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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性 3

三、反函数 5

四、复合函数 5

五、初等函数 6

六、建立函数关系举例 9

习题1-1 10

第二节　数列的极限 10

一、数列极限 10

二、数列极限的e-N定义 13

三、收敛数列的性质 15

习题1-2 15

第三节　函数的极限 15

一、当x→∞时，函数f（x）的极限 15

二、当x→x0时，函数f（x）的极限 17

三、再讨论函数的极限 18

四、当x→x0时，f（x）的左极限与右极限 19

五、函数极限的性质 20

习题1-3 21

第四节　极限的运算法则 21

一、极限的运算法则 21

二、复合函数的极限法则 23

习题1-4 23

第五节　两个重要极限 24

一、第一重要极限？=1 24

二、第二重要极限？（1+？）x=e 26

习题1-5 27

第六节　无穷小量和无穷大量 27

一、无穷小量 27

二、无穷大量 28

三、无穷小的比较 29

习题1-6 30

第七节　函数的连续性 31

一、函数在一点的连续性 31

二、函数在区间的连续性 33

三、初等函数的连续性 34

习题1-7 35

复习题一 36

第二章　一元函数的导数与微分 39

第一节　导数的概念 39

一、引例 39

二、导数的定义 40

三、求导举例 42

四、导数的几何意义 44

五、函数的可导性与连续性的关系 45

习题2-1 46

第二节　函数的和、差、积、商的求导法则 46

一、函数代数和的求导法则 46

二、函数积的求导法则 47

三、函数商的求导法则 48

习题2-2 50

第三节　反函数的导数　复合函数的求导法则 50

一、反函数的导数 50

二、复合函数的求导法则 52

习题2-3 54

第四节　初等函数的导数　高阶导数 54

一、初等函数的导数 54

二、高阶导数 55

习题2-4 57

第五节 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数 57

一、隐函数的导数 57

二、由参数方程所确定的函数的导数 59

习题2-5 60

第六节　函数的微分及其应用 61

一、微分的定义 61

二、微分的几何意义 64

三、基本初等函数的微分公式和微分运算法则 64

四、微分在近似计算中的应用 66

习题2-6 67

复习题二 68

第三章 一元函数微分学的应用 70

第一节　中值定理 70

一、罗尔定理 70

二、拉格朗日中值定理 70

三、柯西中值定理 72

习题3-1 72

第二节　洛必达法则 72

习题3-2 75

第三节　函数的单调性 75

习题3-3 76

第四节 函数的极值和最值 77

一、极值及其求法 77

二、最大值与最小值 79

习题3-4 80

第五节　函数的凹凸性和拐点 81

习题3-5 82

第六节　函数图形的描绘 83

一、渐近线 83

二、函数作图 84

习题3-6 85

第七节　曲线的曲率 85

习题3-7 87

复习题三 87

第四章　不定积分 89

第一节　不定积分的概念与性质 89

一、原函数与不定积分 89

二、不定积分的几何意义 90

三、不定积分的性质 91

四、基本积分公式 91

五、基本积分公式的应用 92

习题4-1 93

第二节　换元积分法 94

一、第一类换元积分法（凑微分法） 94

二、第二类换元积分法 97

习题4-2 100

第三节　分部积分法 102

习题4-3 104

第四节　积分表的使用 105

习题4-4 107

复习题四 107

第五章　定积分及其应用 109

第一节　定积分的概念与性质 109

一、实例分析 109

二、定积分的定义 110

三、定积分的性质 113

习题5-1 116

第二节　微积分基本定理 117

一、积分上限的函数及其导数 117

二、牛顿-莱布尼茨公式 119

习题5-2 121

第三节　定积分的换元积分法和分部积分法 122

一、定积分的换元积分法 122

二、定积分的分部积分法 124

三、定积分的几个常用公式 125

习题5-3 126

第四节　广义积分 127

一、无限区间上的广义积分 127

二、无界函数的广义积分 130

习题5-4 132

第五节　定积分在几何上的应用 132

一、定积分的元素法 132

二、平面图形的面积 134

三、旋转体的体积 136

四、平面曲线的弧长 138

习题5-5 139

第六节　定积分在物理上的应用 140

一、功的计算 140

二、液体的压力计算 141

习题5-6 142

复习题五 143

第六章　常微分方程 145

第一节　微分方程的基本概念 145

习题6-1 147

第二节　一阶微分方程 147

一、可分离变量的微分方程 147

二、一阶线性微分方程 150

习题6-2 152

第三节　可降阶的高阶微分方程 152

一、y（n）＝f（x）型的微分方程 152

二、y″＝f（x,y′）型 152

三、y″＝f（y,y′）型 153

习题6-3 154

第四节　二阶常系数线性微分方程 154

一、二阶常系数线性齐次微分方程 154

二、二阶常系数线性非齐次微分方程 156

习题6-4 161

复习题六 161

第七章 向量代数与空间解析几何 163

第一节　空间直角坐标系 163

一、建立空间直角坐标系 163

二、空间点的坐标 163

三、空间两点间的距离公式 164

习题7-1 164

第二节　向量及其线性运算 165

一、向量的概念 165

二、向量加法 165

三、向量减法 166

四、向量的数乘运算 166

习题7-2 166

第三节　向量的坐标表示 166

一、向量的坐标表示 167

二、用向量的坐标形式进行向量的线性运算 167

三、向量的模与方向余弦 167

习题7-3 168

第四节　向量的数量积、向量积 169

一、向量的数量积 169

二、向量的向量积 170

习题7-4 172

第五节　平面及其方程 172

一、平面的点法式方程 172

二、平面的一般方程 173

三、两平面的夹角 174

习题7-5 175

第六节　空间直线及其方程 175

一、直线的一般方程 175

二、直线的标准式方程 176

三、直线与直线、直线与平面的位置关系 178

习题7-6 179

第七节　空间曲面与曲线 179

一、空间曲面的概念 179

二、几种常见的二次曲面 180

三、空间曲线及其在坐标面上的投影 182

习题7-7 184

复习题七 184

第八章 多元函数微分学 186

第一节　多元函数的基本概念 186

一、二元函数的定义 186

二、二元函数的几何意义 188

三、二元函数的极限 188

四、二元函数的连续性 189

习题8-1 189

第二节　偏导数与全微分 190

一、偏导数的定义及计算 190

二、二阶偏导数 191

三、全微分 192

习题8-2 194

第三节　复合函数与隐函数微分法 195

一、复合函数的求导法则 195

二、隐函数的求导法 197

习题8-3 198

第四节　偏导数的应用 198

一、曲面的切平面与法线 198

二、多元函数的极值 199

习题8-4 202

复习题八 202

第九章 多元函数积分学 204

第一节　二重积分 204

一、二重积分的概念 204

二、二重积分的性质 205

习题9-1 207

第二节　二重积分的计算 208

一、直角坐标系下的二重积分 208

二、利用极坐标计算二重积分 212

习题9-2 215

第三节　二重积分的应用 216

一、体积的计算 216

二、曲面面积的计算 217

三、平面薄片的质量与重心 219

习题9-3 221

第四节　曲线积分 221

一、对弧长的曲线积分 221

二、对坐标的曲线积分 224

三、格林公式及应用 227

习题9-4 230

第五节　三重积分简介 231

一、三重积分的概念 231

二、三重积分的计算 232

习题9-5 233

复习题九 233

第十章　无穷级数 235

第一节　数项级数 235

一、数项级数的基本概念 235

二、数项级数的性质 237

习题10-1 240

第二节　正项级数及其审敛法 240

习题10-2 244

第三节　绝对收敛与条件收敛 244

一、交错级数及其审敛法 245

二、绝对收敛与条件收敛 245

习题10-3 246

第四节　幂级数 247

一、幂级数的收敛半径和收敛域 248

二、幂级数的运算 251

习题10-4 253

第五节　函数展开成幂级数 254

一、泰勒级数 254

二、幂级数在近似计算中的应用 258

习题10-5 259

复习题十 260

第十一章　行列式 261

第一节　行列式的定义 261

一、二阶和三阶行列式 261

二、n阶行列式的定义 261

习题11-1 263

第二节　行列式的性质 264

习题11-2 268

第三节　克莱默法则 269

习题11-3 272

复习题十一 272

第十二章　矩阵 274

第一节　矩阵的定义及其运算 274

一、矩阵的定义 274

二、矩阵的运算 275

习题12-1 281

第二节　逆矩阵 282

一、逆矩阵的定义 282

二、可逆矩阵的性质 282

三、逆矩阵的求法 283

习题12-2 285

第三节　矩阵的初等变换、初等阵 286

一、矩阵的初等变换 286

二、初等矩阵 286

三、用初等变换求逆矩阵 289

习题12-3 290

第四节　矩阵的秩 291

习题12-4 293

复习题十二 294

第十三章　线性方程组 295

第一节　n维向量的概念 295

一、n维向量的定义 295

二、n维向量的运算 295

习题13-1 297

第二节 向量组的线性相关性 297

习题13-2 301

第三节　向量组的秩 302

习题13-3 304

第四节　线性方程组解的判定 305

习题13-4 308

第五节　线性方程组解的结构 309

一、齐次线性方程组解的结构 309

二、非齐次线性方程组解的结构 311

习题13-5 314

复习题十三 315

附录Ⅰ 初等数学提要及重要公式 318

附录Ⅰ　习题 331

附录Ⅱ 积分表 332

附录Ⅲ 习题答案 342

参考书目 376