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第1章 函数的极限与连续 1

1.1　函数 1

1.1.1　变量与常用数集 1

1.1.2　函数的基本概念 3

1.1.3　函数的几种基本特性 6

1.1.4　初等函数 9

习题1.1 13

1.2　函数的极限及其性质 15

1.2.1　函数极限的概念 15

1.2.2　极限不存在的情形 20

1.2.3　极限的性质 21

习题1.2 23

1.3　子极限与数列的极限 24

1.3.1　子极限 24

1.3.2　数列的极限 25

习题1.3 28

1.4　无穷小与无穷大 29

1.4.1　无穷小 29

1.4.2　无穷大 31

1.4.3　无穷大与无穷小之间的关系 32

习题1.4 33

1.5　极限运算法则 34

1.5.1　极限的四则运算法则 34

1.5.2　复合函数的极限运算法则 39

习题1.5 41

1.6　极限存在准则及两个重要极限 43

1.6.1　准则Ⅰ（夹逼准则） 43

1.6.2　准则Ⅱ（单调有界准则） 45

习题1.6 51

1.7　无穷小的比较 52

习题1.7 56

1.8　函数的连续性 57

1.8.1　函数连续性的概念 57

1.8.2　连续函数的运算法则 59

1.8.3　初等函数的连续性 62

1.8.4 函数的间断点 63

习题1.8 67

1.9　闭区间上连续函数的性质 69

1.9.1　最大值与最小值定理 69

1.9.2　有界性定理 70

1.9.3　零点存在定理与介值定理 70

习题1.9 72

总复习题一 72

第2章　一元函数微分学 75

2.1　导数的概念 75

2.1.1　几个引例 75

2.1.2　导数的定义 76

2.1.3 函数的可导性与连续性之间的关系 82

2.1.4　导数的几何意义 83

习题2.1 83

2.2　导数的运算法则与基本公式 85

2.2.1　求导的四则运算法则 85

2.2.2　反函数与复合函数的求导法则 88

习题2.2 92

2.3　隐函数与参数式函数的导数 93

2.3.1　隐函数的导数 94

2.3.2　参数式函数的导数 95

2.3.3　极坐标方程所确定的函数的导数 96

2.3.4　相关变化率 97

习题2.3 98

2.4　高阶导数 99

2.4.1　高阶导数 99

2.4.2　隐函数的二阶导数 103

2.4.3　参数式函数的二阶导数 104

习题2.4 104

2.5　一元函数的微分及其应用 105

2.5.1　微分的概念 105

2.5.2　微分的几何意义 108

2.5.3　微分的运算法则 109

2.5.4　微分的应用 110

习题2.5 112

总复习题二 114

第3章　微分中值定理与导数的应用 116

3.1　微分中值定理 116

3.1.1　罗尔定理 116

3.1.2　拉格朗日中值定理 118

3.1.3　柯西中值定理 120

习题3.1 121

3.2　洛必达法则 122

3.2.1　0/0型未定式 123

3.2.2　∞／∞型未定式 125

3.2.3　其他如0·∞、∞-∞、00、1∞、∞0等未定式 126

习题3.2 127

3.3　泰勒公式 128

3.3.1　泰勒多项式 128

3.3.2　泰勒中值定理 130

习题3.3 135

3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 136

3.4.1　函数的单调性 136

3.4.2 曲线的凹凸性与拐点 138

习题3.4 142

3.5　函数的极值、最大值和最小值 143

3.5.1　函数的极值 143

3.5.2　函数的最大值与最小值 147

习题3.5 149

3.6　函数图形的描绘 151

3.6.1　渐近线 151

3.6.2　函数图形的描绘 153

习题3.6 156

3.7 曲率 156

3.7.1　弧微分 156

3.7.2　曲率与曲率半径 158

习题3.7 162

3.8　导数在经济上的应用 162

3.8.1　边际与边际分析 162

3.8.2　弹性与弹性分析 164

习题3.8 165

总复习题三 166

第4章　不定积分 169

4.1　不定积分的概念与性质 169

4.1.1　原函数 169

4.1.2　不定积分 170

4.1.3　不定积分的性质 171

4.1.4　基本积分公式 172

习题4.1 173

4.2　不定积分的换元积分法 175

4.2.1　第一类换元积分法 175

4.2.2　第二类换元积分法 178

习题4.2 183

4.3　不定积分的分部积分法 184

习题4.3 189

4.4　有理函数和可化为有理函数的积分 190

4.4.1　有理函数的积分 190

4.4.2　三角有理函数的积分 192

习题4.4 194

4.5　积分表的使用 195

习题4.5 197

总复习题四 197

第5章　定积分 199

5.1　定积分的概念与性质 199

5.1.1　引例 199

5.1.2　定积分的概念 201

5.1.3　定积分的几何意义 202

5.1.4　定积分的性质 203

习题5.1 205

5.2　微积分基本定理 206

5.2.1　积分上限的函数及其导数 207

5.2.2　牛顿—莱布尼茨公式 209

习题5.2 210

5.3　定积分的换元积分法与分部积分法 212

5.3.1　定积分的换元积分法 212

5.3.2　分部积分法 215

习题5.3 217

5.4　反常积分 219

5.4.1　无穷限的反常积分 219

5.4.2　无界函数的反常积分 221

习题5.4 223

5.5　反常积分的审敛法，Г函数 224

5.5.1　无穷限反常积分的审敛法 224

5.5.2　无界函数的反常积分的审敛法 227

5.5.3　Г函数 228

习题5.5 229

总复习题五 230

第6章　定积分的应用 232

6.1　定积分的元素法 232

6.2　定积分在几何上的应用 233

6.2.1　平面图形的面积 233

6.2.2　体积 237

6.2.3　平面曲线的弧长 239

习题6.2 242

6.3　定积分在物理学中的应用 244

6.3.1　变力沿直线做功 244

6.3.2　液体的侧压力 246

6.3.3 引力 246

习题6.3 247

总复习题六 248

第7章　微分方程 250

7.1　微分方程的基本概念 250

习题7.1 253

7.2　变量可分离的微分方程 254

习题7.2 257

7.3　齐次方程 258

7.3.1　齐次方程 258

7.3.2　可化为齐次方程的方程 259

习题7.3 262

7.4　一阶线性微分方程 262

7.4.1　一阶线性微分方程 262

7.4.2　伯努利方程 265

习题7.4 265

7.5　可降阶的高阶微分方程 266

7.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程 266

7.5.2　y″＝f（x,y′）型的微分方程 267

7.5.3　y″＝f（y,y′）型的微分方程 268

习题7.5 269

7.6　高阶线性微分方程 269

7.6.1　线性齐次微分方程的解的结构 270

7.6.2　二阶线性非齐次微分方程的解的结构 271

7.6.3　常数变易法 273

习题7.6 275

7.7　二阶常系数线性齐次微分方程 276

习题7.7 279

7.8　二阶常系数线性非齐次微分方程 280

7.8.1 自由项为f(x)=P(x)eλx的情形 280

7.8.2 自由项为f(x)=eax（Pl(x)cosβx+Pn(x)sinβx）的情形 282

习题7.8 285

7.9　欧拉方程 286

习题7.9 287

7.10　常系数线性微分方程组解法举例 287

习题7.10 289

7.11　微分方程的应用举例 290

习题7.11 298

总复习题七 298

习题答案（上） 301

附录Ⅰ 数学归纳法 336

附录Ⅱ 一些常用的中学数学公式 338

附录Ⅲ 几种常用的曲线（α＞0） 340

附录Ⅳ　积分表 344