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11 数项级数 1

11.1 数项级数的概念、性质 1

11.1.1 数项级数的定义及其敛散定义 1

11.1.2 级数收敛的Cauchy准则 2

11.1.3 收敛级数的性质 3

11.2 正项级数 4

11.2.1 正项级数收敛的基本定理 4

11.2.2 正项级数收敛的充分条件(比较判别法) 5

11.2.3 正项级数的若干具体的判别法 7

11.3 任意项级数 14

11.3.1 绝对收敛与条件收敛 14

11.3.2 交错级数及Leibniz判别法 16

11.3.3 Abel与Dirichlet判别法 17

11.3.4 更序级数 19

11.3.5 收敛级数的乘积 21

11.4 习题 22

12.1 无穷积分 29

12.1.1 无穷积分的概念 29

12 反常积分 29

12.1.2 无穷积分的性质 30

12.1.3 无穷积分收敛的判别法 32

12.2 瑕积分 35

12.2.1 瑕积分的概念 35

12.2.2 瑕积分的性质 37

12.2.3 瑕积分收敛的判别法 37

12.3 习题 40

13.1 基本概念 45

13 函数项级数 45

13.1.1 点态收敛 46

13.1.2 一致收敛 49

13.2 一致收敛判别法 51

13.3 一致收敛函数列(函数项级数)的性质 54

13.4 习题 59

14 幂级数 66

14.1 幂级数的概念 66

14.1.1 收敛区间与收敛半径 66

14.1.2 收敛域的特性 67

14.2.1 内闭一致收敛性 68

14.2 幂级数的性质 68

14.2.2 和函数的连续性、逐项积分与逐项微分 69

14.3 函数的幂级数展开 70

14.3.1 函数的Taylor级数与Maclaurin级数 70

14.3.2 函数的Taylor展开 72

14.4 习题 74

15 Fourier级数 79

15.1 Fourier级数概念引进 79

15.1.1 三角函数系的正交性 79

15.1.2 Fourier系数 80

15.2 Fourier级数的收敛性 81

15.2.1 Dirichlet积分 81

15.2.2 局部性定理 83

15.2.3 Dini定理及其推论 84

15.2.4 Dirichlet-Jordan判别法 87

15.3 函数的Fourier级数展开 89

15.3.1 周期为2π的函数的Fourier展开式 89

15.3.2 周期为T的函数的Fourier展开式 92

15.4.1 逐项积分 93

15.3.3 Fourier级数的复数形式 93

15.4 Fourier级数的逐项积分与逐项微分 93

15.4.2 逐项微分 95

15.5 最佳平方逼近、Bessel不等式 96

15.6 习题 98

16 多元函数的极限与连续 105

16.1 n维欧氏空间上的点集与多元函数 105

16.1.1 n维欧氏空间上的点集 105

16.1.2 Rn上的若干基本定理 113

16.1.3 多元函数与向量值函数 116

16.2 多元(向量值)函数的极限与连续 120

16.2.1 多元(向量值)函数的极限 120

16.2.2 重极限与累次极限 123

16.2.3 多元(向量值)函数的连续 126

16.2.4 紧集上的连续函数的性质 131

16.2.5 连通集上的连续函数的性质 133

16.3 习题 135

17 多元函数微分学 142

17.1.1 基本概念 143

17.1 函数可微与可导 143

17.1.2 基本性质 145

17.1.3 运算法则 153

17.1.4 拟微分中值定理 157

17.1.5 梯度 158

17.1.6 高阶偏导数 160

17.2 Taylor公式、极值 167

17.2.1 Taylor公式 167

17.2.2 极值 169

17.3 习题 174

18 隐函数定理、微分学应用 179

18.1 隐函数定理与反函数定理 179

18.1.1 隐函数定理 179

18.1.2 反函数定理 187

18.2 方程变换 190

18.3 多元函数微分学的应用 194

18.3.1 切向量 194

18.3.2 曲线的切线与法平面 195

18.3.3 曲面的切平面与法线 200

18.3.4 条件极值问题 203

18.4 习题 207

19 含参变量积分 211

19.1 一致极限 212

19.2 含参变量定积分 214

19.3 含参变量无穷积分 220

19.3.1 含参变量无穷积分的一致收敛性及其判别法 220

19.3.2 一致收敛含参变量无穷积分的性质 222

19.3.3 含参变量无穷积分的计算举隅 227

19.4 Euler积分 230

19.4.1 Г函数 231

19.4.2 B函数 232

19.5 习题 233

20 重积分 238

20.1 二重积分 238

20.1.1 有界闭矩形上的二重积分 238

20.1.2 有界闭矩形上函数的可积性问题 240

20.1.3 零面积集 242

20.1.4 有界集上的二重积分 245

20.1.5 二重积分化为累次积分 248

20.1.6 二重积分的变量替换 252

20.2 三重积分 255

20.2.1 三重积分化为累次积分 256

20.2.2 三重积分的变量替换 260

20.3 重积分在力学上的应用 263

20.3.1 质心 263

20.3.2 矩 265

20.3.3 引力 265

20.4 习题 267

21 第一类线面积分 274

21.1 第一类曲线积分 274

21.1.1 第一类曲线积分的概念与性质 274

21.1.2 第一类曲线积分的计算 278

21.2 第一类曲面积分 283

21.2.1 曲面面积 283

21.2.2 第一类曲面积分的概念与计算 290

21.3 习题 293

22.1 第二类曲线积分(对坐标的曲线积分) 296

22.1.1 第二类曲线积分的概念与性质 296

22 第二类线面积分 296

22.1.2 第二类曲线积分的计算 300

22.1.3 两类曲线积分之间的联系 306

22.2 Green公式 307

22.2.1 平面闭曲线的定向 307

22.2.2 Green公式 308

22.2.3 平面上的第二类曲线积分与路径无关性 313

22.3 第二类曲面积分(对坐标的曲面积分) 318

22.3.1 曲面的侧 318

22.3.2 第二类曲面积分的概念 321

22.3.3 第二类曲面积分的计算 325

22.4 Gauss公式 330

22.4.1 通量、散度 330

22.4.2 Gauss公式 333

22.5 Stokes公式 337

22.5.1 环量、方向旋量、旋度 337

22.5.2 Stokes公式 340

22.5.3 空间中的第二类曲线积分与路径无关性 345

22.6 习题 348

附录 外微分简介 356