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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

7.1.1 空间直角坐标系 1

7.1.2 空间两点间的距离 3

习题7.1 3

第二节 向量及其线性运算 4

7.2.1 向量的概念 4

7.2.2 向量的线性运算 4

7.2.3 向量的坐标表示 5

7.2.4 向量的模与方向余弦的坐标表示式 7

习题7.2 9

第三节 数量积 向量积 混合积 9

7.3.1 向量的数量积 9

7.3.2 向量的向量积 11

7.3.3 向量的混合积 13

习题7.3 15

第四节 平面及其方程 15

7.4.1 平面的点法式方程 15

7.4.2 平面的一般式方程 16

7.4.3 两平面的夹角 18

7.4.4 点到平面的距离 18

习题7.4 19

第五节 空间直线及其方程 20

7.5.1 空间直线的对称式方程与参数方程 20

7.5.2 空间直线的一般式方程 21

7.5.3 两直线的夹角 22

7.5.4 直线与平面的夹角 23

习题7.5 25

第六节 曲面及其方程 26

7.6.1 曲面方程的概念 26

7.6.2 旋转曲面 27

7.6.3 柱面 28

习题7.6 29

第七节 常见二次方程及其二次曲面 30

7.7.1 椭球面 30

7.7.2 双曲面 31

7.7.3 抛物面 31

习题7.7 33

第八节 空间曲线及其方程 33

7.8.1 空间曲线的一般方程 33

7.8.2 空间曲线的参数方程 34

7.8.3 空间曲线在坐标面上的投影 35

习题7.8 37

总习题七 37

第八章 多元函数微分法及其应用 41

第一节 多元函数的基本概念 41

8.1.1 预备知识 41

8.1.2 多元函数的概念 42

8.1.3 多元函数的极限 44

8.1.4 多元函数的连续性 46

习题8.1 48

第二节 偏导数 49

8.2.1 偏导数的定义及计算 49

8.2.2 二元函数偏导数的几何意义 51

8.2.3 高阶偏导数 52

习题8.2 53

第三节 全微分及其应用 54

8.3.1 全微分的概念 54

8.3.2 全微分与偏导数的关系 54

8.3.3 全微分在近似计算及误差估计中的应用 56

习题8.3 58

第四节 多元复合函数的求导法则 58

8.4.1 复合函数的一阶偏导数、全导数 59

8.4.2 多元复合函数的高阶偏导数 62

8.4.3 全微分的运算性质及全微分的形式不变性 63

习题8.4 64

第五节 隐函数及其微分法 65

8.5.1 一个方程的情形 65

8.5.2 方程组的情形 67

习题8.5 69

第六节 多元函数微分法在几何中的应用 70

8.6.1 空间曲线的切线及法平面 70

8.6.2 曲面的切平面及法线 72

习题8.6 74

第七节 方向导数与梯度 75

8.7.1 方向导数 75

8.7.2 梯度 78

习题8.7 80

第八节 多元函数的极值及其求法 81

8.8.1 多元函数极值的概念 81

8.8.2 多元函数极值的求法 81

8.8.3 条件极值 拉格朗日乘数法 85

习题8.8 89

总习题八 90

第九章 重积分 93

第一节 二重积分的概念与性质 93

9.1.1 二重积分的概念 93

9.1.2 二重积分的性质 97

习题9.1 100

第二节 二重积分的计算法 101

9.2.1 二重积分在直角坐标系中的计算法 101

习题9.2 （1） 110

9.2.2 二重积分在极坐标系中的计算法 110

习题9.2 （2） 118

第三节 二重积分的应用 119

9.3.1 曲面的面积 120

9.3.2 平面薄片的重心 123

9.3.3 平面薄片的转动惯量 126

9.3.4 平面薄片对质点的引力 128

习题9.3 129

第四节 三重积分的概念及其计算法 129

9.4.1 三重积分的概念 129

9.4.2 三重积分在直角坐标系中的计算法 131

习题9.4 136

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 137

9.5.1 利用柱面坐标计算三重积分 137

9.5.2 利用球面坐标计算三重积分 140

9.5.3 三重积分的应用举例 143

习题9.5 147

总习题九 148

第十章 曲线与曲面积分 153

第一节 对弧长的曲线积分 153

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 153

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 155

习题10.1 157

第二节 对坐标的曲线积分 158

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 158

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 161

10.2.3 两类曲线积分之间的关系 163

习题10.2 165

第三节 格林公式及其应用 166

10.3.1 格林公式 167

10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 171

10.3.3 二元函数的全微分的求积 174

习题10.3 176

第四节 对面积的曲面积分 177

习题10.4 181

第五节 对坐标的曲面积分 182

10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 182

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 186

10.5.3 两类曲面积分的关系 188

习题10.5 189

第六节 高斯公式和斯托克斯公式 191

10.6.1 高斯公式 191

10.6.2 斯托克斯公式 195

习题10.6 197

总习题十 198

第十一章 无穷级数 202

第一节 常数项级数的概念和性质 202

11.1.1 常数项级数的概念 202

11.1.2 级数的基本性质 205

习题11.1 208

第二节 常数项级数的审敛法 209

11.2.1 正项级数及其审敛法 209

11.2.2 交错级数及其审敛法 214

11.2.3 绝对收敛与条件收敛 215

习题11.2 216

第三节 幂级数 217

11.3.1 函数项级数的概念 217

11.3.2 幂级数及其收敛性 218

11.3.3 幂级数的运算 221

习题11.3 224

第四节 函数展开成幂级数 224

11.4.1 泰勒级数 224

11.4.2 函数展开成幂级数 226

11.4.3 幂级数展开式的应用 230

习题11.4 233

第五节 傅里叶级数 233

11.5.1 三角函数系 三角级数 233

11.5.2 函数展开成傅里叶级数 234

习题11.5 239

第六节 正弦级数与余弦级数 239

11.6.1 奇函数和偶函数的傅里叶级数 239

11.6.2 函数展开成正弦级数或余弦级数 241

习题11.6 242

第七节 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 243

习题11.7 244

总习题十一 244

第十二章 微分方程 248

第一节 微分方程的基本概念 248

12.1.1 引例 248

12.1.2 微分方程的概念 250

习题12.1 253

第二节 可分离变量的微分方程 254

习题12.2 259

第三节 齐次方程 259

12.3.1 齐次方程 260

12.3.2 可化为齐次方程的方程 263

习题12.3 265

第四节 一阶线性微分方程 266

12.4.1 线性方程 266

12.4.2 伯努利方程 269

习题12.4 271

第五节 全微分方程 272

习题12.5 275

第六节 可降阶的高阶微分方程 276

12.6.1 y(n)＝f（x）型的微分方程 276

12.6.2 y″＝f（x，y′）型的微分方程 277

12.6.3 y″＝f（y，y′）型的微分方程 281

习题12.6 283

第七节 二阶常系数齐次线性微分方程 284

12.7.1 二阶线性微分方程的概念 284

12.7.2 线性微分方程解的结构 286

12.7.3 常数变易法 288

12.7.4 二阶常系数齐次线性微分方程 291

习题12.7 295

第八节 二阶常系数非齐次线性微分方程 296

12.8.1 f（x）＝Pm（x）e rx型 296

12.8.2 f（x）＝e ax［Pl（x）cosβx+Pn（x）sinβx型 299

习题12.8 304

第九节 欧拉方程 305

习题12.9 306

总习题十二 307

附录 二阶行列式和三阶行列式简介 311

习题答案与提示 313