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前言 1

第1部分　高等数学 1

目录 1

第1章 函数、极限与连续 3

1.1 常用基础公式、函数及函数性质 4

1.1.1 常用代数公式 4

1.1.2 常用三角公式 6

1.1.3 基本初等函数的图形与其主要性质 7

1.1.4 双曲函数及其反函数 7

1.2 函数 16

1.2.1 集合、常量与变量 16

1.1.5 常见的经济函数 16

1.2.2 函数概念 18

1.2.3 函数的性质与类型 19

1.2.4 函数的作图 21

1.3 极限 23

1.3.1 数列的极限 23

1.3.2 函数的极限 26

1.4　连续 33

1.4.1 函数的连续性 33

1.4.2 函数的间断点 34

1.4.3 初等函数的连续性 35

1.4.4 闭区间上连续函数的性质 36

1.4.5 函数的一致连续性 37

第2章　一元函数微分学 38

2.1　导数及其求法 39

2.1.1 导数与导函数的概念 39

2.1.2 不可导的几种情形 40

2.1.3 可导与连续的关系 40

2.1.4 导数的几何意义与平面曲线的切线、法线方程 41

2.1.5 导数的物理意义与相关变化率 41

2.1.6　导数的求法 42

2.2　高阶导数及其求法 44

2.2.1 高阶导数 44

2.2.2 基本公式 45

2.2.3 莱布尼兹公式 45

2.3.1　微分的概念 46

2.3　微分及其应用 46

2.2.4 高阶导数题型 46

2.3.2　微分的几何意义 47

2.3.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 48

2.3.4 微分的应用 50

2.4　中值定理及其应用 51

2.4.1 微分学基本定理 51

2.4.2　洛必达法则 53

2.4.3 中值定理应用 55

2.5　导数的应用 57

2.5.1 函数单调性的判定法 57

2.5.2 函数的极值及其求法 57

2.5.3　最大值、最小值问题 59

2.5.4 曲线的凹凸、拐点与渐近线 60

2.5.5 函数图形的描绘 61

2.5.6 曲率 62

2.5.7 方程的近似解 65

2.5.8 导数在经济中的应用 66

2.5.9 函数极值在经济管理中的应用 68

第3章　一元函数积分学 71

3.1 不定积分 71

3.1.1 不定积分的概念与性质 71

3.1.2　基本积分方法 74

3.1.3 几种特殊类型函数的积分 79

3.2　定积分 81

3.2.1 定积分的概念与性质 81

3.2.2　微积分基本公式 84

3.2.3 定积分的计算方法 85

3.2.4 定积分的近似计算 86

3.3　定积分的应用 87

3.3.1 元素法 87

3.3.2 几何应用 88

3.3.3　定积分在物理和力学上的应用 91

3.3.4 经济问题 92

3.3.5 平均值与均方根 92

3.4　广义积分 92

3.4.1 两类广义积分的定义 92

3.4.2　广义积分的审敛法 94

3.4.4 г函数 96

3.4.3　广义积分的求值 96

第4章 向量代数和空间解析几何 97

4.1 向量代数 98

4.1.1 向量及其加减法 向量与数的乘法 98

4.1.2 向量在轴上的投影 100

4.1.3 向量方向余弦的坐标表示式 101

4.1.4 数量积、向量积与混合积 102

4.2　空间解析几何 104

4.2.1 空间直角坐标系及空间两点间的距离 104

4.2.2 曲面及其方程 二次曲面 105

4.2.3 空间曲线及其方程 108

4.2.4 平面及其方程 110

4.2.5 空间直线及其方程 112

第5章 多元函数微分学 114

5.1　多元函数的概念、极限与连续性 115

5.1.1 区域及有关概念 115

5.1.2 多元函数概念 116

5.1.3 多元函数的极限 116

5.1.4 多元函数的连续性 117

5.2　偏导数与全微分 119

5.2.1　偏导数及其计算法 119

5.2.2 高阶偏导数 120

5.2.3　偏导数在经济学中的应用 121

5.2.4　全微分 124

5.2.5 多元复合函数的求导法则 125

5.2.6 隐函数的求导公式 127

5.3　微分法在几何上的应用 129

5.3.1 空间曲线的切线与法平面 129

5.3.2 曲面的切平面与法线 130

5.3.3 方向导数与梯度 131

5.4　多元函数的极值及其求法 134

5.4.1 条件极值 134

5.4.2 条件极值 拉格朗日乘数法 135

5.4.3 函数的最大值和最小值 136

5.5　泰勒公式与最小二乘法 136

5.5.1　二元函数的泰勒公式 136

5.5.2 最小二乘法 138

第6章　多元函数积分学 140

6.1　二重积分 141

6.1.1 二重积分的概念与性质 141

6.1.2 二重积分的计算 143

6.1.3 二重积分的应用 146

6.2　三重积分 149

6.2.1 三重积分的概念与性质 149

6.2.2 三重积分的计算 150

6.2.3 三重积分的应用 155

6.3　含参变量的积分 156

6.3.1 概念 156

6.3.2 性质 157

6.4.1 对弧长的曲线积分 158

6.4 曲线积分 158

6.4.2 对坐标的曲线积分 160

6.4.3 两类曲线积分之间的联系 162

6.4.4 格林公式及其应用 163

6.5 曲面积分 165

6.5.1 对面积的曲面积分 165

6.5.2 对坐标的曲面积分 167

6.5.3 两类曲面积分之间的联系 169

6.5.4　高斯公式 通量与散度 170

6.5.5 斯托克斯公式 环流量与旋度 173

6.5.6 向量微分算子 176

第7章　无穷级数 177

7.1.2 收敛级数的基本性质 178

7.1　常数项级数 178

7.1.1 基本概念 178

7.1.3　柯西审敛原理 179

7.1.4 常数项级数的判别法 180

7.1.5 常数项级数的求和 184

7.2　幂级数 185

7.2.1 函数项级数与幂级数的概念 185

7.2.2 幂级数的收敛性、运算及和函数性质 186

7.2.3 函数展开成幂级数 188

7.2.4 函数的幂级数展开式的应用 191

7.2.5 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质 193

7.3　傅里叶级数 194

7.3.1 傅里叶级数 194

7.3.2 正弦级数和余弦级数 196

7.3.3　周期为2l的周期函数的傅里叶级数 197

7.3.4 非周期函数在有限区间上展开为傅里叶级数 198

7.3.5　傅里叶级数的复数形式 199

第8章　常微分方程 200

8.1　基本概念 200

8.2　一阶微分方程 201

8.2.1 变量可分离的微分方程 201

8.2.2　齐次方程 202

8.2.3 一阶线性微分方程 203

8.2.4　全微分方程 204

8.2.5　欧拉-柯西近似法 205

8.3.1 y（n）＝f（x）型的微分方程 206

8.3 可降阶的高阶微分方程 206

8.3.2　y″＝f（x，y′）型的微分方程 207

8.3.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 207

8.4 高阶线性微分方程 207

8.4.1　基本概念 207

8.4.2 线性微分方程的解的结构 208

8.4.3 常数变易法 209

8.4.4　二阶与n阶常系数齐次线性微分方程 210

8.4.5 二阶与n阶常系数非齐次线性微分方程 212

8.4.6　欧拉方程 213

8.5　微分方程的幂级数解法 214

8.6　常系数线性微分方程组 215

第2部分　线性代数 217

第9章　行列式 219

9.1　行列式的定义 219

9.1.1 排列、逆序与对换 219

9.1.2　n阶行列式 220

9.2　行列式的性质与计算 221

9.2.1 行列式的性质 221

9.2.2 行列式按行（列）展开定理 222

9.2.3 拉普拉斯展开定理及其应用特例 223

9.2.4　行列式的计算 224

第10章　矩阵 226

10.1　矩阵及其运算 226

10.1.1 矩 阵 226

10.1.2　矩阵的运算 228

10.2　矩阵的秩与矩阵的初等变换 230

10.2.1 矩阵的秩及其求法 230

10.2.2　矩阵的初等变换 231

10.2.3 等价矩阵 231

10.2.4 初等矩阵 231

10.3　逆矩阵 233

10.3.1 逆矩阵的定义 233

10.3.2　逆矩阵的性质 233

10.3.3　矩阵可逆的充要条件 233

10.3.4　伴随矩阵 234

10.3.5 逆矩阵的求法 234

10.4.2 分块矩阵的运算规则 236

10.4　矩阵的分块 236

10.4.1 分块矩阵的定义 236

10.4.3　利用分块矩阵求逆矩阵 237

10.4.4 分块初等矩阵和分块矩阵的初等变换 238

第11章　向量 239

11.1　n维向量 239

11.1.1　n维向量的定义 239

11.1.2 向量的运算 240

11.2　向量间的线性关系 241

11.2.1 线性组合与线性表示 241

11.2.2 线性相关与线性无关 241

11.3.2 向量组的等价性 243

11.3.3 向量组的秩 243

11.3　向量组的秩和矩阵的秩 243

11.3.1 极大线性无关组 243

11.3.4　矩阵的秩 244

11.4　向量空间 244

11.4.1　基本概念 244

11.4.2　基变换与坐标变换 245

11.4.3 判定与求解方法 246

11.4.4 向量的内积 247

11.4.5　标准正交基和正交矩阵 248

12.1　消元法 250

12.1.1 线性方程组的基本概念 250

第12章　线性方程组 250

12.1.2　线性方程组的初等变换及有解条件 251

12.1.3　消元法 252

12.2　线性方程组解的讨论 253

12.2.1 线性方程组解的判定 253

12.2.2 非齐次与齐次线性方程组解的关系 253

12.2.3 线性方程组解的性质 254

12.3　线性方程组解的结构 254

12.3.1 基础解系、通解及解空间 254

12.3.2 齐次线性方程组解的结构 256

12.3.3 非齐次线性方程组解的结构 256

12.4.2 线性方程组解的求法 257

12.4.1 克莱姆法则及推论 257

12.4　克莱姆法则与线性方程组的一般求法 257

第13章　矩阵的特征值和特征向量 259

13.1 特征值和特征向量 259

13.1.1　基本概念 259

13.1.2　主要性质 260

13.1.3　求解方法 260

13.1.4 特征多项式的性质 261

13.1.5 相似矩阵 261

13.2　矩阵相似对角化的条件 262

13.2.1 可相似对角化的概念与条件 262

13.2.2　矩阵可对角化的判断 263

13.3.1　基本性质 264

13.3.2 实对称矩阵的相似对角化方法 264

13.3　实对称矩阵及其相似对角化 264

第14章　二次型 265

14.1　二次型及其矩阵表示 265

14.1.1 二次型的概念 265

14.1.2 二次线性与对称矩阵 266

14.1.3 合同矩阵 266

14.2　化二次型为标准形和规范形 267

14.2.1 二次型的标准形和规范形 267

14.2.2 化二次型为标准形的方法 267

14.3 正定二次型 269

14.3.1 概念 269

14.2.4　惯性定理 269

14.2.3 化二次型为规范形的方法 269

14.3.2　判别法 270

14.3.3 正定矩阵的性质 270

第3部分　概率论与数理统计 273

第15章　随机事件和概率 275

15.1 随机事件及其运算 275

15.1.1 随机事件与样本空间 275

15.1.2 事件的关系 276

15.1.3　事件的运算 277

15.2　事件的概率及其性质 279

15.2.1 频率及其稳定性 279

15.2.2　概率的定义 279

15.3.1 加法与乘法原理 排列与组合 280

15.3　概率的计算 280

15.2.3　概率的性质 280

15.3.2　古典型概率 282

15.3.3　几何型概率 282

15.3.4　条件概率 282

15.4　独立试验序列概型 284

15.4.1 独立试验序列概型 284

15.4.2　事件的独立性 284

15.4.3　贝努利概型 285

第16章　随机变量及其概率分布 286

16.1　随机变量及其分布函数 286

16.1.1 随机变量 286

16.1.3 随机变量的概率分布 287

16.1.2 随机变量的分布函数 287

16.2　离散型随机变量及其分布律 288

16.2.1　基本概念 288

16.2.2　分布函数 288

16.2.3　概率函数与分布函数及事件概率的关系 288

16.2.4 常见离散型随机变量的概率分布 289

16.2.5 泊松定理 290

16.2.6 离散型随机变量分布律的求法 291

16.2.7 二项分布与泊松分布的应用 291

16.3　连续型随机变量及其概率密度函数 292

16.3.1　基本概念与性质 292

16.3.2　概率密度与分布函数及事件概率的关系 293

16.3.3 常见连续型随机变量的概率分布 294

16.3.4　指数分布与正态分布的应用 296

16.4.1　基本概念 297

16.4　随机变量函数及其分布 297

16.4.2 离散型随机变量函数的分布律 298

16.4.3　连续随机变量函数的概率密度函数 298

第17章　二维随机变量及其概率分布 299

17.1　二维随机变量及其分布函数 299

17.1.1 二维随机变量 299

17.1.2 二维随机变量的分布函数 299

17.2.1 二维离散型随机变量 300

17.2.2 分布律 300

17.2　二维离散型随机变量及其分布律 300

17.1.3　边缘分布函数 300

17.2.3　边缘分布律 301

17.2.4 分布律与分布函数的关系 301

17.3　二维连续型随机变量及其分布律 302

17.3.1 二维连续型随机变量 302

17.3.2　概率密度的性质 302

17.3.3　边缘密度函数 302

17.4　条件分布 303

17.4.1 离散型随机变量的条件分布律 303

17.4.2　连续型随机变量的条件分布律 303

17.6.1　基本概念 304

17.5.2　独立的充分必要条件 304

17.6　二维随机变量函数的分布 304

17.5.1 独立性 304

17.5　二维随机变量的独立性 304

17.6.2　Z＝X＋Y的分布 305

17.6.3　Z＝X2＋Y2的分布 305

17.6.4　M＝max（X,Y）及N＝min（X,Y）的分布 306

17.7　常见的二维概率分布 306

17.7.1 二维0-1分布 306

17.7.2　二维均匀分布 306

17.7.3 二维正态分布 306

第18章　随机变量的数字特征 308

18.1 随机变量的数学期望与方差 308

18.1.1 随机变量的数学期望 308

18.1.2 随机变量的方差与标准差 309

18.1.3 常用分布的数学期望与方差 310

18.2　协方差、相关系数和矩 312

18.2.1 协方差 312

18.2.2 相关系数 312

18.2.3 独立性与不相关性 313

18.2.4 矩 314

18.3　随机变量函数的数学期望与方差 314

18.3.1 随机变量函数的数学期望 314

18.3.2　随机变量函数的方差 315

第19章　大数定律和中心极限定理 317

19.1 随机序列的收敛性及切比雪夫不等式 317

19.1.1 分布函数的弱收敛 317

19.1.2 随机变量的收敛性 317

19.1.3 切比雪夫不等式与马尔科夫不等式 318

19.2　大数定律 319

19.2.1 定义 319

19.2.2 常用的大数定律 320

19.2.3　柯尔莫哥洛夫定理及判别法 321

19.3 中心极限定理 321

19.3.1 定义 321

19.3.2 常见的中心极限定理 322

第20章　数理统计的基本概念与抽样分布 325

20.1　数理统计的基本概念 325

20.1.1 总体与样本 325

20.1.3　顺序统计量 326

20.1.2　统计量 326

20.1.4　经验分布函数与抽样分布 327

20.2　常用的抽样分布 327

20.2.1 样本均值的分布 327

20.2.2　x2分布 328

20.2.3 t分布 331

20.2.4　F分布 332

第21章　参数估计 335

21.1　参数估计的概念与分类 335

21.2　点估计 335

21.2.1 基本概念 335

21.2.2 常见的点估计 336

21.2.3 常用的点估计方法 337

21.2.4 估计量的简单性质（评价标准） 339

21.3.1 基本概念 340

21.3　区间估计 340

21.3.2 正态总体期望的区间估计 341

21.3.3 正态总体方差的区间估计 342

21.3.4 两个正态总体均值差的区间估计 343

21.3.5 两个正态总体方差比的区间估计 345

第22章　假设检验 346

22.1　假设检验与参数检验 346

22.1.1 基本概念 346

22.1.2　假设检验的一般步骤 346

22.2　单个正态总体的假设检验 347

22.2.1 已知方差σ2，检验假设H0：μ＝μ0 347

22.1.3　假设检验的风险及两类错误 347

22.2.2 未知方差σ2，检验假设H0：μ＝μ0 348

22.2.3 未知方差σ2，检验假设H0：μ≤μ0 348

22.2.4 已知均值μ，检验假设H0：σ2＝σ？ 349

22.2.5　未知均值μ，检验假设H0：σ2＝σ？ 349

22.2.6 未知均值μ，检验假设H0：σ2≤σ？ 350

22.3　两个正态总体的假设检验 351

22.3.1 已知方差σ？,σ？，检验假设H0：μ1＝μ2 352

22.3.2 未知方差σ？,σ？但σ？＝σ？＝σ2，检验假设H0：μ1＝μ2 352

22.3.3 已知均值μ1,μ2，检验假设H0：σ？＝σ？ 353

22.3.4 未知均值μ1,μ2，检验假设H0：σ？＝σ？ 353

22.4　关于总体分布函数的假设检验 355

参考文献 357