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第一章 测度与积分 1

1.1 引言 1

1.2 测度论的基本概念 3

1.3 单调类定理 8

1.4 测度的唯一性定理 10

1.5 可测函数与积分的定义 11

1.6 单调收敛定理 15

1.7 Fatou引理 16

1.8 控制收敛定理 17

1.9 Fatou引理中的余项 19

1.10 乘积测度 20

1.11 乘积测度的交换性和结合性 22

1.12 Fubini定理 22

1.13 层饼表示定理 23

1.14 浴缸原理 25

1.15 由外测度构造测度 26

1.16 Egoroff定理 28

1.17 简单函数与真简单函数 29

1.18 真简单函数逼近 31

1.19 用C∞函数逼近 32

第二章 Lp空间 36

2.1 Lp空间的定义 36

2.2 Jensen不等式 39

2.3 H？lder不等式 40

2.4 Minkowski不等式 41

2.5 Hanner不等式 43

2.6 范数的可微性 45

2.7 Lp空间的完备性 46

2.8 凸集投影引理 47

2.9 连续线性泛函与弱收敛 48

2.10 函数由线性泛函唯一确定 50

2.11 范数的下半连续性 51

2.12 一致有界原理 52

2.13 强收敛的凸组合 53

2.14 Lp（Ω）空间的对偶 54

2.15 卷积 57

2.16 C∞函数逼近 57

2.17 Lp（Rn）的可分性 60

2.18 有界序列有弱收敛子列 61

2.19 C？函数逼进 62

2.20 Lp（Rn）对偶空间函数卷积的连续性 63

2.21 Hilbert空间 63

第三章 重排不等式 70

3.1 引言 70

3.2 无穷远处趋于零的函数的定义 70

3.3 集合与函数的重排 71

3.4 最简单的重排不等式 72

3.5 重排的非扩张性 74

3.6 一维Riesz重排不等式 75

3.7 Riesz重排不等式 77

3.8 一般重排不等式 83

3.9 严格重排不等式 83

第四章 积分不等式 86

4.1 引言 86

4.2 Young不等式 87

4.3 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式 94

4.4 共形变换和球极投影 99

4.5 Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的共形不变性 102

4.6 竞争对称性 105

4.7 定理4.3的证明（Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的最佳形式） 107

4.8 共形变换群在最优解上的作用 108

第五章 Fourier变换 111

5.1 L1函数Fourier变换的定义 111

5.2 Gauss函数的Fourier变换 112

5.3 Plancherel定理 113

5.4 L2函数Fourier变换的定义 115

5.5 反演公式 115

5.6 Lp（Rn）函数的Fourier变换 116

5.7 Hausdorff-Young不等式的最佳形式 117

5.8 卷积 117

5.9 ｜x｜α-n的Fourier变换 118

5.10 推广5.9至Lp（Rn） 119

第六章 分布 121

6.1 引言 121

6.2 试验函数空间D（Ω） 121

6.3 分布的定义及其收敛性 122

6.4 局部可积函数L？（Ω） 123

6.5 函数由分布唯一确定 124

6.6 分布的导数 124

6.7 W？（Ω）和W1,p（Ω）的定义 125

6.8 卷积与分布司交换 127

6.9 关于分布的微积分基本定理 128

6.10 古典导数与分布导数等价 129

6.11 导数为零的分布是常数 131

6.12 C∞函数与分布的乘积与卷积 131

6.13 用C∞函数逼近分布 132

6.14 分布的线性相关性 133

6.15 C∞（Ω）在W？（Ω）中“稠密” 134

6.16 链式法则 134

6.17 绝对值的导数 136

6.18 W1,p函数的极小与极大函数属于W1,p 137

6.19 零测度集原象上的梯度为零 139

6.20 Green函数的分布Laplace算子 140

6.21 Poisson方程的解 141

6.22 正分布为正测度 143

6.23 Yukawa位势 148

6.24 W1,p（Ω）的对偶 150

第七章 Sobolev空间H1和H1/2 154

7.1 引言 154

7.2 H1（Ω）的定义 154

7.3 H1（Ω）的完备性 155

7.4 与C∞（Ω）函数相乘 156

7.5 关于H1（Ω）和W1,2（Ω）的注记 157

7.6 C∞（Ω）在H1（Ω）中稠密 157

7.7 H1（Rn）函数的分部积分 158

7.8 梯度的凸不等式 160

7.9 H1（Rn）的Fourier刻划 162

7.10 -△是热核的无穷小生成元 163

7.11 H1/2（Rn）的定义 164

7.12 （f,｜p｜f）和（f,？f）的积分公式 166

7.13 相对论动能的凸不等式 167

7.14 C？（Rn）在H1/2（Rn）中稠密 168

7.15 ？和？-m对分布的作用 168

7.16 C∞函数与H1/2函数相乘 170

7.17 对称递减重排减少动能 171

7.18 弱极限 172

7.19 磁场：H？空间 173

7.20 H？（Rn）的定义 174

7.21 反磁不等式 175

7.22 C？（Rn）在H？（Rn）中稠密 176

第八章 Sobolev不等式 179

8.1 引言 179

8.2 D1（Rn）和D1/2（Rn）的定义 181

8.3 关于梯度的Sobolev不等式 182

8.4 关于｜p｜的Sobolev不等式 184

8.5 一维和二维的Sobolev不等式 185

8.6 弱收敛蕴涵测度有限集合上的强收敛 187

8.7 弱收敛蕴涵着几乎处处收敛 191

8.8 关于Wm,p（Ω）的Sobolev不等式 192

8.9 Rellich-Kondrashov定理 193

8.10 平移后的非零弱收敛 194

8.11 关于Wm,p（Ω）的Poincaré不等式 196

8.12 关于Wm,p（Ω）的Poincaré-Sobolev不等式 197

8.13 Nash不等式 198

8.14 对数型Sobolev不等式 201

8.15 压缩半群简介 202

8.16 Nash不等式和光滑估计的等价性 205

8.17 在热方程上的应用 206

8.18 通过对数型Sobolev不等式导出热核 209

第九章 位势理论与Coulumb能量 213

9.1 引言 213

9.2 调和、下调和以及上调和函数的定义 214

9.3 调和、下调和以及上调和函数的性质 215

9.4 强极大值原理 219

9.5 Harnack不等式 220

9.6 下调和函数为位势 221

9.7 球面电荷分布与点电荷“等效” 223

9.8 Coulumb能量的正性质 225

9.9 关于△-μ2的平均值不等式 226

9.10 Schr？dinger“波函数”的下界 228

9.11 Yukawa方程的唯一解 230

第十章 Poisson方程解的正则性 232

10.1 引言 232

10.2 Poisson方程解的连续性和一阶可微性 234

10.3 Poisson方程解的高阶可微性 236

第十一章 变分法介绍 240

11.1 引言 240

11.2 Schr？dinger方程 241

11.3 动能对势能的控制 243

11.4 势能的弱连续性 246

11.5 E0的极小元的存在性 247

11.6 高阶特征值和特征函数 249

11.7 解的正则性 251

11.8 极小元的唯一性 252

11.9 正解的唯一性 253

11.10 例子（氢原子） 254

11.11 Thomas-Fermi问题 255

11.12 无约束Thomas-Fermi问题极小元的存在性 256

11.13 Thomas-Fermi方程 257

11.14 Thomas-Fermi极小元 258

11.15 电容器问题 260

11.16 电容器问题的解 264

11.17 球具有最小电容 267

第十二章 特征值的进一步研究 269

12.1 极小极大原理 270

12.2 广义极小极大原理 271

12.3 域上特征值之和的界 273

12.4 Schr？dinger特征值之和的界 275

12.5 反对称函数的动能 280

12.6 半经典逼近 282

12.7 相干态的定义 284

12.8 单位分解 285

12.9 非相对论动能的表示 287

12.10 相对论动能的界 288

12.11 区域上前N个特征值之和 288

12.12 Schr？dinger特征值之和的大N渐近性 291

符号表 296

参考文献 300

索引 307

译者后记 312