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8 多元函数微分法及其应用 1

8.1 多元函数的基本概念 1

8.1.1 平面点集 1

8.1.2 多元函数概念 4

8.1.3 多元函数的极限 5

8.1.4 多元函数的连续性 7

习题8-1 9

8.2.1 偏导数的定义及其计算法 10

8.2 偏导数 10

8.2.2 高阶偏导数 13

习题8-2 14

8.3 全微分 15

习题8-3 20

8.4 多元复合函数的求导法则 20

8.4.1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形 20

8.4.2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形 22

8.4.3 复合函数的中间变量既有一元函数，又有多元函数的情形 23

习题8-4 27

8.5.1 一个方程的情形 28

8.5 隐函数的求导公式 28

8.5.2 方程组的情形 30

习题8-5 33

8.6 多元函数微分学的几何应用 34

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 34

8.6.2 曲面的切平面与法线 38

习题8-6 40

8.7.1 方向导数 41

8.7 方向导数与梯度 41

8.7.2 梯度 43

习题8-7 45

8.8 多元函数的极值及其求法 46

8.8.1 多元函数的极值 46

8.8.2 二元函数的最值 48

8.8.3 条件极值，拉格朗日乘数法 50

习题8-8 54

总复习题8 55

9 重积分 58

9.1 二重积分的概念与性质 58

9.1.1 二重积分的概念 58

9.1.2 二重积分的性质 61

习题9-1 63

9.2 二重积分的计算法 65

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 65

9.2.2 利用极坐标计算二重积分 71

习题9-2 76

9.3 三重积分 78

9.3.1 三重积分的概念 78

9.3.2 三重积分的计算 79

习题9-3 86

9.4 重积分的应用 88

9.4.1 曲面的面积 88

9.4.2 物理应用 90

习题9-4 94

总复习题9 96

10 曲线积分与曲面积分 98

10.1 对弧长的曲线积分 98

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念与性质 98

10.1.2 对弧长的曲线积分的计算法 100

习题10-1 103

10.2 对坐标的曲线积分 104

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念与性质 104

10.2.2 对坐标的曲线积分的计算法 106

10.2.3 两类曲线积分之间的联系 110

习题10-2 111

10.3 格林公式及其应用 113

10.3.1 格林（Green）公式 113

10.3.2 平面上曲线积分与路径无关的条件 117

10.3.3 二元函数的全微分求积 120

习题10-3 124

10.4 对面积的曲面积分 125

10.4.1 对面积的曲面积分的概念与性质 125

10.4.2 对面积的曲面积分的计算法 126

习题10-4 129

10.5 对坐标的曲面积分 130

10.5.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 130

10.5.2 对坐标的曲面积分的计算法 134

10.5.3 两类曲面积分之间的联系 137

习题10-5 138

10.6 高斯公式 通量与散度 139

10.6.1 高斯（Gauss）公式 139

10.6.2 通量与散度 142

习题10-6 143

总复习题10 144

11 微分方程 146

11.1 微分方程的基本概念 146

习题11-1 149

11.2 可分离变量的微分方程 150

11.2.1 可分离变量的微分方程 150

11.2.2 可化为可分离变量的微分方程 155

习题11-2 157

11.3 全微分方程 158

习题11-3 161

11.4 一阶线性微分方程 162

11.4.1 一阶线性微分方程 162

11.4.2 伯努利方程 164

习题11-4 165

11.5 可降阶的高阶微分方程 166

11.5.1 y(n)=f（x）型的微分方程 167

11.5.2 y″=f（x,y′）型的微分方程 168

11.5.3 y″=f（y,y′）型的微分方程 169

习题11-5 171

11.6 常系数齐次线性微分方程 172

11.6.1 二阶常系数齐次线性微分方程 172

11.6.2 n阶常系数齐次线性微分方程 177

习题11-6 178

11.7 常系数非齐次线性微分方程 179

习题11-7 184

总复习题11 185

12 无穷级数 187

12.1 常数项级数的概念和性质 187

12.1.1 常数项级数的概念 187

12.1.2 收敛级数的基本性质 190

习题12-1 192

12.2 常数项级数的审敛法 193

12.2.1 正项级数及其审敛法 193

12.2.2 交错级数及其审敛法 199

12.2.3 绝对收敛与条件收敛 201

习题12-2 202

12.3 幂级数 204

12.3.1 函数项级数的概念 204

12.3.2 幂级数及其收敛性 205

12.3.3 幂级数的运算 208

习题12-3 210

12.4 泰勒公式与泰勒级数 210

12.4.1 泰勒公式 210

12.4.2 泰勒级数 213

12.4.3 函数展开成幂级数 214

习题12-4 218

12.5 函数的幂级数展开式的应用 219

12.5.1 近似计算 219

12.5.2 欧拉公式 221

习题12-5 221

12.6 傅里叶级数 222

12.6.1 三角级数 222

12.6.3 函数展开成傅里叶级数 223

12.6.2 三角函数系的正交性 223

12.6.4 正弦级数和余弦级数 226

习题12-6 227

12.7 一般周期函数的傅里叶级数 228

习题12-7 230

总复习题12 230

参考答案 232

附录 阅读材料（二） 251