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目录 2

第一篇　一元函数微积分学 2

第一章 函数、极限与连续 2

第一节 函数 2

一、函数的概念 2

二、函数的几种特性 4

三、复合函数 6

四、反函数 7

五、初等函数 7

六、建立函数关系举例 10

七、经济类函数举例 11

一、数列的极限 16

第二节 数列及其极限 16

二、数列极限的四则运算 17

三、无穷递缩等比数列的求和公式 18

四、数列极限的性质 19

第三节 函数的极限 20

一、当x→∞时，函数f（x）的极限 20

二、当x→x0时，函数f（x）的极限 21

三、左极限与右极限 22

四、函数极限的性质 23

第四节 无穷小与无穷大 24

一、无穷小与无穷大的定义及其关系 24

二、无穷小的性质 26

第五节 极限的运算法则 27

一、极限？＝1 31

第六节 两个重要的极限 31

二、极限？（1＋？）＝e 32

第七节 无穷小的比较 33

第八节 函数的连续性与间断性 36

一、函数连续性的概念 36

二、函数的间断点 38

第九节 初等函数的连续性 41

一、初等函数的连续性 41

二、闭区间上连续函数的性质 43

第十节 数学实验一　Mathematica入门和求一元函数的极限 45

一、Mathematica入门 45

二、一元函数图形的绘制 48

三、求一元函数的极限 49

一、变化率问题举例 55

第二章 导数与微分 55

第一节 导数的概念 55

二、导数的定义 56

三、求导举例 57

四、导数的几何意义 58

五、函数的可导性与连续性的关系 59

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 61

第三节 复合函数的求导法则 63

第四节 初等函数的求导法 64

一、反函数的导数 64

二、初等函数求导问题 66

三、分段函数的导数 66

一、隐函数的导数 67

第五节 隐函数及参数方程所确定函数的求导法 67

二、幂指函数y＝uv的导数（u＞0） 68

三、由参数方程所确定函数的求导法 68

第六节 高阶导数 69

第七节 函数的微分 71

一、微分的概念 71

二、微分的运算 73

三、近似计算 74

第八节 数学实验二　用Mathematica求一元函数的导数 76

一、学习Mathematica命令 76

二、导数概念 76

三、求一元函数的导数 76

一、拉格朗日中值定理 79

第三章 导数应用 79

第一节 拉格朗日中值定理与函数单调性判定法 79

二、函数单调性的判定性 80

第二节 函数的极值及判定 82

第三节 函数的最大值和最小值 85

第四节 曲线的凸凹性与拐点 88

第五节 函数图形的描绘 90

第六节 洛必达法则 93

第七节 导数在经济问题中的应用 96

一、边际分析 96

二、弹性分析 98

二、不定积分 104

一、原函数 104

第一节 不定积分的概念与性质 104

第四章 一元函数积分学 104

三、不定积分的几何意义 105

四、基本的积分公式 106

五、积分的基本运算法则 106

第二节 不定积分法 108

一、第一类换元积分法 108

二、第二类换元积分法 111

三、分部积分法 113

第三节 定积分的概念与性质 116

一、两个实例 116

二、定积分的定义 117

三、定积分的几何意义 118

四、定积分的性质 120

第四节 牛顿-莱布尼兹公式 122

一、积分上限函数 122

二、牛顿-莱布尼兹公式 124

第五节 定积分的换元法与分部积分法 126

一、定积分的换元法 126

二、定积分的分部积分法 128

第六节 广义积分 130

第七节 数学实验三　用Mathematica计算积分 131

一、学习Mathematica命令 131

二、求不定积分 132

三、求定积分及广义积分 132

第五章 定积分的应用 134

第一节 定积分的微元法 134

一、平面图形的面积 135

第二节 定积分在几何中的应用 135

二、旋转体的体积 138

三、求平面曲线弧长 139

第三节 定积分在物理中的应用 141

一、变力做功 142

二、液体压力 143

三、引力 144

第四节 定积分在经济问题中的简单应用 145

一、由边际函数求总函数 146

二、资本现值与投资问题 147

第一节 空间解析几何简介 150

一、空间直角坐标系 150

第六章 多元函数微分学基础 150

第二篇　多元函数微积分学基础 150

二、曲面及其方程 152

三、空间曲线及其方程 154

第二节 向量的概念及向量的运算 156

一、向量的概念 156

二、向量的加法与减法 157

三、数与向量的乘法 157

四、向量的坐标表示法 158

五、向量的数量积 160

六、向量的向量积 162

第三节 空间的平面、直线及常见二次曲面 164

一、平面方程及两平面间的夹角 165

二、空间直线的方程及其夹角 167

三、常用二次曲面及其方程 169

一、二元函数的定义 175

第四节 多元函数的概念 175

二、二元函数的几何意义 177

三、二元函数的极限和连续性 177

第五节 偏导数与全微分 179

一、偏导数的定义及求法 179

二、高阶偏导数 181

三、全微分 181

第六节 复合函数与隐函数微分法 184

一、复合函数的求导法则 184

二、全微分形式不变性 186

三、隐函数的求导法 187

一、多元函数的极值 188

第七节 多元函数的极值 188

二、条件极值 190

第七章 多元函数积分学基础 194

第一节 二重积分的概念与性质 194

一、两个实例 194

二、二重积分的定义 195

三、二重积分的性质 196

第二节 二重积分的计算 198

一、在直角坐标系下计算二重积分 199

二、在极坐标系下计算二重积分 202

第三节 二重积分的应用 205

一、体积 205

二、平面薄片的质量 206

三、平面薄片的重心 207

一、三重积分的概念 209

第四节 三重积分 209

二、三重积分的计算方法 210

第五节 曲线积分 216

一、对弧长的曲线积分 216

二、对坐标的曲线积分 219

三、格林公式 223

四、平面上的曲线积分与路径无关的条件 225

第六节 数学实验四　用Mathematica求偏导和计算二重积分 228

一、学习Mathematica命令 228

二、偏导数计算 228

三、计算二重积分 229

第一节 常微分方程的基本概念 232

第三篇　常微分方程基础 232

第八章　常微分方程 232

第二节 一阶微分方程 235

一、可分离变量的微分方程 235

二、齐次微分方程 237

三、形如？＝f（ax＋by＋c）的微分方程 238

四、一阶线性微分方程 238

五、贝努利方程 239

第三节 高阶微分方程的几个特殊类型 241

一、？＝f（x）型的微分方程 241

二、y″＝f（x，y′）型的微分方程 241

三、y″＝f（y，y′）型微分方程 242

一、解的结构 243

第四节 二阶线性微分方程 243

二、常系数二阶线性微分方程的解法 245

第四篇　无穷级数基础 254

第九章 无穷级数 254

第一节 数项级数的概念及其基本性质 254

一、数项级数的概念 254

二、数项级数的基本性质 256

第二节 数项级数的敛散性 257

一、正项级数及其审敛法 257

二、任意项级数的敛散性 259

第三节 幂级数 261

一、函数项级数的概念 261

二、幂级数及其收敛性 261

三、幂级数的运算性质 263

第四节 函数的幂级数展开 264

一、泰勒级数 264

二、把函数展开成幂级数 266

三、函数幂级数展开式的应用 268

第五节 傅里叶级数 269

一、三角级数和三角函数系的正交性 269

二、周期为2π的函数的傅里叶级数 270

三、正弦级数和余弦级数 272

第六节 周期为2l的函数展开成傅里叶级数 273

一、周期为2l的函数的傅里叶级数 273

二、傅里叶级数的复数形式 274

参考文献 277