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第一章 奇异同调 1

1 范畴与函子 1

1.1 范畴 1

1.2 协变函子 2

1.3 反变函子 3

1.4 简单的推论 4

2 链复形与链映射 5

2.1 链复形及其同调群 5

2.2 链映射及其诱导同态 6

2.3 链同伦 7

3 奇异同调群 8

3.1 奇异单形 8

3.2 奇异链复形与奇异同调群 9

3.3 简约奇异同调群 13

3.4 奇异同调的同伦不变性 14

3.5 与基本群的关系 18

3.6 u-小奇异链 19

4 Mayer-Vietoris同调序列 22

4.1 同调代数的基本知识 22

4.2 Mayer-Vietoris同调序列 26

5 球面Sn的拓扑性质 29

5.1 球面Sn的同调群 30

5.2 球面映射的度 31

5.3 Jordan-Brouwer分离性 33

6 映射的简约同调序列 36

6.1 贴空间 36

6.2 映射的简约同调序列 39

6.3 粘贴胞腔 41

6.4 射影空间的同调群 43

第二章 相对同调与上同调 45

1 相对同调群 45

1.1 空间偶的相对同调群 45

1.2 切除定理 49

1.3 空间三元组的同调序列 53

2 局部同调群，局部定向与映射度 55

2.1 局部同调群 55

2.2 流形的局部定向 56

2.3 胞腔和球面的定向 58

2.4 有向球面的映射度 59

3 带系数的同调群 61

3.1 自由Abel群的张量积函子-？G 61

3.2 Abel群的张量积 63

3.3 协变函子-？G 66

3.4 带系数的奇异链复形和奇异同调群 67

3.5 Eilenberg-Steenrod公理 70

3.6 简约同调群的公理 72

4 上同调群 74

4.1 同态群Hom(4,B) 74

4.2 反变函子Hom(-,G) 75

4.3 上链复形与上同调群 76

4.4 奇异上同调群 78

4.5 用上链直接描述 80

4.6 上同调的Eilenberg-Steenrod公理 82

4.7 上下同调群的Kronecker积 83

4.8 域系数的奇异链群与同调群 87

4.9 de Rham定理简介 90

第三章 胞腔同调 93

1 胞腔复形与胞腔映射 93

1.1 胞腔复形 93

1.2 胞腔映射 97

1.3 拓扑空间的CW逼近 97

2 胞腔链复形与胞腔链映射 99

3 胞腔同调定理 103

3.1 胞腔同调定理 103

3.2 胞腔同调定理的推论 105

3.3 带系数的胞腔同调与胞腔上同调 108

3.4 单纯复形与单纯映射 109

3.5 单纯链复形与单纯链映射 111

3.6 有序单纯复形 113

4 胞腔同调的计算 114

4.1 胞腔的定向 114

4.2 胞腔链群的基 115

4.3 胞腔链映射的描述 115

4.4 胞腔边缘同态的描述 116

4.5 实射影空间的同调群 118

4.6 乘积复形的胞腔链复形 120

5 Euler示性数与Morse不等式 122

5.1 有限生成Abel群的构造定理 122

5.2 整数系数的情形 123

5.3 域系数的情形 125

5.4 Morse临界点理论介绍 126

6 自由链复形 129

6.1 自由Abel群的特殊性质 130

6.2 自由链复形的特殊性质 130

6.3 代数映射锥 131

6.4 从同调同态构作链映射 133

6.5 定理6.1的证明 134

7 万有系数定理 135

7.1 初等链复形的同调 136

7.2 万有系数定理的朴素形式 138

7.3 域系数的情形 138

7.4 对偶配对与对偶基 139

第四章 乘积 142

1 复形的乘积 142

1.1 自由链复形的张量积 142

1.2 Künneth公式 144

1.3 胞腔复形的乘积 146

1.4 下同调类的张量积 148

1.5 上同调类的张量积 149

1.6 上下同调类的斜积 150

1.7 胞腔同调中，同调类的乘积 152

2 胞腔上同调中的上积与卡积 152

2.1 上积 153

2.2 卡积 155

2.3 闭单形的棱柱剖分 156

2.4 Alexander-Whitney链映射 158

3 奇异上同调中的乘法 159

3.1 奇异上链的上积与卡积 159

3.2 在上同调的水平上，上积与卡积的基本性质 163

3.3 分次环与分次模，上同调环与下同调模 164

3.4 上同调环的交换性 165

3.5 准单纯复形中的上积与卡积 168

4 实射影空间的上同调环，Borsuk-Ulam定理 172

4.1 实射影空间的上同调环 172

4.2 Borsuk-Ulam定理 174

5 乘积空间的奇异同调 176

5.1 积空间的奇异同调，Eilenberg-Zilber定理 176

5.2 奇异上同调的叉积 178

5.3 乘积空间的上积 179

5.4 空间偶的乘积 181

6 相对上同调的上积 182

6.1 相对上同调的上积 182

6.2 Ljusternik-Schnierelman畴数 184

第五章 流形 187

1 正则胞腔复形 188

1.1 正则胞腔复形的定义 188

1.2 重心重分 189

1.3 重分链映射 192

1.4 环绕复形与对偶块 194

1.5 交链——卡积的几何解释 195

1.6 星形，正则胞腔复形的局部构造 199

1.7 正则邻域 202

2 流形，Poincaré对偶定理 203

2.1 胞腔流形的定义 203

2.2 对偶剖分 205

2.3 胞腔流形的定向 206

2.4 对偶胞腔的定向 207

2.5 Poincaré对偶定理 208

2.6 强连通性 211

2.7 上积是对偶配对 212

3 交积，相交数 216

3.1 交积 216

3.2 相交数 218

3.3 转移同态 220

4 Lefschetz不动点定理 222

4.1 积流形上的交积 222

4.2 对角线同调类 223

4.3 有向流形上的不动点 224

4.4 多面体的Lefschetz不动点定理 227

5 相对流形，Lefschetz和Alexander对偶定理 228

5.1 相对胞腔流形的定义 228

5.2 相对胞腔流形的定向 229

5.3 Lefschetz对偶定理 230

5.4 Alexander对偶定理 231

5.5 球面的Alexander对偶定理 232

6 带边流形，Lefschetz对偶定理 233

6.1 带边胞腔流形的定义 233

6.2 带边流形的Lefschetz对偶定理 235

6.3 流形的配边问题 236

6.4 微分流形的配边理论简介 239

7 子流形，Thom同构定理 242

7.1 Thom类和Thom同构定理 242

7.2 Euler类 246

7.3 Gysin序列 247

7.4 对角线的Thom类 248

参考文献 251

记号表 253

索引 255