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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、集合与区间 1

二、函数概念 3

三、函数的基本性质 5

四、反函数 7

五、复合函数 8

六、初等函数 9

习题1-1 10

第二节 极限 11

一、数列极限 11

二、函数极限 13

三、极限的性质 18

习题1-2 19

第三节 极限的运算法则 19

一、极限的四则运算法则 19

二、复合函数的极限运算法则 21

习题1-3 22

第四节 极限存在准则 两个重要极限 23

一、夹逼准则 23

二、单调有界准则 25

习题1-4 29

第五节 无穷小与无穷大 30

一、无穷小的概念 30

二、无穷小的性质 31

三、无穷小的比较 32

四、无穷大 35

习题1-5 36

第六节 连续函数的概念与性质 37

一、函数的连续性 37

二、函数的间断点 39

三、闭区间上连续函数的性质 41

习题1-6 43

第一章 总复习题 43

第二章 一元函数微分学 45

第一节 导数的概念 45

一、引例 45

二、导数的定义 46

三、导数的几何意义 49

四、函数的可导性与连续性的关系 50

习题2-1 51

第二节 函数的求导法则 52

一、函数的和、差、积、商的求导法则 52

二、反函数的求导法则 53

三、复合函数的求导法则 55

四、基本求导公式与求导法则 58

习题2-2 58

第三节 高阶导数 59

习题2-3 62

第四节 隐函数的导数与由参数方程所确定的函数的导数 63

一、隐函数的导数 63

二、对数求导法 64

三、由参数方程所确定的函数的导数 66

四、相关变化率 67

习题2-4 68

第五节 函数的微分 68

一、微分的定义 68

二、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 70

三、微分在近似计算中的应用 72

习题2-5 73

第六节 微分中值定理 73

一、罗尔定理 73

二、拉格朗日中值定理 75

三、柯西中值定理 78

习题2-6 80

第七节 洛必达法则 80

一、0/0型未定式 81

二、∞/∞型未定式 82

三、其他类型的未定式 84

习题2-7 86

第八节 泰勒公式 87

习题2-8 92

第九节 函数的单调性与曲线的凹凸性 92

一、函数单调性的判定法 92

二、曲线凹凸性的判定法 95

习题2-9 99

第十节 函数的极值与最大值、最小值 99

一、函数的极值及其求法 99

二、最大值与最小值问题 101

习题2-10 103

第十一节 函数图形的描绘 104

习题2-11 107

第十二节 曲率 107

一、弧微分 107

二、曲率及其计算公式 109

三、曲率圆与曲率半径 112

习题2-12 113

第二章 总复习题 113

第三章 一元函数积分学 116

第一节 不定积分的概念与性质 116

一、不定积分的概念 116

二、不定积分的性质 117

三、基本积分公式 118

习题3-1 120

第二节 不定积分的换元积分法 121

一、第一类换元积分法 121

二、第二类换元积分法 126

习题3-2 131

第三节 不定积分的分部积分法 131

习题3-3 134

第四节 其他类型不定积分举例 135

习题3-4 138

第五节 定积分的概念与性质 138

一、定积分问题举例 138

二、定积分的定义 141

三、定积分的性质 143

习题3-5 147

第六节 微积分基本公式 148

一、积分上限的函数及其导数 149

二、牛顿-莱布尼茨公式 151

习题3-6 153

第七节 定积分的换元积分法与分部积分法 154

一、定积分的换元积分法 154

二、定积分的分部积分法 157

习题3-7 160

第八节 定积分的几何应用 161

一、平面图形的面积 162

二、几何体的体积 166

三、平面曲线的弧长 168

习题3-8 170

第九节 定积分的物理应用举例 171

一、变力沿直线所作的功 171

二、液体静压力 173

三、引力 174

习题3-9 175

第十节 反常积分 176

一、无穷限的反常积分 176

二、具有无穷间断点的函数的反常积分 178

习题3-10 180

第十一节 定积分的近似计算 180

一、梯形法 180

二、抛物线法 182

习题3-11 184

第三章 总复习题 184

第四章 微分方程 187

第一节 微分方程的基本概念 187

习题4-1 190

第二节 可分离变量的微分方程 191

习题4-2 194

第三节 齐次方程 194

习题4-3 197

第四节 一阶线性微分方程 197

一、一阶线性微分方程 197

二、伯努利方程 200

习题4-4 201

第五节 可降阶的高阶微分方程 201

一、y(n)=f（x）型的微分方程 201

二、y″=f（x,y′）型的微分方程 202

三、y″=f（y,y′）型的微分方程 205

习题4-5 206

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 206

一、二阶常系数齐次线性微分方程解的性质 206

二、二阶常系数齐次线性微分方程的解法 207

习题4-6 211

第七节 二阶常系数非齐次线性微分方程 211

一、二阶常系数非齐次线性微分方程解的性质 212

二、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 212

习题4-7 216

第八节 微分方程的应用举例 217

习题4-8 222

第四章 总复习题 223

附录 225

附录Ⅰ 基本初等函数的图形及其主要性质 225

附录Ⅱ 常用基本三角公式 228

附录Ⅲ 极坐标系简介 228

附录Ⅳ 几种常见的曲线 230

附录Ⅴ 积分表 233

部分习题答案与提示 243

主要参考书目 258