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第一章 度量空间 1

0．引言 1

1．实直线R1上存在距离d和点列｛xn｝，｛yn｝？（R1,d），使limn→∞xn与limn→∞yn都存在，但limn→∞（xn+yn）≠limn→∞xn+limn→∞yn 4

2．存在R2的一个测度为零的度量子空间，它的某个稠密开集的边界为不可数集 4

3．存在一个集上的两个距离d1与d2，不存在距离d使d≤d1,d≤d2 4

4．存在两个不相交的有界闭集，它们之间的距离等于零 5

5．存在一个完备度量空间中的紧集F1与闭集F2，使对任意x∈F1,y ∈F2恒有d（x,y）＞d（F1,F2） 5

6．C［0,1］上的两种距离，使得按照一种距离的单位球的余集在另一种距离下的单位球内是稠密的 6

7．一个度量空间，其中存在开球，它是闭集但不是闭球；又存在闭球，它是开集但不是开球 6

8．存在度量空间，其中开球的闭包都是闭球，但它的某个子空间却无此性质 7

9．存在某个度量空间的紧子空间E，使E中每个球都是连通的，但是开球的闭包未必是闭球 7

10．存在某个度量空间，在其中有半径分别为r1与r2的闭球B1与B2，虽然r1＞r2，却有B1？B2 7

11．存在度量空间，在其中有集A，使｛p:d（p,A）≤1｝≠∪q∈AB［q,1］，这里B［q,1］＝｛p:d（q,p）≤1｝ 7

12．存在完备度量空间，在其中一个渐缩的非空闭球列｛Bn｝，使∪∞ n＝？ 8

13．存在某个集上的两个距离，使得到的两个度量空间一个完备而另一个不完备 8

14．任何子集都是既开又闭的完备度量空间 9

15．任何子集都是既开又闭的不完备的度量空间 9

16．内点都是孤立点的度量空间 10

17．同一个集X上的两个距离d1与d2，使（X,d1）可分而（X,d2）不可分 10

18．无理数集上存在非离散的完备距离，使其成为完备的可分空间 10

19．有界而非全有界的集合 11

20．全有界而不列紧的集合 11

21．有界闭集并不都是列紧的度量空间 11

22．一个列紧集列，其并集并不列紧 12

23．存在某个度量空间中的列紧集，它与它的某个真子集等距 12

24．存在某个非紧度量空间，它不能与它的真子集等距 12

25．存在非紧的度量空间，在它上面的每个实值连续函数都是一致连续的 12

26．存在两个度量空间X与Y，使X2与Y2等距而X与Y并不等距 13

27．一个不完备的度量空间，它同胚于它的完备化空间 14

28．存在两个不同胚的度量空间，每一个都是另一个的一对一的连续像 14

29．某个度量空间中的子集A与B，虽然A与B的某个子集同胚，B与A的某个子集同胚，但A与B仍不同胚 14

30．R1中存在两个同胚的子集A与B，而不存在R1到R1上的同胚映射f，使f(A)=B 15

31．把Cauchy点列映成非Cauchy点列的同胚映射 15

32．Cauchy点列的几种弱形式之间的关系 15

33．把全有界集映成非全有界集的同胚映射 16

34．把列紧集映成非列紧集的同胚映射 17

35．把闭集映成非闭集的同胚映射 17

36．一个连续映射，它把某个有界闭集映成非闭集 17

37．一个开集的等距像，它不是开集 17

38．连续而不列紧的映射 18

39．映每个子集为列紧集的无处连续映射 18

40．存在由R2到R2的某个子集上的一对一的连续映射g，使对任意p∈R2都有d（p,g（p））＝1，而g不是R2到该子集上的等距映射 18

41．一个完备的凸度量空间（X,d），使X到X的一切连续映射所成的度量空间F不是凸的，其中F上的距离为e（f,g）＝supp∈xd（f（p），g（p）） 18

第二章 赋范线性空间 21

0．引言 21

1．存在某个线性空间中的两个线性子空间，其并不是线性子空间 24

2．存在某个线性空间的子集A，使A+A≠2A 24

3．存在某个线性空间中的非凸集A，适合A+A=2A 24

4．存在某个线性空间中的非凸集A和线性映射T，使T（A）是凸集 25

5．存在n维欧氏空间中不同胚的闭凸集 25

6．R2中的一个吸收集，它在复平面内并不吸收 25

7．R2中的一个均衡集，它在复平面内并不均衡 25

8．存在某个线性空间中的集，它的均衡包的凸包不等于它的凸包的均衡包 25

9．任给线性空间X，可在X上赋予范数而使之成为赋范线性空间 26

10．存在某个线性空间上的两个不可比较的完备范数 26

11．存在某个线性空间上的强、弱两个范数，使强范数完备而弱范数不完备 26

12．存在某个线性空间上的强、弱两个范数，使弱范数完备而强范数不完备 26

13．不能赋予完备范数的线性空间 27

14．存在某个线性空间上的两个完备范数，其和并不完备 27

15．存在某个线性空间上的两个不完备范数，其和完备 27

16．一个Banach空间中的第一纲子空间，它本身并非第一纲空间 28

17．不完备的第二纲空间 28

18．一个不完备的赋范线性空间X及X的闭子空间M，使商空间X/M完备 28

19．存在某个赋范线性空间的子空间M及点x0，使x0到M的最近元不是唯一的 29

20．Riesz引理中的实数α（0＜α＜1）不能加强为α＝1 29

21．属于lp而不属于lr（1≤r＜p＜＋∞）的元素 30

22．属于∩∞ n=1l1+1/n而不属于l的元素 30

23．属于c0而不属于∪∞ n=1ln的元素 30

24．存在点列｛xn｝？lr，使｛xn｝在lp（1≤r＜p＜＋∞）中收敛而在lr中不收敛 30

25．存在某个线性空间上的两个范数及点列｛xn｝，使｛xn｝在这两个范数下均收敛而极限不同 30

26．存在某个线性空间X上的两个范数‖·‖与‖·‖1及子集A，使A在（X，‖·‖）与（X，‖·‖1）中都是紧的，而在（X，‖·‖＋‖·‖1）中不紧 31

27．赋范线性空间上不连续的线性泛函 32

28．赋范线性空间中不闭的线性子空间 32

29．存在某个赋范线性空间中没有内点的凸的均衡吸收集 33

30．存在某个赋范线性空间内稠密的凸的均衡吸收的真子集 33

31．存在某个赋范线性空间中的无处稠密的闭的凸均衡吸收集 33

32．存在某个赋范线性空间中的子集，它的线性闭包不等于它的闭包张成的线性子空间 34

33．存在某个赋范线性空间中的无限集，它的线性闭包不等于它的元素的无限线性组合所成的线性子空间 35

34．存在某个赋范线性空间中的两个闭集，其和不是闭集 35

35．设A与B都是赋范线性空间中的闭凸集，C是有界集，则A+C=B+C蕴涵A=B．上述条件缺一不可 36

36．C［0,1］中的一个闭凸子集，它不含有最小范数的元素 36

37．L［0,1］中的一个闭凸子集，它含有无穷多个最小范数的元素 37

38．存在某个Banach空间X的子集A，使A的每个无限子集张成的线性子空间在X中稠密 37

39．不可分的Banach空间 37

40．一个可分Banach空间，其共轭空间不可分 38

41．存在不可分的Banach空间，它有可分的无穷维商空间 38

42．某个赋范线性空间X与f∈X，而不存在x ∈X，使‖x‖＝1且f（x）＝ ‖f‖． 38

43．l（或l∞）中存在两个线性无关元x与y，适合‖x-y‖·‖x+y‖＝‖x‖2-‖y2 39

44．存在赋范线性空间X及x,y ∈X，使‖x-y‖≥1/2（‖x‖＋‖y‖）‖x／‖x‖-y／‖y‖‖不成立 39

45．存在某个Banach空间中的闭凸集，它没有端点 40

46．具有Krein-Milman性质的非自反Banach空间 41

47．存在某个Banach空间中的紧凸集，它不是其端点集的凸包 41

48．存在不自反的Banach空间，它的单位闭球的端点不可数 41

第三章 算子和泛函 43

0．引言 43

1．连续而无界的泛函 45

2．下半连续而不连续的泛函 46

3．存在某个复赋范线性空间上的可加连续算子，它不满足复齐性的条件 46

4．l∞上的一个有界线性泛函f，不能表成f（x）＝？的形式，其中x＝｛ξn｝∈l∞，而｛βn｝为某个固定数列 46

5．存在某个赋范线性空间的子空间上的有界线性泛函，其保范扩张并不唯一 47

6．存在范数不等于1的射影算子 48

7．Hahn-Banach定理不能推广到一般的有界线性算子 49

8．存在某个Banach空间上的非零连续线性泛函，它在单位闭球上取不到最大值 50

9．存在与某个Banach空间中的单位闭球相切而不相交的闭超平面 50

10．任给无穷维赋范线性空间上的非零连续线性泛函f，可构造一个可数有界闭集S，使．f（S）不闭 50

11．存在不连续的双线性泛函，它对各个变元分别连续 51

12．非仿射的等距映射 51

13．存在赋范线性空间（X，‖·‖x）与（Y，‖·‖Y）及映射f，使‖x1-x2‖x=1蕴涵‖f（x1）-f（x2）‖Y=1，但f不是等距映射 52

14．等距齐性而非线性的映射 53

15．不可换的连续线性算子 53

16．存在某个赋范线性空间到其自身上的一对一的不连续的线性算子 54

17．存在某个赋范线性空间到其自身上的不连续线性算子f，使｛x:f（x）=0｝是闭集 54

18．一个有界线性算子，其逆算子无界 55

19．一个无界线性算子，其逆算子有界 55

20．存在某个非同胚的线性算子，使T是同胚的线性算子 55

21．Banach逆算子定理不成立的赋范线性空间 55

22．存在两个可逆矩阵，其积不可逆 56

23．一个具有逆矩阵的无穷矩阵，而它并不可逆 56

24．一个可逆矩阵，它却不存在左逆矩阵 57

25．一个开映射，它的逆映射不连续 57

26．一个乘积空间中的闭集，其射影不是闭集 58

27．存在两个闭映射，构成不闭的复合映射 58

28．存在闭映射y=f（x）与连续映射z=g（y），构成不闭的复合映射z=g［f（x）］ 58

29．存在闭线性算子T与连续线性泛函f，构成不闭的线性泛函f o T 58

30．两个闭线性算子的和与积不必是闭线性算子 59

31．具有闭的值域的非闭线性算子 60

32．把某个闭集映成非闭集的闭线性算子 60

33．连续线性算子与闭线性算子互不蕴涵 60

34．存在某个连续的一对一的闭线性算子，其逆算子是闭的不连续算子 61

35．闭图像定理不成立的赋范线性空间 61

36．一个在第一纲赋范线性空间上定义而在另一个Banach空间上取值的闭线性算子，使其也是连续算子 62

37．开映射定理不成立的赋范线性空间 63

38．一个在Banach空间上定义而在另一个第一纲赋范线性空间上取值的闭线性算子，使其也是开算子 64

39．存在两个闭线性算子，其和没有闭的扩张 64

40．线性算子与其共轭算子之间的关系 65

41．有界线性算子与其扩张算子之间的关系 70

第四章 弱拓扑和弱拓扑 73

0．引言 73

1．存在某个Banach空间上的有界线性泛函列｛fn｝，它弱收敛于f，而它的任何有限线性组合所成的点列都不按范数收敛于f 76

2．存在某个无穷维赋范线性空间，其中点列的强、弱收敛性是等价的 76

3．弱收敛而不弱收敛的泛函列 78

4．赋范线性空间中弱收敛而不强收敛的点列 78

5．存在点列｛xn｝？l2，使｛xn｝按坐标收敛而并不弱收敛 78

6．强收敛而不一致收敛的有界线性算子列 79

7．弱收敛而不强收敛的有界线性算子列 79

8．共鸣定理不成立的赋范线性空间 80

9．存在某个Banach空间X到另一赋范线性空间Y内的一个一致有界的线性算子列｛Tn｝，使对X的某个稠密子集G的每一点x，｛Tx｝都收敛，但｛Tn｝并不强收敛于某个T∈L（X,Y） 81

10．弱序列完备而不弱完备的赋范线性空间 81

11．存在某个Banach空间，它并不弱序列完备 82

12．弱序列完备而不自反的Banach空间 82

13．存在无穷维线性空间X上的两种不同的拓扑，在这两种拓扑下，X上的连续线性泛函却是相同的 83

14．存在无穷维线性空间X上的两种不同的拓扑，在这两种拓扑下，X中的有界集却是相同的 84

15．共轭空间中弱有界而不弱有界的集合 84

16．某个共轭空间中强闭而不弱序列闭的子空间 85

17．某个赋范线性空间中强闭而不弱序列闭的子集 85

18．共轭空间中弱序列闭而不弱序列闭的子集 85

19．存在某个赋范线性空间的子集，它的弱闭包与弱序列闭包并不相同 86

20．存在某个共轭空间中的子集，它的弱闭包与弱序列闭包并不相同 87

21．存在某个共轭空间中弱序列连续而不弱连续的线性泛函 87

22．某个共轭空间的子集，它的范数拓扑闭包与弱拓扑闭包并不相同 88

23．L∞（R1）中存在一个弱稠密的子空间F，使对任何r（0＜r≤1），F∩B1在Br中均不弱稠密，这里Br是半径为r的闭球 89

24．一个不可分的Banach空间，其共轭空间弱可分 89

25．弱可分而不弱可分的共轭空间 90

26．弱可分而不弱序列可分的共轭空间 90

27．一个弱可分的共轭空间，其中存在不弱可分的闭子空间 90

28．某个共轭空间中弱紧而不弱序列紧的子集 91

29．某个共轭空间中的弱序列紧集，它不是范数拓扑下的有界集 91

30．某个赋范线性空间中的弱序列紧而不强序列紧的集合 92

31．某个共轭空间中弱序列紧而不弱序列紧的集合 92

32．赋范线性空间中弱序列完备而不弱序列紧的集合 92

33．存在紧集，它的闭凸包不是紧的 93

34．某个非自反的Banach空间X，使X中点列的弱收敛与弱收敛相一致 93

35．某个Banach空间X，使X中点列的弱收敛与弱收敛相一致，但X中点集的弱紧与弱紧并不一致 94

36．有界闭集都是紧的无穷维局部凸空间 94

第五章 Banach空间中的基 95

0．引言 95

1．Banach空间中收敛而不绝对收敛的级数 97

2．赋范线性空间中绝对收敛而不收敛的级数 98

3．Banach空间中收敛而非无条件收敛的级数 98

4．某个Banach空间中弱无条件收敛而非无条件收敛的级数 98

5．某个Banach空间中无条件收敛而非绝对收敛的级数 99

6．赋范线性空间中Hamel基与Schauder基互不蕴涵 99

7．既是Hamel基又是Schauder基的无穷点列 100

8．一个有基的Banach空间，其共轭空间没有基 100

9．没有基的可分Banach空间 101

10．没有逼近性质的可分Banach空间 101

11．存在某个Banach空间，它有逼近性质而没有有界逼近性质 101

12．存在某个Banach空间，它有有界逼近性质而没有度量逼近性质 102

13．存在某个有基的Banach空间X，使X可分，但X没有逼近性质 102

14．一个赋范线性空间中的基，它不是Schauder基 102

15．某个赋范线性空间的弱Schauder基，它不是基 103

16．某个共轭空间X的基，它在X中没有双直交列 104

17．一个双直交点列｛xn｝与｛fn｝，使｛xn｝是基而｛fn｝不是基 104

18．某个Banach空间中的基序列，它的坐标泛函列不是基序列 105

19．某个Banach空间的稠密子空间的基，它不是整个空间的基 106

20．一个赋范线性空间中的基｛xn｝，它有子列｛xnk｝，使｛xnk｝不是基序列 106

21．存在点列｛xn｝，它是Banach空间（X，‖·‖）与（Y，‖·‖Y）的基，但不是（X∩Y，‖·‖＝‖·‖x＋‖·‖Y）的基 107

22．一个Banach空间的基｛xn｝，使基序列｛x2k｝等价于基｛xn｝，但｛f2k｝并不等价于｛fn｝，这里，｛fn｝是｛xn｝的坐标泛函列 107

23．有弱基而没有基的共轭空间 108

24．存在某个Banach空间的共轭空间，它有弱基而并不可分 108

25．某个Banach空间的共轭空间中的Schauder基，它不是弱基 108

26．一个Banach空间的共轭空间中的弱基，它不是弱Schauder基 109

27．一个共轭空间中的弱Schauder基，它不是Schauder基 110

28．一个Banach空间的共轭空间，它弱可分而没有弱基 111

29．一个共轭空间X中的点列，它既是X的基，又是X的弱基，但它并不弱收敛于0 111

30．一个有基的Banach空间，它没有单调基 112

31．一个Banach空间的有界完全基，它的一个基序列却不是有界完全的 112

32．一个双直交列｛xn｝与｛fn｝，使｛fn｝是有界完全的基序列，而｛xn｝却不是收缩的基序列 112

33．一个双直交列｛xn｝与｛fn｝，使｛fn｝是收缩的基序列，而｛xn｝却不是有界完全的基序列 113

34．一个Banach空间中的基，它不是正规基 114

35．一个Banach空间的非正规基｛xn｝，使坐标泛函列｛fn｝是？｛fn｝的正规基 114

36．一个Banach空间的Bessel基，它不是Hilbert基 115

37．一个Banach空间的Hilbert基，它不是Bessel基 115

38．一个Banach空间的基，它不是无条件基 115

39．有基而没有无条件基的Banach空间 117

40．一个没有无条件基的赋范线性空间，而能嵌入到具有无条件基的Banach空间 117

41．某个Banach空间的Schauder基，它弱收敛于0，但它没有无条件的基序列 118

42．具有唯一无条件基的无穷维Banach空间 118

43．某个Banach空间的无条件基，它不是有界完全的 118

44．一个Banach空间的无条件基，它不是收缩的 118

45．某个Banach空间的无条件基，它不是绝对收敛基 119

46．某个Banach空间中的次对称基，它不是对称基 119

47．有基而没有次对称基的Banach空间 120

48．一个有基的Banach空间X，其中存在有基的子空间G，使G中没有一个基可以扩张成为X的基 120

49．一个Banach空间的分解，它不是Schauder分解 120

50．具有Schauder分解的不可分的Banach空间 121

第六章 自反空间和弱紧生成空间 123

0．引言 123

1．不自反的Banach空间 124

2．一个不自反的赋范线性空间，其共轭空间自反 124

3．存在某个不自反的赋范线性空间X，使对每一f∈X＊，f在X的单位闭球上达到上确界 125

4．等距同构于它的第二共轭空间而本身并不自反的Banach空间 126

5．存在某个无穷维自反Banach空间，它不线性同胚于它的Cartesian积 126

6．一个无穷维Banach空间，它的每个自反子空间都是有限维的 127

7．一个自反空间的连续像，它不是自反空间 127

8．具有弱Banach-Saks性质而不具有Banach-Saks性质的Banach空间 127

9．不具有Banach-Saks性质的自反Banach空间 128

10．存在Banach空间X，使X不具有Banach-Saks性质，而X具有Banach-Saks性质 130

11．具有弱Banach-Saks性质而不自反的Banach空间 131

12．自反而不具有弱Banach-Saks性质的Banach空间 131

13．具有Banach-Saks性质而不超自反的Banach空间 132

14．自反而不严格凸的Banach空间 132

15．没有Banach-Saks性质的接近一致凸的Banach空间 133

16．一个具有无条件基的自反的Banach空间，它没有线性同胚于lp（1≤p＜＋∞）的子空间 134

17．James空间 135

18．非次自反的赋范线性空间 136

19．不完备的次自反空间 136

20．具有有界完全基而非几乎自反的Banach空间 137

21．非弱紧生成空间 137

22．既不可分也不自反的弱紧生成空间 137

23．存在某个不可分Banach空间，它的每个闭子空间都是弱紧生成空间 137

24．存在某个弱紧生成空间的闭子空间，它不是弱紧生成空间 137

25．存在某个弱紧生成空间，其共轭空间不是弱紧生成空间 138

26．存在某个非弱紧生成空间，其共轭空间是弱紧生成空间 138

第七章 Banach空间的凸性、光滑性及范数的可微性 139

0．引言 139

1．存在某个赋范线性空间中的点列｛xn｝，使｛xn｝弱收敛于x0且‖n‖→‖x0‖，但｛xn｝并不强收敛于x0 141

2．一个一致凸赋范线性空间上的非零连续线性泛函，它在单位闭球上取不到极大值 142

3．不可分的一致凸Banach空间 143

4．一致凸而不自反的赋范线性空间 144

5．一个自反Banach空间，在它上面不能赋予与原范数等价的一致凸范数 144

6．局部一致凸而非自反的Banach空间 146

7．存在某个非自反的不可分Banach空间，在它上面可赋予等价的局部一致凸的范数 147

8．不能赋予等价的严格凸范数的Banach空间 147

9．存在某个可分且严格凸的Banach空间，而不能赋予等价的一致凸范数 149

10．严格凸而不弱局部一致凸的Banach空间 150

11．弱局部一致凸而非局部一致凸的Banach空间 150

12．局部一致凸而非一致凸的Banach空间 150

13．严格凸而非中点局部一致凸的Banach空间 151

14．中点局部一致凸而非局部一致凸的Banach空间 152

15．严格凸而非各向一致凸的Banach空间 152

16．各向一致凸而非局部一致凸的Banach空间 152

17．各种凸性之间的相互关系的补充例子 153

18．存在某个Banach空间，其范数Gateaux可微 155

19．存在某个Banach空间，其范数在某点Gateaux可微而不Fréchet可微 155

20．可分而不光滑的Banach空间 156

21．不能赋予等价的光滑范数的Banach空间 156

22．存在某个不可分的Banach空间，而能赋予等价的光滑范数 156

23．存在某个可分的Banach空间，其共轭空间不线性同胚于任何一个光滑空间 157

24．存在一个Banach空间X，使X是严格凸的，但X并不非常光滑 157

25．存在一个弱Asplund空间，它不是Asplund空间 158

26．无处Gateaux可微的连续的凸函数 159

27．存在某个线性同胚于严格凸空间的Banach空间，它的某个商空间不线性同胚于任何严格凸空间 159

28．一个线性同胚于各向一致凸空间的Banach空间，它的某个商空间不线性同胚于任何各向一致凸空间 160

29．一个线性同胚于弱紧集方向一致凸空间的Banach空间，它的某个商空间不线性同胚于任何弱紧集方向一致凸空间 160

30．一个非严格凸的Banach空间X及闭子空间M，使商空间X/M是一致凸的 160

31．一个一致凸Banach空间上的一族一致凸Banach空间之积，它不是一致凸的 161

32．一个各向一致凸Banach空间上的一族各向一致凸Banach空间之积，它不是各向一致凸的 162

33．不能赋予等价的各向一致凸范数的Banach空间 163

第八章 Banach空间的同构理论 165

0．引言 165

1．万有空间 166

2．存在无穷维赋范线性空间，它等距同构于它的某个真子空间 166

3．线性同胚而不等距同构的赋范线性空间 166

4．存在两个不等距同构的Banach空间，其共轭空间彼此等距同构 167

5．（L∞［a,b］）与L［a,b］并不等距同构 167

6．存在某个可分Banach空间，它不含有线性同胚于l的子空间，且它的共轭空间不可分 167

7．一个赋范线性空间X，它不线性同胚于XxR1 168

8．存在Banach空间B与紧拓扑空间X,Y使BX与BY等距同构，而X与Y并不同胚 169

9．Lp［a,b（或lp）（1 ＜p＜＋∞，p≠2）的某个闭子空间M，对于它，不存在闭子空间N而有Lp［a,b］（或lp）＝M ？N 170

10．存在Banach空间X，使X的每个无穷维可补子空间都线性同胚于X 171

11．一个具有无条件Schauder基的弱平行四边形空间，它不线性同胚于空间l2 172

12．对p≠2,L2［0,1］仍与Lp［0,1］的某个子空间线性同胚 173

13．Lp［0,1］与lp（1≤p＜＋∞，p≠2）不线性同胚 173

14．内射空间 173

15．Banach空间L∞［0,1］与l∞线性同胚 174

16．l2与l∞的某个商空间线性同胚 175

17．不存在l∞到c0上的连续射影算子 176

18．存在某个Banach空间X的商空间，它不线性同胚于X的任何一个子空间 177

19．一个Banach空间，它不是某个Banach空间的共轭空间 177

20．一个Banach空间X的共轭空间X，在X上赋予与原范数等价的某个范数M，而（X,M）不是（X,PM）的共轭空间，其中PM是X上的由M导出的范数 178

21．拟相补的子空间 178

22．Banach空间的同胚性 178

23．一致同胚而不线性同胚的Banach空间 179

第九章 向量值函数 181

0．引言 181

1．存在定义在［0,1］上而取值于空间l2中的一个弱连续函数，它在［0,1］中的Cantor集上无处强连续 184

2．弱有界变差而不强有界变差的向量值函数 185

3．存在定义在［0,1］上而取值于空间c中的向量值函数x（t）＝｛ξn（t）｝，使每个ξn（t）满足Lipschitz条件，而x（t）不是强有界变差函数 185

4．存在定义在［0,1］上而取值于c中的向量值函数x（t）＝｛ξn（t）｝，使｛ξn（t）｝一致收敛于ξ（t），且ξn（t）与ξ（t）均为有界变差函数，而x（t）却不是弱有界变差的 187

5．存在定义在［0,1］上而取值于c中的弱有界变差的无处连续函数 188

6．Helly选择原理对于取值于c中的强有界变差函数族并不成立 188

7．弱绝对连续而不绝对连续的向量值函数 189

8．绝对连续而不强绝对连续的向量值函数 189

9．存在某个定义在（0,2π）上而取值于空间c内的向量值函数x（t），使对任一f∈c，数值函数fx（t）］处处可导，但x（t）却无处存在弱导数 190

10．弱可导而不强可导的向量值函数 190

11．存在处处强连续而却无处弱可导的向量值函数 191

12．存在无处强可导的强绝对连续函数 192

13．存在强绝对连续函数，它并不几乎处处有弱导数 192

14．对每个无穷维Hilbert空间，可构造简单连续曲线，它的任意两个不相覆叠的弦互相直交 193

15．弱可测而不强可测的向量值函数 194

16．弱可测而不弱可测的向量值函数 194

17．存在由［0,1］到空间c内的向量值函数x（s），使对每一f∈c，f［x（s）］均是Lebesgue可积的，而x（s）并不Pettis可积 196

18．Pettis可积而不强可测的向量值函数 197

19．Pettis可积而不Bochner可积的向量值函数 197

20．Radon-Nikodym定理不成立的有界变差且关于μ绝对连续的向量值测度 198

21．Riesz表示定理不成立的有界线性算子 199

第十章 度量线性空间 201

0．引言 201

1．存在某个度量线性空间中度量有界而不有界的集合 201

2．存在某个度量线性空间中的有界集，它的凸包不是有界的 202

3．存在某个度量线性空间上的连续线性映射，它把零点的每个邻域映成无界集 203

4．不可赋范化的度量线性空间 203

5．级数的无条件收敛与绝对收敛等价的无穷维Fréchet空间 203

6．不能赋予完备的平移不变距离的线性空间 204

7．xn→0并不蕴涵∑n k＝1xk/n→0的度量线性空间 205

8．不存在非零连续线性泛函的度量线性空间 205

9．共轭空间是零维的无穷维度量线性空间 206

10．存在某个非局部凸的度量线性空间，其上存在非零连续线性泛函 208

11．存在某个非局部凸的度量线性空间，其中存在着不同于整个空间的零点的凸邻域 208

12．存在某个度量线性空间X的子集A，使对每一f∈X，都能由f（x）＝0（任意x ∈A）推出f（x）＝0（任意x ∈X），但span A在X 中并不稠密 208

13．给定单位球面S上的某两个点x与y，不存在z ∈S使d（x,z）＝d（z,y）的度量线性空间 208

14．存在某个连续线性算子T，对于它不存在常数M，使d（Tx,0）≤Md（x,0） 209

15．存在某个线性空间X上的两个线性距离d1,d2，使对任何｛xn｝？X，｛xn｝按这两个距离的收敛意义是相同的，但不存在常数m,M＞0，使md1（x,y）≤d2（x,y）≤Md1（x,y） 209

16．一个度量线性空间中的单位球，它不是凸集 210

17．存在某个度量线性空间，它不含有线性同胚于某个Banach空间的无穷维子空间 211

18．存在某个度量线性空间，它线性同胚于它的任一有有限余维的子空间 212

19．存在某个Fréchet空间，其中的一个弱Schauder基，它不是Schauder基 213

20．存在某个度量线性空间X，使X＝｛0｝，而X有Schauder分解 214

21．存在某个局部凸的Fréchet空间中的有界闭凸集，它没有支撑点 215

第十一章 压缩型映射与不动点 217

0．引言 217

1．Banach压缩映射原理中空间完备性的条件不可去掉 218

2．一个非压缩映射T，使T2是压缩映射 218

3．一个不连续映射f，使f2是压缩映射 218

4．存在某个完备度量空间X上的映射f，对任意x，y ∈X，存在常数α＜1，使d（f（x）,f（y））≤αd（x,y），但f没有不动点 219

5．存在某个完备度量空间上的弱压缩映射，它没有不动点 219

6．某个紧度量空间上的具有不动点的弱压缩映射，它不是压缩映射 219

7．存在某个赋范线性空间中的有界闭凸子集，它没有不动点性质 219

8．一个没有不动点性质的紧度量空间，其中存存稠密子空间而有不动点性质 220

9．对空间c0中的单位球U存在由U到U内的无不动点的非扩张映射 220

10．存在某个Banach空间中的单位闭球上的弱压缩映射，它没有不动点 221

11．不动点不唯一的非扩张映射 221

12．存在区间［0,1］到［0,1］内的两个可换的连续映射f,g，它们没有公共的不动点 222

13．R3中的一个紧的可缩的子集，它没有不动点性质 222

14．具有不动点性质的既非紧的也非可缩的集合 222

15．一个自反Banach空间中的具有正规结构的非空闭凸子集U，及由U到其自身的映射T，适合‖Tx-Ty‖≤K‖x-y‖，而T没有不动点 224

16．一个Banach空间中具有正规结构的非空有界闭凸子集U，及由U到其自身的非扩张映射T，使T没有不动点 224

17．一个Banach空间X的凸子集U，及由U到X内的非扩张映射T，使T的不动点集不是凸的 224

18．存在某个Banach空间X上的分别具有不动点xn（n=0,1,2，…）的压缩映射Tn（n=0,1,2，…），使对任意x ∈X，｛Tnx｝收敛于T0x，但｛xn｝并不收敛于x0 225

19．各种压缩型映射的比较 226

第十二章 Hilbert空间 235

0．引言 235

1．不可分的Hilbert空间 237

2．一个自共轭空间，它不是内积空间 237

3．等式‖x+y‖2＝‖x‖2＋‖y‖2不蕴涵x⊥y的内积空间．容易证明，若内积空间U中x⊥y，即〈x,y〉＝0，则必有 237

4．存在某个赋范线性空间，其范数不能由内积得到 238

5．存在某个内积空间，它不是Hilbert空间 238

6．Hilbert空间中的一个非空闭集M，使M中不存在最小范数的元素 238

7．有限维Hilbert空间中的一个非空闭集M，使M中存在不唯一的最小范数的元素 238

8．存在某个内积空间中的两个直交的闭子空间M1,M2，使M1？M2不闭 239

9．存在某个内积空间中的两个子空间M1,M2，使M1⊥M2，而？ 239

10．存在某个Hilbert空间H中的闭子空间M及直交射影算子P，使P（M）不是H的闭子空间 239

11．内积空间中弱收敛而不范数有界的点列 240

12．内积空间中完全而不完备的就范直交系 240

13．某个内积空间的完全直交系，它在该空间的完备化空间中并不完全 241

14．存在一个内积空间的闭子空间，使Riesz直交分解定理不成立 241

15．Riesz表现定理不成立的内积空间 242

16．某个Hilbert空间中的线性稠密点列，它不是基 243

17．Hilbert空间中广义基与共轭广义基互不包含 244

18．任给势K，可构造一个K维的Hilbert空间 244

19．存在某个无穷维Hilbert空间，它是一个具有单位元素的代数 245

20．存在某个Hilbert空间H上的有界线性算子T，虽对一切x∈H都有〈Tx,x〉＝0，但T≠0 246

21．存在某个Hilbert空间H上的无界线性算子，它限制在H的某个完全直交系上是有界的 246

22．任给可分无穷维Hilbert空间的完全的就范直交系与实数A，可构造一个线性算子T，使‖T‖≥A,T限制在这个直交系上的范数不超过1 246

23．存在某个双线性泛函？（x,y），使sup‖x‖≤1｜？（x,x）｜＜＋∞，而？并不连续 247

24．存在某个Hilbert空间上的有界线性算子P，适合‖Px‖＝〈Px,x〉，但P不是射影算子 247

25．存在Hilbert空间H，使H上的每个测度μ，都有μ（B）＝＋∞，其中B为H中的任一非空球 248

26．L2［0,1］上的一个有界积分算子Tx（t）＝∫1 0 K（t,s）x（s）ds，使‖K（t,s）‖L2＝＋∞ 249

27．空间L2［0,1］中的非积分型的有界线性算子 249

28．存在某个Hilbert空间H上的射影算子列｛Pn｝，使｛Pn｝强收敛于P，且dim Pn（H）＜＋∞，dim P（H）＝＋∞ 250

29．存在某个无穷维Hilbert空间中的稠定算子T，使T的定义域是子空间｛0｝ 250

30．存在某个Hilbert空间上的有界线性算子列，其范数关于强拓扑不连续 251

31．存在某个Hilbert空间上的有界线性算子列，其共轭算子列关于强拓扑不连续 251

32．存在两个有界线性算子，其乘积关于强拓扑不连续 252

33．存在两个有界线性算子，其乘积关于弱拓扑不连续 253

34．存在某个Hilbert空间上的双射算子T，Tn，使｛Tn｝强收敛于T，而｛T-1 n｝不强收敛于T-1 253

35．存在某个Hilbert空间上的有界线性算子列｛Tn｝，它强收敛于双射算子T，而Tn均非双射算子 253

36．存在某个Hilbert空间上的有界线性算子列｛Sn｝，｛Tn｝，使｛Sn｝与｛Tn｝均弱收敛，而｛SnTn｝并不弱收敛 254

37．存在某个Hilbert空间上的有界线性算子列｛Tn｝．使｛Tn｝与｛Tn｝均弱收敛，｛TnTn｝强收敛，而｛TnTn｝并不弱收敛 254

38．存在某个有界线性算子T，适合‖Tx‖＋‖Tx‖≥‖x‖，而T不是一对一的，其值域既不稠密也不闭 255

39．存在两个带有权｛αn｝和｛βn｝的加权移位算子A和B，它们西等价，但并不对所有的n都有‖αn｜＝｜βn｜ 255

40．存在某个无穷矩阵，其每一行和每一列都是平方可和的，但却没有一个Hillert空间上的有界线性算子与之对应 256

41．Hilbert矩阵 256

42．存在算子S,T，使ST不相似于TS 257

43．存在某个有界线性算子T具有‖Tn‖≤M（n=1,2，…），使T不相似于任何具有‖P‖≤1的算子P 257

44．存在有界线性算子T，使T有循环向量而T没有循环向量 257

第十三章 线性算子的谱 259

0．引言 259

1．存在某个有界线性算子T，使λ是T的特征值而？不是T的特征值 260

2．谱映射定理不成立的有界线性算子 261

3．存在某个只有唯一的特征值λ＝0的有界积分算子，其核K具有性质‖Kn（s,t）‖L2＝＋∞（n=1,2，…） 261

4．任给具有聚点λ＝0的复数列｛λn｝，可构造L2［0，＋∞）上的稠密的有界积分算子T，使λi（i=1,2，…）均为T的特征值，且对t∈［0，＋∞），有∫0 +∞｜K（t,s）｜2ds＜＋∞ 262

5．任给复平面上的紧集C，可构造算子T，使T的全体特征值就是C 263

6．存在某个不可分Banach空间上的范数为1的算子T，使T有不可数个模数为1的特征值 263

7．存在某个可分Banach空间上的谱半径为1的算子，它有不可数多个模数为1的特征值 264

8．仅有唯一谱点——连续谱的算子 264

9．仅有唯一谱点 剩余谱的算子 265

10．存在算子S,T，它们均不存在逆算子，但ST与TS却有相同的谱 266

11．存在算子S,T，使ST与TS有不同的谱 266

12．存在某个非恒等算子T，使T的谱是｛1｝且‖T‖＝1 266

13．没有特征值的拟幂零算子 267

14．没有特征值的紧算子 268

15．存在两个算子，其和的谱半径大于它们的谱半径之和 268

16．存在两个算子，其积的谱半径大于它们的谱半径之积 268

17．存在一列算子，其中每个算子的谱都是｛0｝，而其直和的谱半径却等于1 268

18．存在某个有界线性算子列｛Tk｝，使‖Tk-T‖→0（k→∞），且Tk的谱都是单位圆周，而T的谱不是单位圆周 269

19．存在某个有界线性算子列｛Tk｝，使‖Tk-T‖→0（k→∞），且Tk的谱半径都是零，而T的谱半径却大于零 270

20．数值值域不闭的有界线性算子 271

21．存在某个拟幂零算子T，使0不属于T的数值值域 271

22．存在某个有界线性算子，它的数值值域的闭包和数值半径关于算子的强拓扑不连续 272

23．存在两个算子，它们之积的数值半径不等于它们的数值半径之积 273

24．谱与近似谱不同的算子 273

25．相对谱是单位圆周的算子 273

26．相对谱不闭的算子 274

第十四章 紧算子和Riesz算子 277

0．引言 277

1．非紧的有界线性算子 278

2．存在某个非紧算子，它把弱收敛点列映成强收敛点列 278

3．存在由某个Banach空间到另一Banach空间的强收敛的紧算子列，其极限不是紧算子 279

4．存在由某个Banach空间到另一赋范线性空间中的一致收敛的紧算子列，其极限不是紧算子 279

5．存在由某个赋范线性空间X到Y的紧算子T0，使由等式Tx=T0x确定的X到R（T0）上的算子T不是紧的 280

6．存在某个非紧算子，其共轭算子却是紧算子 280

7．存在某个非紧算子，其平方是紧算子 280

8．存在某个非恒等的有界线性算子T，使对任何正整数n,Tn均非紧算子 281

9．存在某个有界线性算子T，使当1≤q＜p时，Tq不是紧算子，而当q≥p时，Tq是紧算子 281

10．存在某个由L［0,1］到L［0,1］内的非紧的有界线性积分算子Tx（t）＝∫1 0 K（t,s）x（s）ds，而核K（t,s）却是有界可测的 283

11．存在无穷阵（αij）适合∑ ∞ i＝1 ∑ ∞ j＝1，｜αij｜2＝＋∞而算子y=Tx：ηi ∑ ∞ j＝1 αij ξj（x＝｛ξn｝∈l2，y＝｛ηn｝∈l2）却是紧的 284

12．存在Hilbert空间上的某个紧算子，它不是Hilbert-Schmidt算子 285

13．存在某个Hilbert-Schmidt算子T，使∑ ∞ n＝1〈T？n,？n〉发散，其中｛？n｝是完全的就范直交系 285

14．紧算子和它的共轭算子之间的关系 286

15．存在两个Riesz算子，其和与积均非Riesz算子 289

16．存在某个Riesz算子列，它的一致极限不是Riesz算子 290

17．非紧的Riesz算子 291

18．存在某个Riesz算子，其值域不可分 291

19．存在某个Riesz算子，不能把它分解成两个可换算子之和，其中一个是紧算子而另一个是拟幂零算子 291

20．非弱紧的Riesz算子 292

21．存在某个非弱紧算子，其平方是紧算子 292

22．存在某个非弱紧算子S适合0≤S≤T，其中T为弱紧算子 292

23．存在某个严格奇异算子，其共轭算子不是严格奇异算子 293

24．存在某个非严格奇异算子，其共轭算子是严格奇异算子 293

25．存在某个积分算子，它是非紧的严格奇异算子 293

26．存在某个严格奇异算子，其值域不可分 294

27．非弱紧的严格奇异算子 294

第十五章 正规算子和亚正规算子 295

0．引言 295

1．正规而不自伴的算子 295

2．无界的对称算子 296

3．对称而不自伴的算子 296

4．存在某个自伴算子T，既不满足T≥0，也不满足T≤0 297

5．值域不闭的自伴算子 298

6．存在两个自伴算子，其积不是自伴算子 298

7．不可比较的自伴算子 298

8．存在两个正算子S,T，使S≤T，但S2≤T2不成立 298

9．具有幂等性的非自伴算子 299

10．存在某个其特征值λn（n=1,2，…）适合∑ ∞ n＝1｜λn｜2＜＋∞（ρ＜2）的正算子 299

11．没有特征值的有界自伴算子 300

12．存在某个等距算子，它不是酉算子 300

13．存在某个正规算子，它不是酉算子 300

14．存在某个酉算子列的强极限，它不是酉算子 301

15．存在两个正算子，其积不是正规算子 301

16．存在两个正规算子S,T，使ST是正规算子而TS不是正规算子 301

17．存在算子A,B,C，使AB-BA=C且BC=CB，但C≠0 302

18．存在某个非正规算子T，而有‖Tn‖＝‖T‖ 302

19．任给有界复数列｛μk｝，可构造一个且只有一个以μk为特征值的正规算子T，且‖T‖＝supk≥1 ｜μk｜ 302

20．存在某个强收敛于T的正规算子列｛Tn｝，使σ（T）≠limn→∞σ（Tn） 303

21．存在某个正规算子T与直交射影算子P，使PTP不是正规算子 303

22．存在某个Hilbert空间上的正规算子T和闭子空间M，使M是T的不变子空间，而M⊥不是T的不变子空间 304

23．拟正规而非正规的算子 304

24．次正规而非拟正规的算子 305

25．亚正规而非次正规的算子 305

26．存在两个相似的次正规算子，它们并不酉等价 306

27．存在某个亚正规算子，其平方不是亚正规算子 307

28．存在两个双正规算子，其和不是双正规算子 308

29．存在某个双正规算子，其平方不是双正规算子 308

参考文献 309

名词索引 325