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第1章 基本方程的推导和定解问题 1

1.1 一维波方程的推导和定解问题 1

1.1.1 弹性弦一维横振动方程的推导和定解问题 1

1.1.2 弹性杆一维纵向振动运动方程和定解条件 11

1.2 热方程的推导及定解问题 15

习题1.1 20

1.3 Laplace方程 20

1.4 变分原理 23

1.4.1 弹性薄膜的平衡 最小势能原理 24

1.4.2 弹性薄膜的微小横振动 Hamilton稳定作用原理 29

习题1.2 32

1.5 流体连续性方程 33

1.6 偏微分方程相关概念 35

1.6.1 多重指标 35

1.6.2 偏微分方程定义及简单分类 35

1.6.3 常见的PDE 37

1.6.4 定解问题的适定性 39

习题1.3 43

第2章 一阶偏微分方程 特征理论 44

2.1 一阶线性PDE 特征法 44

2.1.1 一阶线性PDE边值问题 45

2.1.2 一阶线性非齐次传输方程 46

2.2 一阶非线性PDE 特征法 48

2.2.1 寻找特征 49

2.2.2 解的局部存在唯一性 51

2.2.3 特征法的应用 54

习题2.1 63

第3章 二阶半线性偏微分方程的分类与化简 65

3.1 两个独立变元二阶半线性偏微分方程的分类与化简 66

3.1.1 方程的分类 66

3.1.2 化简 标准型 68

习题3.1 77

3.2 多个独立变元二阶半线性方程的分类 78

3.2.1 多个独立变元二阶半线性方程的分类标准 78

3.2.2 常系数二阶半线性方程的化简 80

习题3.2 83

第4章 二阶线性偏微分方程常用解法 85

4.1 两个独立变元双曲型方程 特征法 85

4.1.1 uξη=0的情形 85

4.1.2 几类二阶线性齐次双曲第二标准型的通解 87

习题4.1 91

4.2 分离变量法 92

4.2.1 线性齐次方程带线性齐次边界情形 93

4.2.2 波方程混合问题的分离变量法 101

4.2.3 热方程混合问题的分离变量法 105

4.2.4 线性椭圆型方程边值问题的分离变量法 117

4.2.5 线性非齐次问题的齐次化 121

习题4.2 130

4.3 Sturm-Liouville问题 136

4.3.1 自共轭微分算子 136

4.3.2 Regular Sturm-Liouville问题 139

习题4.3 141

4.4 波方程初值问题 142

4.4.1 一维波方程情形 d'Alembert公式 142

4.4.2 三维波方程初值问题 球面平均 147

4.4.3 二维波方程初值问题 降维法 155

4.4.4 一维波方程半直线问题 延拓法 156

习题4.4 160

4.5 热方程Cauchy问题 Fourier变换 162

4.5.1 Fourier变换 162

4.5.2 热方程Cauchy问题 163

4.5.3 热方程半直线问题 延拓法 174

4.5.4 Fourier正弦变换和余弦变换 177

习题4.5 184

第5章 二阶线性偏微分方程解的定性理论 188

5.1 双曲型方程能量估计 188

5.1.1 波方程初值问题解的物理解释 Huygens原理 188

5.1.2 双曲型方程能量估计 解的适定性 196

5.1.2.1 混合问题 能量估计 198

5.1.2.2 Cauchy问题 能量估计 210

习题5.1 220

5.2 椭圆型方程能量估计 222

5.2.1 边值问题的唯一性 223

5.2.2 边值问题的稳定性 225

习题5.2 228

5.3 Laplace方程的基本解 极值原理 Green函数 229

5.3.1 Laplace方程基本解 230

5.3.2 调和函数的平均值公式和极值原理 234

5.3.3 调和函数的性质 239

5.3.4 Poisson方程边值问题解的Green函数表示 247

习题5.3 264

5.4 线性椭圆型方程极值原理 265

5.4.1 弱极值原理 Dirichlet边值问题逐点先验估计 266

5.4.2 Hopf引理 271

5.4.3 强极值原理 混合边值问题逐点先验估计 272

习题5.4 278

5.5 抛物型方程 能量估计 极值原理 278

5.5.1 混合问题的能量估计 279

5.5.2 热方程极值原理与逐点估计 284

5.5.3 线性抛物型方程极值原理 287

5.5.4 抛物型方程解的正性 扰动的无限传播 291

5.5.5 Cauchy问题 292

5.5.6 热方程逆时间问题的不适定性 300

习题5.5 300

参考文献 303

索引 305