实变函数与泛函分析引论PDF电子书下载

第一节 集合及其运算 1

1.1 集合的概念 1

第一章 集合与点集 1

1.2 集合的运算 3

第二节 映射、对等与可数集 10

2.1 映射 10

2.2 集合的对等 13

2.3 可数集 15

第三节 不可数集、集合的势 18

第四节 直线上的开集、闭集及其性质 24

4.1 开集及其性质 24

4.2 聚点、导集、闭包 26

4.3 闭集及其性质 28

5.1 开集的构造 31

第五节 开集构造定理、康托三分集 31

5.2 康托三分集 33

第六节 n 维欧氏空间中的点集 36

习题 41

第二章 点集的勒贝格测度与可测函数 45

第一节 从黎曼积分到勒贝格积分 45

第二节 点集的勒贝格测度 52

2.1 点集的外测度 53

2.2 点集的勒贝格测度与可测集 57

第三节 可测集的性质 61

第四节 可测集类、不可测集 66

第五节 可测函数的定义及其基本性质 73

5.1 可测函数的概念 73

5.2 可测函数的基本性质 77

第六节 可测函数列的收敛性 83

6.1 几乎处处收敛与一致收敛 83

6.2 几乎处处收敛与依测度收敛 86

第七节 可测函数的构造 91

习题 95

第三章 积分论 99

第一节 勒贝格积分 99

1.1 勒贝格积分的定义及其基本性质 99

1.2 一般可积函数 109

1.3 积分序列的极限定理 115

1.4 R 积分与 L 积分的比较 125

第二节 不定积分与有界变差函数 130

2.1 有界变差函数 130

2.2 斯蒂阶积分 148

习题 154

第四章 距离空间 157

第一节 距离空间的概念 158

1.1 距离空间 158

1.2 距离空间进一步的例子 165

第二节 距离空间上的开集、闭集与连续映射 174

2.1 距离空间上的开集与闭集 174

2.2 距离空间上的连续映射 177

2.3 拓扑空间简介 181

第三节 距离空间的可分性与完备性 183

3.1 距离空间的可分性 184

3.2 距离空间的完备性 188

3.3 距离空间的完备化 192

3.4 第二纲集 197

第四节 压缩映射原理及其应用 199

第五节 列紧性与紧性 207

习题 219

第五章 巴拿赫空间、希尔伯特空间及其线性算子 223

第一节 线性赋范空间与巴拿赫空间 223

1.1 线性空间 225

1.2 线性赋范空间与巴拿赫空间 230

1.3 线性赋范空间的基本性质 232

1.4 有限维线性赋范空间 234

第二节 有界线性算子与有界线性泛函 238

2.1 有界线性算子的定义及性质 239

2.2 线性算子空间 247

2.3 有界线性泛函与共轭空间 249

第三节 内积空间与希尔伯特空间 258

3.1 内积空间与希尔伯特空间的定义 259

3.2 正交分解与投影定理 263

3.3 内积空间的正交系 270

3.4 可分希尔伯特空间及其同构性 279

3.5 希尔伯特空间的自共轭性 282

习题 284

第六章 泛函分析的基本定理 289

第一节 汉恩-巴拿赫定理 289

1.1 汉恩-巴拿赫定理 289

1.2 凸集分离定理 294

1.3 汉恩-巴拿赫延拓定理的证明 297

第二节 自反空间与共轭算子 302

2.1 自反空间 302

2.2 线性赋范空间中的共轭算子 305

2.3 希尔伯特空间中的自共轭算子 309

第三节 共鸣定理及其应用 313

3.1 共鸣定理及其应用 314

3.2 弱收敛与弱*收敛 321

第四节 逆算子定理与闭图象定理 325

4.1 逆算子 326

4.2 巴拿赫逆算子定理 330

4.3 闭图象定理 333

第五节 拉克斯-米尔格雷姆定理 338

习题 342

第七章 有界线性算子的谱理论 349

第一节 有界线性算子谱的概念和性质 349

1.1 有界线性算子谱的概念 351

1.2 有界线性算子谱的性质 354

第二节 全连续算子的黎斯-啸德尔理论 361

2.1 全连续算子的定义及基本性质 361

2.2 黎斯-啸德尔理论 366

第三节 有界自伴算子的谱理论 375

3.1 有界自伴算子的谱性质 375

3.2 全连续自伴算子的谱性质及其特征展开 380

3.3 正算子 384

3.4 投影算子 387

3.5 有界自伴算子的谱分解定理 392

3.6 谱分解定理的证明 396

3.7 有界自伴算子的算子演算及谱性质 401

习题 406

参考书目 410