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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、变量、区间 1

二、函数的概念 2

三、函数的几种特性 5

习题1-1 7

第二节 初等函数 8

一、基本初等函数 8

二、复合函数、初等函数 11

三、建立函数关系式举例 12

习题1-2 14

第三节 数列的极限 15

一、数列极限的概念 15

二、数列极限的运算 16

三、无穷递缩等比数列的和 17

习题1-3 18

第四节 函数的极限 18

一、当x→∞时，函数f（x）的极限 19

二、当x→x0时，函数f（x）的极限 20

习题1-4 21

第五节 函数极限的运算法则，两个重要极限 22

一、函数极限的运算法则 22

二、两个重要极限 23

习题1-5 25

第六节 无穷小与无穷大 26

一、无穷小 26

二、无穷大 27

三、无穷小的比较 29

习题1-6 30

第七节 函数的连续性 30

一、函数连续性的概念 31

二、初等函数的连续性 34

三、闭区间上连续函数的性质 35

习题1-7 37

第二章 导数与微分 38

第一节 导数的概念 38

一、变化率问题的数学模型 38

二、导数的定义 39

三、导数的几何意义 40

四、连续与可导的关系 40

五、求导数的一般步骤 41

习题2-1 42

第二节 导数的运算法则 43

一、导数的四则运算法则 43

二、复合函数的求导法则 45

三、反函数的求导法则 46

四、求导的基本公式 48

习题2-2 49

第三节 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数的导数 49

一、隐函数的导数 49

二、由参数方程所确定的函数的导数 51

习题2-3 52

第四节 高阶导数 52

一、高阶导数 52

二、二阶导数的物理意义 53

三、几种函数的n阶导数 53

习题2-4 54

第五节 函数的微分 55

一、微分的概念 55

二、微分的几何意义 56

三、微分的运算法则 56

四、微分在近似计算中的应用 57

习题2-5 59

第三章 导数的应用 60

第一节 拉格朗日中值定理 60

一、拉格朗日（Lagrange）中值定理 60

二、拉格朗日中值定理应用举例 61

习题3-1 62

第二节 泰勒公式 62

习题3-2 65

第三节 罗必达法则 65

一、未定式0/0型的极限 65

二、未定式∞/∞型的极限 66

三、其他类型的未定式 67

习题3-3 69

第四节 函数的单调性与极值 69

一、函数单调性的判定 69

二、函数的极值及其求法 71

习题3-4 73

第五节 最大值与最小值问题 73

习题3-5 75

第六节 曲线的凸凹与拐点 75

习题3-6 77

第七节 导数在经济分析中的应用 78

一、边际分析 78

二、弹性分析 80

三、最大利润与最低成本分析 82

习题3-7 84

第四章 不定积分 85

第一节 不定积分的概念与性质 85

一、原函数与不定积分的概念 85

二、不定积分的性质 87

三、基本积分公式 87

习题4-1 88

第二节 换元积分法 88

一、第一类换元积分法（凑微分） 88

二、第二类换元积分法 91

习题4-2 93

第三节 分部积分法 94

习题4-3 96

第四节 两种特殊类型函数的积分 96

一、有理分式函数的积分 96

二、三角函数有理式的积分 99

三、简单的无理函数的积分举例 100

习题4-4 101

第五节 简易积分表与利用Mathematica软件计算不定积分 101

一、简易积分表的使用 101

二、利用Mathematica软件计算不定积分 103

习题4-5 104

第五章 定积分及其应用 105

第一节 定积分的概念 105

一、引出定积分概念的两个典型问题 105

二、定积分的定义 107

三、定积分的存在性问题 108

四、定积分的几何意义 108

习题5-1 109

第二节 定积分的性质 109

习题5-2 112

第三节 微积分学基本公式 113

习题5-3 114

第四节 定积分的换元积分法 115

习题5-4 117

第五节 定积分的分部积分法 118

习题5-5 119

第六节 定积分的近似计算与利用Mathematica软件计算定积分 119

一、矩形法 120

二、梯形法 120

三、抛物线法 121

四、利用Mathematica软件计算定积分 122

习题5-6 123

第七节 广义积分 123

习题5-7 126

第八节 定积分在几何中的应用 126

一、平面图形的面积 127

二、旋转体的体积 129

习题5-8 130

第九节 定积分在物理学中的应用 131

一、变力沿直线所做的功 131

二、液体内部的压力 133

三、平均值 134

四、定积分在经济中的应用举例 136

习题5-9 137

第六章 微分方程 139

第一节 微分方程的基本概念 139

习题6-1 141

第二节 可分离变量的微分方程 141

习题6-2 144

第三节 一阶线性微分方程 144

习题6-3 146

第四节 一阶线性微分方程应用举例 146

习题6-4 149

第五节 二阶常系数齐次线性微分方程 150

习题6-5 152

第六节 二阶常系数非齐次线性微分方程 153

一、f(x)=Pm(x)eλx的情形 153

二、f(x)=eλx［Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx］的情形 155

习题6-6 156

附录 157

附录一、基本初等函数的图像及其特性 157

附录二、几种常用的曲线 159

附录三、积分表 162

附录四、Mathematica软件使用简介 168

附录五、习题参考答案 172

参考书目 181