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第7章 多元函数微分学 1

7.1 多元函数的概念 1

7.1.1 平面点集 1

7.1.2 多元函数的概念 3

7.1.3 多元函数的极限 5

7.1.4 多元函数的连续性 7

7.2 偏导数 9

7.2.1 偏导数的概念 9

7.2.2 高阶偏导数 13

7.3 全微分 15

7.4 多元复合函数微分法 20

7.4.1 多元复合函数微分法 20

7.4.2 全微分形式不变性 24

7.4.3 多元复合函数的高阶偏导数 25

7.5 隐函数微分法 28

7.5.1 一个方程所确定的隐函数的微分法 28

7.5.2 方程组所确定的隐函数的微分法 30

7.6 方向导数与梯度 34

7.6.1 方向导数 34

7.6.2 梯度 36

7.7 多元函数微分学的几何应用 38

7.7.1 空间曲线的切线与法平面 38

7.7.2 曲面的切平面与法线 40

7.8 多元函数的极值 44

7.8.1 多元函数的极值及其求法 44

7.8.2 多元函数的最大值和最小值 46

7.8.3 条件极值——拉格朗日乘数法 48

7.9 二元函数的泰勒（Taylor）公式 52

7.9.1 二元函数的泰勒公式 52

7.9.2 二元函数极值充分条件的证明 55

7.10 应用 57

7.11 数学实验：多元函数微分法 61

8.1 二重积分的概念与性质 67

8.1.1 二重积分的概念 67

第8章 重积分 67

8.1.2 二重积分的性质 69

8.2 二重积分的计算 70

8.2.1 直角坐标系下二重积分的计算 70

8.2.2 极坐标系下二重积分的计算 74

8.2.3 二重积分的一般变量代换 76

8.3 三重积分的概念与性质 79

8.3.1 三重积分的概念 79

8.3.2 三重积分的性质 80

8.4 三重积分的计算 81

8.4.1 直角坐标系下三重积分的计算 81

8.4.2 柱坐标系下三重积分的计算 83

8.4.3 球坐标系下三重积分的计算 85

8.5 应用 88

8.5.1 曲面的面积 88

8.5.2 物体的重心 89

8.5.3 物体的转动惯量 91

8.5.4 物体的引力 92

8.6 含参变量积分 94

8.7 数学实验：重积分 99

第9章 曲线积分与曲面积分 105

9.1 第一类曲线积分 105

9.1.1 第一类曲线积分的概念及性质 105

9.1.2 第一类曲线积分的计算 106

9.2.1 向量场的概念 110

9.2.2 第二类曲线积分的概念及性质 110

9.2 第二类曲线积分 110

9.2.3 第二类曲线积分的计算法 113

9.2.4 第一、二类曲线积分之间的联系 116

9.3 格林（Green）公式 118

9.3.1 格林公式定理 118

9.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 124

9.4 第一类曲面积分 130

9.4.1 第一类曲面积分的概念及性质 130

9.4.2 第一类曲面积分的计算法 131

9.5.1 有向曲面 134

9.5 第二类曲面积分 134

9.5.2 第二类曲面积分的概念及性质 135

9.5.3 第二类曲面积分的计算法 138

9.6 高斯（Gauss）公式曲面积分与曲面无关的条件 141

9.6.1 高斯公式 141

9.6.2 曲面积分与曲面无关的条件 144

9.7 斯托克斯（Stokes）公式空间曲线积分与路径无关的条件 146

9.7.1 斯托克斯公式 146

9.7.2 空间曲线积分与路径无关的条件 148

9.8 场论初步 150

9.8.1 等值面与梯度 150

9.8.2 向量场的散度 151

9.8.3 向量场的旋度 152

9.8.4 哈米尔顿（Hamilton）算子 155

9.8.5 几个特殊的向量场 155

9.9 数学实验：曲线积分和曲面积分 162

10.1.1 级数的基本概念 169

10.1 数项级数 169

第10章 级数 169

10.1.2 级数的基本性质 170

10.1.3 柯西（Cauchy）收敛准则 172

10.1.4 正项级数敛散性的判别法 173

10.1.5 任意项级数敛散性的判别法 178

10.2 幂级数 183

10.2.1 函数项级数的概念 183

10.2.2 幂级数及其收敛域 184

10.2.3 幂级数的运算性质 188

10.2.4 求幂级数的和函数 190

10.3 函数的幂级数展开 192

10.3.1 泰勒级数 192

10.3.2 函数展开成幂级数 194

10.3.3 欧拉（Euler）公式 198

10.4 函数项级数的一致收敛性和一致收敛级数的基本性质 200

10.4.1 函数项级数的一致收敛性 201

10.4.2 一致收敛级数的基本性质 203

10.5 傅里叶（Fourier）级数 205

10.5.1 三角函数系的正交性 205

10.5.2 函数展开成傅里叶级数 206

10.5.3 正弦级数与余弦级数 210

10.5.4 以2l为周期的周期函数的傅里叶级数 211

10.6 数学实验：无穷级数 215

第11章 微分方程 221

11.1 微分方程的基本概念 221

11.1.1 两个实例 221

11.1.2 微分方程的定义 222

11.2 一阶微分方程 224

11.2.1 可分离变量的方程 224

11.2.2 齐次方程 225

11.2.3 一阶线性方程 228

11.2.4 伯努利（Bernoulli）方程 230

11.2.5 全微分方程 231

11.3 一阶微分方程的应用 235

11.4 可降阶的高阶微分方程 242

11.4.1 y（n）=f（x）型 242

11.4.2 y″=f（x,y′）型 243

11.4.3 y″=f（y,y′）型 245

11.5 线性微分方程解的结构 248

11.5.1 线性齐次微分方程解的结构 249

11.5.2 非齐次线性微分方程解的结构 250

11.6.1 常系数线性齐次微分方程的解法 251

11.6 常系数线性微分方程 251

11.6.2 常系数非齐次微分方程解法 254

11.6.3 常系数线性微分方程应用 259

11.6.4 欧拉方程 263

11.7 二阶变系数线性微分方程 266

11.7.1 二阶变系数线性齐次微分方程 266

11.7.2 二阶变系数线性非齐次微分方程 268

11.8 数学实验：常微分方程 271

习题参考答案 278