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第1章　函数与极限 1

1.1　函数 1

1.1.1　区间与邻域 1

1.1.2　函数的概念 1

1.1.3　函数的特性 3

1.1.4　反函数与复合函数 4

1.1.5　初等函数 6

习题1.1 6

1.2　数列极限 7

1.2.1　数列极限的定义 7

1.2.2　收敛数列的性质 9

习题1.2 12

1.3　函数极限 13

1.3.1　x趋于∞时的函数极限 13

1.3.2　x趋于x0时的函数极限 14

1.3.3　函数极限的性质 18

习题1.3 20

1.4　无穷小与无穷大 21

1.4.1　无穷小量 21

1.4.2　无穷大量 22

习题1.4 23

1.5　两个重要极限 23

习题1.5 26

1.6　无穷小量阶的比较 27

习题1.6 28

1.7　函数的连续性 29

1.7.1　函数连续性的概念 29

1.7.2　间断点及其类型 30

1.7.3　连续函数的运算 31

1.7.4　闭区间上连续函数的基本性质 32

1.7.5　初等函数的连续性 34

习题1.7 34

总习题一 35

第2章　导数与微分 37

2.1　导数的概念 37

2.1.1　导数的定义 37

2.1.2　导数的几何意义 39

2.1.3　导函数 40

2.1.4　函数可导性与连续性的关系 41

习题2.1 41

2.2　求导法则 42

2.2.1　导数的四则运算 42

2.2.2　反函数的导数 44

2.2.3　复合函数的导数 45

2.2.4　求导公式 46

习题2.2 47

2.3　高阶导数 48

习题2.3 50

2.4　隐函数和参变量函数的导数 51

2.4.1　隐函数的导数 51

2.4.2 由参数方程所确定的函数的导数 52

习题2.4 54

2.5　微分 55

2.5.1　微分的概念 55

2.5.2　微分的几何意义 56

2.5.3　微分的运算法则 57

2.5.4　微分在近似运算中的应用 58

习题2.5 59

总习题二 59

第3章　微分中值定理与导数的应用 61

3.1　中值定理 61

3.1.1　罗尔定理 61

3.1.2　拉格朗日中值定理 63

3.1.3　柯西中值定理 65

习题3.1 66

3.2　洛必达法则 67

3.2.1　？型未定式 67

3.2.2　？型未定式 69

3.2.3　其他类型未定式 69

习题3.2 71

3.3　泰勒公式 72

习题3.3 74

3.4　函数的单调性与曲线的凹凸性 75

3.4.1　函数的单调性 75

3.4.2　曲线的凹凸性与拐点 77

习题3.4 78

3.5　函数的极值及其求法 79

习题3.5 82

3.6　函数的最大值、最小值 83

习题3.6 85

3.7　函数图形的描绘 85

习题3.7 89

3.8　曲率 89

习题3.8 91

总习题三 92

第4章　不定积分 94

4.1　不定积分的概念和性质 94

4.1.1　原函数 94

4.1.2　不定积分 94

4.1.3　不定积分的性质 96

4.1.4　基本积分公式 96

习题4.1 98

4.2　换元积分法 99

4.2.1　第一换元法 99

4.2.2　第二换元法 102

习题4.2 105

4.3　分部积分法 106

习题4.3 109

4.4　有理函数的积分 109

4.4.1　有理函数的积分 109

4.4.2　可化为有理函数的积分 114

习题4.4 116

4.5　积分表的使用 116

习题4.5 118

总习题四 118

第5章　定积分 120

5.1　定积分的概念 120

5.1.1　实例 120

5.1.2　定积分的概念 122

习题5.1 123

5.2　定积分的性质 124

习题5.2 127

5.3　微积分基本定理 127

5.3.1　变上限的定积分和原函数存在定理 128

5.3.2　微积分基本定理 129

习题5.3 131

5.4　定积分的换元积分法与分部积分法 131

5.4.1　换元积分法 131

5.4.2　分部积分法 134

习题5.4 136

5.5　广义积分 137

5.5.1　无穷区间上的广义积分 137

5.5.2　无界函数的广义积分 139

习题5.5 141

5.6　定积分的几何应用 141

5.6.1 平面图形的面积 141

5.6.2　体积 146

5.6.3　平面曲线的弧长 148

习题5.6 151

5.7　定积分在物理上的应用 152

5.7.1　变力所作的功 152

5.7.2　平均值 153

习题5.7 154

总习题五 155

第6章　无穷级数 158

6.1　常数项级数的概念与性质 158

6.1.1　常数项级数的概念 158

6.1.2　收敛级数的基本性质 160

习题6.1 162

6.2　常数项级数的审敛法 163

6.2.1　正项级数及其审敛法 163

6.2.2　交错级数及其审敛法 167

6.2.3　绝对收敛与条件收敛 168

习题6.2 169

6.3　幂级数 170

6.3.1　幂级数及其收敛半径 170

6.3.2　幂级数的运算 173

习题6.3 175

6.4　函数展开成幂级数 175

6.4.1　泰勒级数 175

6.4.2　函数展开成幂级数 177

习题6.4 179

总习题六 179

第7章　多元微积分 181

7.1　预备知识 181

7.1.1　空间直角坐标系 181

7.1.2　空间曲面与方程 182

习题7.1 184

7.2　多元函数的基本概念 184

7.2.1 平面点集 184

7.2.2　多元函数的概念 185

7.2.3　二元函数的极限 187

7.2.4　二元函数的连续性 188

习题7.2 189

7.3　偏导数与全微分 190

7.3.1　偏导数 190

7.3.2　高阶偏导数 192

7.3.3　全微分 193

习题7.3 195

7.4　复合函数与隐函数的微分法 195

7.4.1　复合函数的微分法 195

7.4.2　隐函数的微分法 198

习题7.4 200

7.5　多元函数的极值 201

7.5.1　多元函数的极值 201

7.5.2　条件极值 203

习题7.5 205

7.6　二重积分的概念与性质 205

7.6.1　二重积分的概念 205

7.6.2　二重积分的性质 207

习题7.6 207

7.7　二重积分的计算 208

7.7.1　利用直角坐标计算二重积分 208

7.7.2　利用极坐标计算二重积分 212

习题7.7 215

总习题七 216

第8章　常微分方程 218

8.1　常微分方程的一般概念 218

习题8.1 220

8.2　一阶微分方程 220

8.2.1　可分离变量的微分方程 220

8.2.2　一阶线性微分方程 222

8.2.3　一阶微分方程应用举例 226

习题8.2 227

8.3　可降阶的高阶微分方程 227

8.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 228

8.3.2　y″=f（x,y′）型的微分方程 228

8.3.3　y″=f（y,y′）型的微分方程 229

习题8.3 230

8.4　线性微分方程解的结构 230

习题8.4 232

8.5　常系数齐次线性微分方程 233

习题8.5 237

8.6　常系数非齐次线性微分方程 237

8.6.1 f(x)=Pm(x)eλx型 238

8.6.2 f(x)=eλx［Pl(x)cosβx＋Pn(x)sinβx］型 240

习题8.6 242

总习题八 242

附录 245

附录A　简单积分表 245

附录B　习题答案 252

参考文献 273