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目录 1

第8章 不定积分 1

8.1 原函数与不定积分 1

8.1.1 原函数概念及其性质 1

8.1.2 不定积分概念 2

习题8.1 4

8.2 不定积分计算 4

8.2.1 基本积分表 4

8.2.2 分项积分法 5

8.2.3 换元法Ⅰ（凑微分法） 8

8.2.4 换元法Ⅱ 12

8.2.5 分部积分法 17

习题8.2 20

8.3 常微分方程初步 24

8.3.1 基本概念 24

8.3.2 变量可分离的一阶微分方程 27

8.3.3 齐次方程 30

8.3.4 一阶线性方程 34

8.3.5 可降阶的高阶方程 37

习题8.3 40

第8章总习题 42

第9章 定积分 45

9.1 定积分概念及性质 45

9.1.1 定积分问题举例 45

9.1.2 定积分的定义 46

9.1.3 可积的条件 48

9.1.4 定积分的性质 50

习题9.1 54

9.2 变上限积分 55

9.2.1 定义 55

9.2.2 微积分基本定理 56

习题9.2 59

9.3 定积分的计算 60

9.3.1 牛顿（Newton）-莱布尼兹（Leibniz）公式 60

9.3.2 定积分的换元法 62

9.3.3 定积分的分部积分法 68

9.3.4 定积分的近似计算 70

习题9.3 70

9.4.1 广义积分概念 72

9.4 广义积分 72

9.4.2 两类广义积分的关系 75

9.4.3 广义积分的计算 76

习题9.4 77

9.5 定积分的应用 78

9.5.1 概述（微元法） 78

9.5.2 平面图形的面积 80

9.5.3 立体的体积 84

9.5.4 平面曲线的弧长 86

9.5.5 物理应用举例 89

习题9.5 92

第9章总习题 93

10.1.2 含参量积分的连续性 96

10.1.1 含参量积分的概念 96

第10章 含参量积分 96

10.1 含参量积分 96

10.1.3 含参量积分的导数 97

10.1.4 含参量积分的积分 99

习题10.1 102

10.2 伽玛函数与贝塔函数 103

10.2.1 Γ函数的性质 103

10.2.2 B函数的性质 105

10.2.3 Γ函数与B函数应用举例 107

习题10.2 108

第10章总习题 109

11.1.1 多元函数积分问题举例 110

11.1 多元函数积分的概念和性质 110

第11章 多元函数积分 110

11.1.2 多元函数积分的定义 112

11.1.3 多元函数积分的性质 113

习题11.1 114

11.2 二重积分的计算 116

11.2.1 基本公式 116

11.2.2 变量代换 121

习题11.2 130

11.3 三重积分的计算 132

11.3.1 基本公式 132

11.3.2 变量代换 136

习题11.3 139

11.4 曲线积分的计算 141

习题11.4 145

11.5 曲面积分的计算 146

11.5.1 曲面的面积 146

11.5.2 曲面积分计算的基本公式 149

习题11.5 153

11.6 多元函数积分的应用 154

11.6.1 重心 155

11.6.2 转动惯量 158

11.6.3 引力 159

习题11.6 161

第11章总习题 163

12.1 第二型曲线、曲面积分的概念 165

第12章 第二型曲线、曲面积分 165

12.1.1 第二型曲线积分的定义 167

12.1.2 第二型曲面积分的定义 168

习题12.1 168

12.2 第二型曲线积分的性质及计算方法 169

12.2.1 第二型曲线积分的坐标表达式 169

12.2.2 第二型曲线积分与第一型曲线积分的关系 169

12.2.3 第二型曲线积分的性质 170

12.2.4 第二型曲线积分的计算 170

习题12.2 174

12.3 格林公式，平面上曲线积分与路径无关的条件 175

12.3.1 格林公式 176

12.3.2 平面曲线积分与路径无关的条件 181

习题12.3 184

12.4 第二型曲面积分的计算 185

12.4.1 曲面的面积分在坐标面上的投影 185

12.4.2 第二型曲面积分的计算 185

习题12.4 191

12.5 高斯（Gauss）公式 192

12.5.1 高斯公式 192

12.5.2 向量场的散度 197

习题12.5 198

12.6 斯托克斯（Stokes）公式 199

12.6.1 斯托克斯公式 199

12.6.2 向量场的旋度 202

12.6.3 空间曲线积分与路径无关的条件 204

习题12.6 206

第12章总习题 207

第13章 复变函数的积分 209

13.1 复变函数积分的概念和性质 209

13.1.1 复变函数的不定积分 209

13.1.2 复变函数沿曲线积分 210

习题13.1 213

13.2 柯西（Cauchy）定理 213

13.2.1 基本定理 213

13.2.2 解析函数的原函数的存在性 214

13.2.3 复合闭路定理 216

习题13.2 217

13.3.1 用积分表示解析函数 218

13.3 解析函数的任意阶可导性 218

13.3.2 用积分表示解析函数的导数 220

13.3.3 解析函数的一些重要性质 222

习题13.3 223

第13章总习题 224

第14章 常数项级数 226

14.1 常数项级数的基本概念及性质 226

14.1.1 常数项级数的基本概念 226

14.1.2 收敛级数的基本性质 230

14.1.3 级数收敛的必要条件 232

14.1.4 级数收敛的充要条件 235

习题14.1 236

14.2.1 正项级数及其判敛法 237

14.2 常数项级数的判敛法 237

14.2.2 交错级数及其判敛法 249

14.2.3 常数项级数的绝对收敛与条件收敛 253

习题14.2 258

14.3 广义积分的判敛法 261

14.3.1 无穷区间上的广义积分判敛法 261

14.3.2 无界函数的广义积分判敛法 262

习题14.3 264

第14章总习题 264

第15章 幂级数、洛朗级数与傅立叶级数 267

15.1 函数项级数的基本概念 267

习题15.1 269

15.2 幂级数及其收敛性 269

15.2.1 幂级数的收敛特性 269

15.2.2 幂级数的运算性质 276

15.2.3 解析函数的幂级数表示 280

15.2.4 初等函数的幂级数展开式 284

习题15.2 290

15.3 洛朗级数 292

15.3.1 双边幂级数 293

15.3.2 解析函数的洛朗展式 294

15.3.3 洛朗级数的系数公式在计算沿封闭路径积分中的应用 300

习题15.3 302

15.4 解析函数的弧立奇点及留数 303

15.4.1 孤立奇点及其分类 303

15.4.2 留数 309

习题15.4 317

15.5 留数在实积分中的应用 319

15.5.1 形如？R（cosx、sinx）dx的积分 319

15.5.2 形如？dx的积分 320

15.5.3 形如？e？dx（m>0）的积分 323

习题15.5 324

15.6 傅立叶级数 324

15.6.1 三角函数系的正交性 325

15.6.2 傅立叶级数 326

15.6.3 函数展开成傅立叶级数 328

习题15.6 342

第15章总习题 343

16.1 全微分方程、积分因子 347

16.1.1 全微分方程 347

第16章 常微分方程 347

16.1.2 积分因子 349

习题16.1 353

16.2 高阶线性微分方程 354

16.2.1 二阶线性齐次方程的解的结构 354

16.2.2 二阶线性非齐次方程的解的结构 356

16.2.3 常数变易法 359

习题16.2 362

16.3 二阶常系数线性齐次微分方程 362

习题16.3 369

16.4 二阶常系数线性非齐次微分方程 370

16.4.1 f(x)=Pn(x)eλx 370

16.4.2 f(x)=［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］ 373

习题16.4 379

16.5 简单线性常系数微分方程组 380

习题16.5 383

16.6 欧拉（Euler）方程 384

习题16.6 386

16.7 微分方程的幂级数解法 386

习题16.7 390

16.8 微分方程的数值计算方法 390

16.8.1 方向场 390

16.8.2 欧拉方法 391

16.8.3 预估—校正方法 393

第16章总习题 394

附录Ш Matlab软件简介 396

参考文献 413