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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、函数的概念 1

二、函数的几种特性 3

三、反函数 5

四、基本初等函数 6

五、复合函数及初等函数 9

习题1-1 10

第二节 数列的极限 11

一、极限的思想 12

二、数列的概念及几个特性 12

三、数列的极限 13

四、收敛数列的性质 16

习题1-2 16

第三节 函数的极限 16

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 17

二、自变量趋于有限值时函数的极限 18

三、极限的性质 20

习题1-3 21

第四节 无穷小与无穷大 21

一、无穷小 21

二、无穷大 23

三、无穷小和无穷大的关系 24

习题1-4 24

第五节 极限的运算法则 25

一、极限的运算法则 25

二、极限求法举例 26

三、复合函数的极限运算法则 28

习题1-5 29

第六节 极限的存在准则 两个重要极限 29

一、极限的存在准则 29

二、两个重要极限 30

习题1-6 32

第七节 无穷小的比较 33

习题1-7 34

第八节 函数的连续与间断点 35

一、函数的连续性 35

二、函数的间断点 37

习题1-8 39

第九节 初等函数的连续性 39

一、连续函数的四则运算 39

二、复合函数与反函数的连续性 40

三、初等函数的连续性 41

四、闭区间上连续函数的性质 41

习题1-9 43

第二章 导数与微分 45

第一节 导数的概念 45

一、变化率问题 45

二、导数的概念 46

三、求导举例 48

四、导数的几何意义 50

五、函数的可导性与连续性的关系 52

习题2-1 53

第二节 函数的和、差、积、商的求导法则 54

一、函数和、差的求导法则 54

二、函数积的求导法则 55

三、函数商的求导法则 56

习题2-2 58

第三节 反函数与复合函数的求导法则 59

一、反函数的求导法则 59

二、复合函数的求导法则 61

习题2-3 63

第四节 初等函数的求导问题 64

一、常数和基本初等函数的导数公式 64

三、复合函数的求导法则 65

二、函数的和、差、积、商的求导法则 65

第五节 高阶导数 66

习题2-4 66

习题2-5 68

第六节 隐函数的导数 69

一、隐函数的导数 69

二、对数求导法 71

习题2-6 72

第七节 由参数方程所确定的函数的导数 73

习题2-7 76

第八节 函数的微分 77

一、微分的定义 77

二、微分的几何意义 79

三、微分公式与微分运算法则 80

四、微分在近似计算中的应用 81

习题2-8 83

一、罗尔定理 85

第三章 中值定理与导数的应用 85

第一节 微分中值定理 85

二、拉格朗日中值定理 87

三、柯西中值定理 90

习题3-1 91

第二节 洛必达法则 92

习题3-2 96

第三节 泰勒（Taylor）公式 96

习题3-3 100

第四节 函数单调性的判定 100

习题3-4 102

第五节 函数的极值及其求法 103

习题3-5 106

第六节 函数的最大值与最小值 107

习题3-6 109

第七节 曲线的凹凸与拐点 111

习题3-7 113

第八节 函数图形的描绘 114

习题3-8 116

第四章 不定积分 117

第一节 不定积分的基本概念与性质 117

一、原函数与不定积分的概念 117

二、不定积分的基本性质 119

三、不定积分的基本公式 120

四、简单不定积分的计算 121

习题4-1 122

第二节 换元积分法 123

一、第一类换元积分法 123

二、第二类换元积分法 127

习题4-2 131

第三节 分部积分法 132

习题4-3 136

第四节 几种特殊函数的不定积分 137

一、有理函数积分 137

二、三角函数有理式的积分 139

三、简单无理函数的积分 140

习题4-4 141

第五节 不定积分在经济学中的应用 142

习题4-5 144

第五章 定积分及其应用 145

第一节 定积分的概念与性质 145

一、定积分问题举例 145

二、定积分的定义 148

三、定积分的几何意义 149

四、定积分的性质 150

习题5-1 153

二、可变上限的定积分 154

第二节 微积分基本定理 154

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的关系 154

三、牛顿—莱布尼茨公式 156

习题5-2 158

第三节 定积分的计算 159

一、定积分的换元积分法 159

二、定积分的分部积分法 163

习题5-3 164

第四节 定积分的近似计算 166

一、矩形法 166

二、梯形法 167

习题5-4 168

第五节 定积分的应用 168

一、定积分的微元法 168

二、平面图形的面积 169

三、体积 173

四、平面曲线的弧长 176

五、变力作功 178

六、在经济学中的应用 179

习题5-5 180

第六节 广义积分 181

一、无穷区间上的广义积分 181

二、无界函数的广义积分 183

习题5-6 185

第六章 多元函数的微分学 187

第一节 空间解析几何的基本知识 187

一、空间直角坐标系 187

二、几种特殊的曲面 191

三、空间曲线 197

习题6-1 200

第二节 二元函数的概念 201

一、基本概念 201

二、多元函数的概念 202

三、二元函数的极限与连续 204

习题6-2 207

第三节 偏导数 208

一、偏导数的定义及其计算方法 208

二、高阶偏导数 212

习题6-3 213

第四节 全微分及其应用 214

一、全微分的定义 214

二、全微分在近似计算中的应用 218

习题6-4 219

第五节 多元复合函数的求导法则 219

习题6-5 222

第六节 隐函数的求导公式 223

习题6-6 226

第七节 多元函数的极值 226

一、二元函数的极值 227

二、最大值与最小值 229

三、条件极值 拉格朗日乘数法 231

习题6-7 234

第七章 重积分 235

第一节 二重积分的概念与性质 235

一、二重积分的概念 235

二、二重积分的性质 238

习题7-1 240

第二节 二重积分的计算法 241

一、利用直角坐标计算二重积分 241

二、利用极坐标计算二重积分 249

习题7-2 254

第三节 二重积分的应用 256

一、曲面的面积 256

二、平面薄片的重心 258

三、平面薄片的转动惯量 259

四、平面薄片对质点的引力 260

习题7-3 261

第四节 三重积分的概念及其计算法 262

习题7-4 265

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 266

一、利用柱面坐标计算三重积分 266

二、利用球面坐标计算三重积分 268

习题7-5 271

第八章 微分方程 273

第一节 微分方程的基本概念 273

习题8-1 279

第二节 变量分离方程 279

习题8-2 281

第三节 齐次方程 282

习题8-3 284

一、一阶线性微分方程 285

第四节 一阶线性微分方程 285

二、伯努利方程 288

习题8-4 289

第五节 可降阶的高阶微分方程 290

一、y″=f（x）型的微分方程 291

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 292

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 293

习题8-5 294

第六节 二阶线性微分方程 295

一、二阶常系数齐次线性微分方程 295

二、二阶常系数非齐次线性微分方程 299

习题8-6 303

第九章 无穷级数 305

第一节 无穷级数的概念和性质 305

一、无穷级数的概念 305

二、无穷级数的基本性质和级数收敛的必要条件 310

习题9-1 311

第二节 常数项级数的审敛法 312

一、正项级数及其审敛法 312

二、交错级数及其审敛法 317

三、绝对收敛与条件收敛 318

习题9-2 320

第三节 幂级数 321

一、函数项级数 321

二、幂级数及其收敛性 321

三、幂级数的运算 325

习题9-3 327

第四节 函数的幂级数展开 328

一、函数展开为泰勒级数 328

二、函数展开成幂级数 329

一、近似计算 335

第五节 幂级数展开式的应用 335

习题9-4 335

二、欧拉公式 338

习题9-5 339

第六节 傅立叶级数 339

一、周期函数和三角级数 339

二、函数展开成傅立叶级数 341

习题9-6 345

第七节 正弦级数和余弦级数 346

一、奇函数和偶函数的傅立叶级数 346

二、函数展开成正弦级数或余弦级数 349

习题9-7 351

第八节 周期为2l的周期函数的傅立叶级数 351

习题9-8 354

习题参考答案 355

参考文献 383