数学分析 第2卷 第4版PDF电子书下载

第九章 连续映射（一般理论） 1

1 度量空间 1

1．定义和例子 1

2．度量空间中的开集和闭集 4

3．度量空间的子空间 6

4．度量空间的直积 7

练习 8

2 拓扑空间 9

1．基本定义 9

2．拓扑空间的子空间 12

3．拓扑空间的直积 12

练习 13

3 紧集 14

1．紧集的定义和一般性质 14

2．度量紧集 15

练习 17

4 连通的拓扑空间 17

练习 18

5 完备的度量空间 19

1．基本定义和例子 19

2．度量空间的完备化 22

练习 25

6 拓扑空间的连续映射 26

1．映射的极限 26

2．连续映射 28

练习 30

7 压缩映像原理 31

练习 36

第十章 线性赋范空间中的微分学 38

1 线性赋范空间 38

1．分析中一些线性空间的例子 38

2．线性空间中的范数 39

3．向量空间中的数量积 41

练习 44

2 线性和多重线性算子 45

1．定义和例子 45

2．算子的范数 48

3．连续算子空间 52

练习 56

3 映射的微分 57

1．在一点可微的映射 57

2．微分法的一般法则 58

3．一些例子 59

4．映射的偏导数 65

练习 66

4 有限增量定理和它的应用的一些例子 69

1．有限增量定理 69

2．有限增量定理应用的一些例子 71

练习 74

5 高阶导映射 75

1．n阶微分的定义 75

2．沿向量的导数和n阶微分的计算 76

3．高阶微分的对称性 78

4．若干评注 79

练习 81

6 泰勒公式和极值的研究 81

1．映射的泰勒公式 81

2．内部极值的研究 82

3．一些例子 84

练习 88

7 一般的隐函数定理 90

练习 98

第十一章 重积分 100

1 n维区间上的黎曼积分 100

1．积分定义 100

2．函数黎曼可积的勒贝格准则 102

3．达布准则 106

练习 108

2 集合上的积分 109

1．容许集 109

2．集合上的积分 110

3．容许集的测度（体积） 111

练习 112

3 积分的一般性质 113

1．作为线性泛函的积分 113

2．积分的可加性 113

3．积分的估计 114

练习 116

4 化重积分为累次积分 117

1．富比尼定理 117

2．一些推论 119

练习 123

5 重积分中的变量替换 125

1．问题的提出和变量替换公式的预期结论 125

2．可测集和光滑映射 126

3．一维情形 128

4．Rn中最简微分同胚的情形 130

5．映射的复合和变量替换公式 131

6．积分的可加性和积分变量替换公式证明的完成 131

7．重积分变量替换公式的一些推论和推广 132

练习 135

6 反常重积分 138

1．基本定义 138

2．反常积分收敛性的控制判别法 140

3．反常积分中的变量替换 143

练习 145

第十二章 Rn中的曲面及微分形式 148

1 Rn中的曲面 148

练习 155

2 曲面的定向 156

练习 161

3 曲面的边界及其定向 162

1．带边曲面 162

2．曲面定向与边界定向的和谐性 164

练习 167

4 欧氏空间内曲面的面积 168

练习 172

5 微分形式初步 175

1．微分形式，定义及例子 175

2．微分形式的坐标记法 179

3．外微分形式 181

4．在映射下，向量的转移与形式的转移 184

5．曲面上的形式 187

练习 188

第十三章 曲线积分与曲面积分 191

1 微分形式的积分 191

1．原始问题，启发性想法，例子 191

2．形式沿定向曲面积分的定义 197

练习 200

2 体积形式，第一型积分与第二型积分 204

1．物质曲面的质量 204

2．作为形式的积分的曲面面积 205

3．体积形式 206

4．在笛卡儿坐标下体积形式的表示 207

5．第一型与第二型积分 208

练习 210

3 分析的基本积分公式 213

1．格林公式 213

2．高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式 217

3．R3中的斯托克斯公式 220

4．一般的斯托克斯公式 221

练习 224

第十四章 向量分析与场论初步 229

1 向量分析的微分运算 229

1．数量场与向量场 229

2．R3中的向量场与形式 229

3．微分算子grad,rot,div及？ 232

4．向量分析的一些微分公式 235

5．曲线坐标下的向量运算 237

练习 245

2 场论的积分公式 246

1．用向量表示的经典积分公式 246

2．div,rot,grad的物理解释 248

3．一些进一步的积分公式 252

练习 254

3 势场 256

1．向量场的势 256

2．势场的必要条件 257

3．向量场具有势的判别准则 258

4．区域的拓扑结构与势 260

5．向量势、恰当形式与闭形式 262

练习 265

4 应用例子 268

1．热传导方程 268

2．连续性方程 270

3．连续介质动力学基本方程 271

4．波动方程 272

练习 273

第十五章 流形上微分形式的积分 276

1 线性代数准备知识 276

1．形式代数 276

2．斜对称形式代数 277

3．线性空间中的线性映射及共轭空间中的共轭映射 280

练习 281

2 流形 283

1．流形的定义 283

2．光滑流形与光滑映射 287

3．流形及其边界的定向 289

4．单位分解及流形以Rn中曲面的形式的实现 292

练习 295

3 微分形式及其在流形上的积分 296

1．流形在其一点的切空间 296

2．流形上的微分形式 299

3．外微分 301

4．形式在流形上的积分 302

5．斯托克斯公式 303

练习 305

4 流形上的闭形式与恰当形式 310

1．庞加莱定理 310

2．同调与上同调 313

练习 317

第十六章 一致收敛性，函数项级数与函数族的基本分析运算 319

1 逐点收敛与一致收敛 319

1．逐点收敛 319

2．基本问题的提出 320

3．依赖于参数的函数族的收敛性和一致收敛性 322

4．一致收敛的柯西准则 325

练习 326

2 函数项级数的一致收敛性 327

1．级数一致收敛性的基本定义和判别准则 327

2．级数一致收敛的魏尔斯特拉斯检验法 329

3．阿贝尔－狄利克雷检验法 330

练习 334

3 极限函数的函数性质 334

1．问题的具体化 334

2．两个极限过程可交换的条件 335

3．连续性与极限过渡 336

4．积分法与极限过渡 339

5．微分法与极限过渡 341

练习 345

4 连续函数空间的紧子集和稠密子集 348

1．阿尔采拉－阿斯柯利定理 348

2．度量空间C（K,Y） 350

3．斯通定理 351

练习 353

第十七章 含参变量的积分 356

1 含参变量的常义积分 356

1．含参变量积分的概念 356

2．含参变量积分的连续性 357

3．含参变量积分的微分法 358

4．含参变量积分的积分法 361

练习 361

2 含参变量的反常积分 363

1．反常积分关于参数的一致收敛性 363

2．反常积分号下取极限和含参变量的反常积分的连续性 369

3．含参变量的反常积分的微分法 371

4．含参变量的反常积分的积分法 373

练习 377

3 欧拉积分 380

1．β函数 380

2．Г函数 381

3．β函数和Г函数的联系 385

4．一些例子 385

练习 387

4 函数的卷积和广义函数的初步知识 391

1．物理问题中的卷积（启发性想法） 391

2．卷积的一些一般性质 393

3．δ－型函数族和魏尔斯特拉斯逼近定理 396

4．分布的初步概念 401

练习 410

5 含参变量的重积分 414

1．含参变量的常义重积分 415

2．含参变量的反常重积分 415

3．具变奇异性的反常积分 416

4．高维情形的卷积，基本解和广义函数 420

练习 429

第十八章 傅里叶级数与傅里叶变换 434

1 一些主要的与傅里叶级数有关的一般概念 434

1．正交函数系 434

2．傅里叶系数和傅里叶级数 440

3．分析中正交函数系的一个重要来源 449

练习 452

2 傅里叶三角级数 457

1．经典傅里叶级数收敛性的基本形式 457

2．傅里叶三角级数逐点收敛性的研究 461

3．函数的光滑性和傅里叶系数的下降速度 469

4．三角函数系的完全性 473

练习 479

3 傅里叶变换 486

1．函数的傅里叶积分表示 486

2．函数的微分性质和渐近性质与其傅里叶变换的联系 497

3．傅里叶变换的最重要的演算性质 500

4．应用举例 504

练习 509

第十九章 渐近展开 515

1 渐近公式和渐近级数 517

1．基本定义 517

2．渐近级数的一般知识 521

3．渐近幂级数 525

练习 527

2 渐近积分（拉普拉斯方法） 530

1．拉普拉斯方法的基本思想 530

2．拉普拉斯积分的局部化原理 533

3．典型积分及其渐近式 534

4．拉普拉斯积分的渐近主项 537

5．拉普拉斯积分的 540

渐近展开 540

练习 550

口试提纲 556

考试大纲 561

参考文献 564

基本符号索引 569

索引 573

补序 582

中文版修订者的话 584