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绪论 1

目录 1

第0章　精细积分法初步 5

0.1　齐次方程，指数矩阵的算法 5

0.2　非齐次方程 7

0.3　精度分析 8

0.4　关于时变系统与非线性系统的讨论 10

参考文献 10

1.1　单自由度弹簧-质量系统的振动 12

第一章　分析动力学与分析结构力学 12

1.1.1　拉格朗日体系的表述 13

1.1.2　哈密顿体系的表述 14

1.1.3　哈密顿对偶方程的辛表述 15

1.1.4　单自由度系统的作用量 16

1.1.5　单自由度线性系统的哈密顿-雅可比方程及求解 17

1.1.6　通过黎卡提微分方程的求解 18

1.1.7　哈密顿体系的另一种推导 19

1.2　一维杆件的拉伸分析 20

1.2.1　拉格朗日体系的表述，最小总势能原理 21

1.2.2　哈密顿体系的表述 22

1.2.3　对偶方程的辛表述 23

1.2.4　作用量 24

1.2.5　哈密顿-雅可比方程的求解 25

1.2.6　通过黎卡提微分方程的求解 27

1.2.7　拉格朗日括号 28

1.2.8　区段混合能及其偏微分方程 31

1.2.9　一维波传播问题 33

1.3.1　量子力学的克罗尼格-彭尼模型 34

1.3　若干有关的一维课题 34

1.3.2　最小二乘法简介 35

1.3.3　离散坐标动力学的模型，布朗运动 37

1.3.4　离散时间的卡尔曼滤波 39

1.3.5　一维单原子链的晶格振动 43

1.3.6　回转圆盘叶片振动 48

1.4　多自由度振动系统的求解 49

1.4.1　分离变量法，本征问题 51

1.4.2　分析力学的推导 55

1.4.3　时不变系统 56

1.5　铁木辛柯梁理论 57

1.6　分析结构力学 62

1.6.1　离散坐标的表述 62

1.6.2　等维数体系的泊松括号与拉格朗日括号 64

1.6.3　连续坐标的表述 69

1.7　生成函数描述的正则变换及其辛描述 70

1.8　时不变系统 75

1.8.1　时不变线性系统的分离变量 76

1.8.2　黎卡提微分方程的求解方法 78

1.9　结构力学有限元与保辛 79

1.9.1　变分原理与正则变换 80

1.9.2　区段混合能的偏微分方程 82

1.9.3 区段混合能系数矩阵的微分方程组，黎卡提微分方程 83

1.9.4　有限元离散系统与保辛 84

1.9.5　离散链式结构的传递求解 85

1.9.6　不同维数的体系 86

参考文献 88

2.1　单自由度体系的振动 91

2.1.1　线性振动 91

第二章　振动理论 91

2.1.2　参数共振 94

2.1.3　分段常系数周期函数的参数共振 97

2.1.4　量子力学克罗尼格-彭尼模型周期势阱的本征值分析 99

2.1.5　非线性振动初步 103

2.2　多个自由度线性系统的振动 105

2.2.1　无阻尼自由振动、本征解 105

2.2.2　约束，本征值计数 109

2.2.3　子结构拼装时的本征值计数 113

2.2.3.1　子结构模态综合法概要 115

2.2.3.2　混合能、混合变量时的本征值计数 117

2.2.3.3　混合能表示下的子结构拼接与其本征值计数 119

2.2.4　对称阵本征解的子空间迭代法 121

2.2.4.1　对质量阵的归一化算法 122

2.2.4.2　子空间投影及本征解 122

2.2.4.3　子空间迭代 123

2.2.4.4　子空间迁移 124

2.2.5　不对称实矩阵的本征问题 124

2.2.6　矩阵的奇异值分解 127

2.2.6.2　奇异值分解 128

2.2.6.1　QR分解 128

2.3　一维多原子链的晶格振动 129

2.4　周期结构的杂质 132

2.4.1　表面局部振动模型 136

2.4.2　回转盘的叶片振动 139

2.4.2.1　有异常叶片的回转盘振动 140

2.4.2.2　在本征振型域的分析 143

2.5　陀螺系统的微振动 146

2.5.1 正定哈密顿函数的情形及本征值的变分原理 149

2.5.2 哈密顿函数不正定的本征问题 154

2.5.2.1　陀螺力对振动稳定性的影响 156

2.5.2.2　辛本征问题及其求解 157

2.5.2.3　反对称矩阵的辛本征问题算法 162

2.5.2.4　数例 169

参考文献 171

第三章　柱形坐标弹性体系的求解 173

3.1　铁木辛柯梁理论续讲 174

3.2　分离变量，本征问题，共轭辛正交归一关系 174

3.4　本征值多重根与约当型 178

3.3　展开定理 178

3.4.1　铁木辛柯梁理论的波传播分析及其推广 180

3.4.2　共轭辛正交的物理解释——功的互等 183

3.5　非齐次方程的展开求解 187

3.6　两端边界条件 188

3.7　区段变形能、精细积分法 191

3.7.1　位移法 192

3.7.2　区段混合能、辛对偶变量 194

3.7.3　黎卡提微分方程及其精细积分 197

3.7.4　幂级数展开 199

3.7.5　区段混合能合并消元 200

3.7.6　基本区段的精细积分算法 201

3.7.7　不对称黎卡提方程的精细积分 206

参考文献 213

第四章　基于本征解的分析解与波 215

4.1　基于本征解的黎卡提方程分析解 215

4.1.1　用于对称黎卡提方程的分析解 223

4.1.2　哈密顿矩阵本征解的算法 224

4.1.3　转换到实值计算 227

4.1.4　纯虚本征值的转换 230

4.2　子结构拼装的逐步积分算法 233

4.3　离散坐标的求解 237

4.3.1　半无穷长区段的分析 240

4.3.2　有限长区段的分析 242

4.3.3　完全周期叶轮的本征值分析 244

4.3.4　有异常叶片的叶轮本征值分析 245

4.3.5　动力子结构分析 247

4.4　功率流 247

4.4.1　代数黎卡提方程 249

4.4.2　传输波 250

4.4.3　功率正交性 251

4.5　波的散射 252

4.6　波激共振 255

参考文献 256

第五章　近似求解方法 258

5.1　位移法摄动与传递辛矩阵加法摄动的比较 258

5.2　WKBJ近似保辛吗？ 264

5.3　一般哈密顿体系近似解的保辛讨论 265

5.4　保辛的短波近似 266

5.4.1　保辛的坐标变换 270

5.4.2　哈密顿体系的近似积分 272

5.5　保辛近似的算例 276

5.6　不同保辛摄动的比较 279

5.6.1　能量代数 280

5.6.2　线性体系状态空间的保辛摄动 282

5.6.3　辛矩阵法及刚度阵法的保辛摄动 284

5.6.4　串联式结构混合能法分析的总体表示 286

5.6.6　混合能矩阵与刚度阵小参数摄动的数值比较 288

5.6.5　混合能法的小参数摄动 288

5.7　边界层的乘法摄动及二阶线性方程 290

5.8　椭圆函数的精细积分 292

5.9　浅水孤立波 297

5.9.1　浅水波在拉格朗日坐标下的变分原理 298

5.9.2　浅水孤立波 300

参考文献 303

索引 305

结束语 310