限小数和循环小数 112

9.3 用其他进位制表示数 114

9.4 用小数定义无理数 115

9.5 整除性判别法 116

9.6 有最大周期的十进制小数 117

9.7 Bachet的称重问题 118

9.8 Nim博弈 120

9.9 缺失数字的整数 122

9.10 测度为零的集合 123

9.11 缺失数字的十进制小数 124

9.12 正规数 126

9.13 几乎所有的数都是正规数的证明 127

本章附注 130

第10章 连分数 132

10.1 有限连分数 132

10.2 连分数的渐近分数 133

10.3 有正的商的连分数 134

10.4 简单连分数 135

10.5 用简单连分数表示不可约有理分数 136

10.6 连分数算法和Euclid算法 138

10.7 连分数与其渐近分数的差 140

10.8 无限简单连分数 141

10.9 用无限连分数表示无理数 142

10.10 一个引理 144

10.11 等价的数 145

10.12 周期连分数 147

10.13 某些特殊的二次根式 149

10.14 Fibonacci数列和Lucas数列 151

10.15 用渐近分数作逼近 154

本章附注 157

第11章 用有理数逼近无理数 158

11.1 问题的表述 158

11.2 问题的推广 159

11.3 Dirichlet的一个论证方法 160

11.4 逼近的阶 161

11.5 代数数和超越数 162

11.6 超越数的存在性 163

11.7 Liouville定理和超越数的构造 164

11.8 对任意无理数的最佳逼近的度量 166

11.9 有关连分数的渐近分数的另一个定理 168

11.10 具有有界商的连分数 169

11.11 有关逼近的进一步定理 172

11.12 联立逼近 173

11.13 e的超越性 174

11.14 π的超越性 177

本章附注 180

第12章 k(1),k(i),k（p）中的算术基本定理 182

12.1 代数数和代数整数 182

12.2 有理整数、Gauss整数和k（p）中的整数 182

12.3 Euclid算法 183

12.4 Euclid算法对k（1）中的基本定理的应用 184

12.5 关于Euclid算法和基本定理的历史注释 185

12.6 Gauss整数的性质 186

12.7 k（i）中的素元 187

12.8 k（i）中的算术基本定理 189

12.9 k（p）中的整数 191

本章附注 193

第13章 某些Diophantus方程 194

13.1 Fermat大定理 194

13.2 方程x2+y2=z2 194

13.3 方程x4+y4=z4 195

13.4 方程x3+y3=z3 196

13.5 方程x3+y3=3z3 199

13.6 用有理数的三次幂之和表示有理数 201

13.7 方程x3+y3+z3=t3 203

本章附注 205

第14章 二次域（1） 208

14.1 代数数域 208

14.2 代数数和代数整数；本原多项式 209

14.3 一般的二次域k（？m） 210

14.4 单位和素元 211

14.5 k（？2）中的单位 212

14.6 基本定理不成立的数域 214

14.7 复Euclid域 215

14.8 实Euclid域 217

14.9 实Euclid域（续） 219

本章附注 220

第15章 二次域（2） 222

15.1 k（i）中的素元 222

15.2 k（i）中的Fermat定理 223

15.3 k（p）中的素元 224

15.4 k（？2）和k（？5）中的素元 225

15.5 Mersenne数M4n+3的素性的Lucas判别法 227

15.6 关于二次域的算术的一般性注释 229

15.7 二次域中的理想 230

15.8 其他的域 233

本章附注 234

第16章 算术函数φ（n），μ（n），d（n），σ（n），r（n） 235

16.1 函数φ（n） 235

16.2 定理63的进一步证明 236

16.3 M？bius函数 236

16.4 M？bius反转公式 237

16.5 进一步的反转公式 238

16.6 Ramanujan和的估计 239

16.7 函数d（n）和σk（n） 241

16.8 完全数 241

16.9 函数r（n） 242

16.10 r（n）公式的证明 244

本章附注 245

第17章 算术函数的生成函数 246

17.1 由Dirichlet级数生成算术函数 246

17.2 ζ函数 247

17.3 ζ（s）在s→1时的性状 248

17.4 Dirichlet级数的乘法 249

17.5 某些特殊算术函数的生成函数 251

17.6 M？bius公式的解析说明 253

17.7 函数A（n） 255

17.8 生成函数的进一步的例子 257

17.9 r（n）的生成函数 258

17.10 其他类型的生成函数 259

本章附注 261

第18章 算术函数的阶 263

18.1 d（n）的阶 263

18.2 d（n）的平均阶 266

18.3 σ（n）的阶 268

18.4 φ（n）的阶 269

18.5 φ（n）的平均阶 271

18.6 无平方因子数的个数 272

18.7 r（n）的阶 273

本章附注 274

第19章 分划 276

19.1 加性算术的一般问题 276

19.2 数的分划 276

19.3 p（n）的生成函数 277

19.4 其他的生成函数 279

19.5 Euler的两个定理 280

19.6 进一步的代数恒等式 282

19.7 F（x）的另一个公式 283

19.8 Jacobi的一个定理 284

19.9 Jacobi恒等式的特例 286

19.10 定理353的应用 288

19.11 定理358的初等证明 288

19.12 p（n）的同余性质 290

19.13 Rogers-Ramanujan恒等式 292

19.14 定理362和定理363的证明 294

19.15 Ramanujan连分数 296

本章附注 297

第20章 用两个或四个平方和表示数 300

20.1 Waring问题：数g（k）和G（k） 300

20.2 平方和 301

20.3 定理366的第二个证明 302

20.4 定理366的第三个和第四个证明 303

20.5 四平方定理 304

20.6 四元数 306

20.7 关于整四元数的预备定理 308

20.8 两个四元数的最高右公因子 309

20.9 素四元数和定理370的证明 310

20.10 g（2）和G（2）的值 312

20.11 定理369的第三个证明的引理 312

20.12 定理369的第三个证明：表法个数 313

20.13 用多个平方和表示数 316

本章附注 317

第21章 用立方数以及更高次幂表示数 320

21.1 四次幂 320

21.2 三次幂：G（3）和g（3）的存在性 321

21.3 g（3）的界 322

21.4 更高次幂 323

21.5 g（k）的一个下界 324

21.6 G（k）的下界 324

21.7 受符号影响的和：数v(k) 327

21.8 v（k）的上界 329

21.9 Prouhet-Tarry问题：数P(k,j) 330

21.10 对特殊的k和j,P（k,j）的估计 332

21.11 Diophantus分析的进一步的问题 334

本章附注 337

第22章 素数（3） 343

22.1 函数？（x）和ψ（x） 343

22.2 ？（x）和ψ（x）的阶为x的证明 344

22.3 Bertrand假设和一个关于素数的“公式” 346

22.4 定理7和定理9的证明 348

22.5 两个形式变换 349

22.6 一个重要的和 350

22.7 ∑p-1与∏（1-p-1） 352

22.8 Mertens定理 354

22.9 定理323和定理328的证明 356

22.10 n的素因子个数 357

22.11 ω（n）和Ω（n）的正规阶 358

22.12 关于圆整数的一个注解 361

22.13 d（n）的正规阶 361

22.14 Selberg定理 362

22.15 函数R（x）和V（ξ） 364

22.16 定理434、定理6和定理8证明的完成 367

22.17 定理335的证明 369

22.18 k个素因子的乘积 370

22.19 区间中的素数 372

22.20 关于素数对p,p+2的分布的一个猜想 372

本章附注 374

第23章 Kronecker定理 377

23.1 一维的Kronecker定理 377

23.2 一维定理的证明 378

23.3 反射光线的问题 380

23.4 一般定理的表述 382

23.5 定理的两种形式 383

23.6 一个例证 384

23.7 Lettenmeyer给出的定理的证明 385

23.8 Estermann给出的定理的证明 386

23.9 Bohr给出的定理的证明 388

23.10 一致分布 390

本章附注 391

第24章 数的几何 393

24.1 基本定理的导引和重新表述 393

24.2 简单的应用 394

24.3 定理448的算术证明 396

24.4 最好的可能的不等式 397

24.5 关于ξ2+η2的最好可能的不等式 398

24.6 关于｜ζη｜的最好可能的不等式 400

24.7 关于非齐次型的一个定理 401

24.8 定理455的算术证明 403

24.9 Tchebotaref定理 404

24.10 Minkowski定理（定理446）的逆定理 405

本章附注 409

第25章 椭圆曲线 413

25.1 同余数问题 413

25.2 椭圆曲线的加法法则 414

25.3 定义椭圆曲线的其他方程 418

25.4 有限阶点 420

25.5 有理点组成的群 424

25.6 关于模p的点群 430

25.7 椭圆曲线上的整点 430

25.8 椭圆曲线的L-级数 433

25.9 有限阶点与模曲线 436

25.10 椭圆曲线与Fermat大定理 439

本章附注 441

参考书目 445

附录 449

特殊符号以及术语索引 452

常见人名对照表 455

总索引 457

《哈代数论（第6版）》补遗 461