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目录 1

第1章 函数 1

1.1 一元实函数 1

1.1.1 变量 1

1.1.2 两类常用的实数集 1

1.1.3 函数定义 2

1.1.4 函数的表示方法 4

1.1.5 描述函数性态的四个特征性质 6

1.1.6 初等函数 9

习题1.1 14

1.2 多元函数 17

1.2.1 平面点集及有关概念 18

1.2.2 二元函数 19

1.3.1 复数的概念 21

1.3 复数及其运算 21

习题1.2 21

1.3.2 复数的四则运算 22

1.3.3 复数的表示法 23

1.3.4 复球面 28

习题1.3 29

1.4 复变函数 30

1.4.1 复变函数的定义 30

1.4.2 复基本初等函数 30

习题1.4 40

第1章总习题 41

第2章 向量代数与空间解析几何 43

2.1 空间直角坐标系 43

2.1.1 空间直角坐标系 43

2.1.3 空间两点的距离公式 44

2.1.2 建立点与有序数组之间的一一对应关系 44

习题2.1 45

2.2 向量代数 45

2.2.1 向量的概念 45

2.2.2 向量的线性运算 46

2.2.3 向量的投影 50

2.2.4 向量的分解与坐标 51

2.2.5 向量的模、方向余弦 53

2.2.6 向量的数量积 54

2.2.7 向量的向量积 59

2.2.8 向量的混合积运算 63

习题2.2 67

2.3 空间曲面及其方程 68

2.3.1 曲面方程的概念 68

2.3.2 常见的曲面及其方程 69

习题2.3 87

2.4 空间曲线及其方程 89

2.4.1 空间曲线的方程 89

2.4.2 空间曲线在坐标面上的投影 92

习题2.4 94

2.5 空间直线及其方程 95

2.5.1 直线的方程 95

2.5.2 点到直线的距离 99

2.5.3 两直线的夹角 100

2.5.4 平面束方程 101

2.5.5 异面直线 104

习题2.5 107

第2章总习题 108

3.1.1 极限概念的由来 111

3.1 一元函数的极限 111

第3章 极限 111

3.1.2 函数极限的描述性定义 112

3.1.3 函数极限的精确定义 113

习题3.1 119

3.2 极限的性质 120

3.2.1 惟一性 120

3.2.2 局部有界性 121

3.2.3 局部保号性 121

习题3.2 122

3.3 子极限与数列的极限 123

3.3.1 子极限 123

3.3.2 数列的极限 124

习题3.3 127

3.4.1 无穷小量 129

3.4 无穷小量与无穷大量 129

3.4.2 极限的等价定义 130

3.4.3 无穷小量的性质 130

3.4.4 无穷大量 132

3.4.5 无穷大量与无穷小量之间的关系 133

习题3.4 134

3.5 极限运算法则 136

3.5.1 极限的四则运算法则 136

3.5.2 复合函数的极限运算法则 141

习题3.5 144

3.6 极限存在准则及两个重要极限 145

3.6.1 准则Ⅰ（夹逼定理） 146

3.6.2 准则Ⅱ（单调有界准则） 149

习题3.6 159

3.7 无穷小量的比较 161

习题3.7 166

3.8 含参量极限 167

习题3.8 171

3.9 多元函数的极限 172

3.9.1 自变量趋于有限值的情形 172

3.9.2 自变量趋于无穷大时的极限 174

3.9.3 累次极限 175

习题3.9 176

3.10 复变函数的极限 178

习题3.10 180

第3章总习题 181

第4章 函数的连续性 184

4.1 一元函数的连续性 184

4.1.1 连续性的概念 184

4.1.2 连续函数的运算法则 186

4.1.3 初等函数的连续性 187

4.1.4 函数的间断点 189

习题4.1 194

4.2 闭区间上连续函数的性质 195

4.2.1 最大值与最小值定理 195

4.2.2 有界性定理 196

4.2.3 介值定理 197

习题4.2 200

4.3 连续概念的推广 201

4.3.1 实多元函数的连续性 201

4.3.2 复变函数的连续性 203

习题4.3 205

第4章总习题 206

5.1 一元函数导数概念 207

5.1.1 导数概念的原型 207

第5章 一元函数微分学 207

5.1.2 导数的定义 208

5.1.3 导函数的概念 211

5.1.4 可导与连续的关系 213

5.1.5 左右导数的定义 214

5.1.6 导数的几何意义 216

5.1.7 利用导数的定义求极限 216

习题5.1 218

5.2 导数的运算法则及基本公式 219

5.2.1 四则运算的求导法则 219

5.2.2 复合函数的导数 221

5.2.3 反函数的导数 225

5.2.4 求导基本公式 226

习题5.2 227

5.3 导数计算 229

5.3.1 显函数求导法 229

5.3.2 隐函数求导法 232

5.3.3 参数方程求导法 233

5.3.4 极坐标方程所确定的函数的求导法 234

5.3.5 相关变化率 235

习题5.3 236

5.4 高阶导数 237

5.4.1 定义 237

5.4.2 高阶导数的运算法则 239

5.4.3 隐函数的二阶导数 241

5.4.4 参数方程的二阶导数 242

习题5.4 244

5.5.1 微分的概念 245

5.5 一元函数的微分 245

5.5.2 一元函数可微与可导的关系 246

5.5.3 微分的计算 246

5.5.4 微分的几何意义 250

5.5.5 微分形式的不变性 250

5.5.6 微分的应用 251

习题5.5 252

第5章总习题 253

第6章 中值定理与导数的应用 255

6.1 中值定理 255

6.1.1 费马定理 255

6.1.2 罗尔定理 255

6.1.3 拉格朗日中值定理 258

6.1.4 柯西中值定理 261

习题6.1 263

6.2 罗必塔法则 265

6.2.1 ？型未定型 265

6.2.2 ？型未定型 268

6.2.3 其他如0·∞，∞—∞，00，1∞，∞0未定型 268

习题6.2 270

6.3 泰勒公式 272

6.3.1 泰勒多项式 272

6.3.2 泰勒中值定理 273

习题6.3 277

6.4 函数的单调性及其判定法 278

习题6.4 282

6.5 曲线的凹凸与拐点 283

6.5.1 曲线凹凸性的定义 283

6.5.2 判定法 284

6.5.3 拐点 285

习题6.5 286

6.5.4 利用凹凸性证明不等式 286

6.6 函数的极值及其求法 287

6.6.1 极值的定义 287

6.6.2 极值的求法 287

习题6.6 291

6.7 函数的最大值、最小值 292

6.7.1 连续函数在闭区间上的最大值、最小值 292

6.7.2 连续函数在开区间上的最大值、最小值 292

习题6.7 296

6.8 函数图形的作法 297

6.8.1 渐近线 297

6.8.2 函数作图的步骤 300

习题6.8 303

第6章总习题 303

7.1.1 二元函数的偏导数 306

第7章 多元函数及复变函数微分学 306

7.1 多元函数的偏导数 306

7.1.2 z=f（x,y）在（x0,y0）处的偏导数的几何意义 308

7.1.3 二元函数的高阶偏导数 309

习题7.1 311

7.2 二元函数的全微分 312

7.2.1 二元函数的全微分 312

7.2.2 二元函数可偏导、连续与可微的关系 313

习题7.2 319

7.3 方向导数与梯度 321

7.3.1 方向导数 321

7.3.2 梯度 324

习题7.3 325

7.4 多元复合函数的微分法 327

7.4.1 多元函数与一元函数的复合 327

7.4.2 多元函数与多元函数的复合 329

7.4.3 全微分形式的不变性 333

习题7.4 334

7.5 隐函数的微分法 336

7.5.1 一个方程的情形 336

7.5.2 方程组的情形 339

习题7.5 342

7.6 多元函数微分在几何上的应用 344

7.6.1 空间曲线的切线与法平面 344

7.6.2 曲面的切平面与法线 347

7.6.3 二元函数全微分的几何意义 349

习题7.6 350

7.7 二元函数的泰勒公式 352

7.8 多元函数的极值 355

7.8.1 二元函数的极值 355

习题7.7 355

7.8.2 最值问题 358

7.8.3 多元函数的条件极值 360

习题7.8 364

7.9 复变函数的导数与微分 365

7.9.1 复变函数导数的定义 365

7.9.2 复变函数求导的运算法则 366

7.9.3 复变函数微分的定义及计算 367

7.9.4 复变函数可导的充要条件 368

7.9.5 解析函数及其简单性质 371

7.9.6 复基本初等函数的解析性 373

习题7.9 374

第7章总习题 375

附录Ⅰ 几种常用的曲线（a>0） 377

附录Ⅱ 积分表 378

参考文献 384