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绪论 1

第一篇 平面解析几何学 8

第一章 基本公理 8

1.有向线段及其与数的联系 8

2.有理数的闭性与密性 10

3.一一对应 13

4.实数连续性公理 15

5.无理数与无限小数 18

6.实数概念小结 21

7.实数的绝对值 22

8.有向角及其与数的联系 24

9.有向线段的射影 26

附注（1）数学归纳法，（2）无穷多的一种特征，（3）无理数与无限连分数 28

第二章 坐标与方程 31

10.笛卡儿直角坐标系 31

11.坐标轴的平移 32

12.两点间的距离 33

13.定比分点 34

14.曲线与方程 37

15.方向余弦与方向数 42

16.矢径在有向直线上的射影 46

17.极坐标 47

第三章 直线与一次方程 49

18.直线方程的法式 49

19.直线的斜率 50

20.二元一次方程 51

21.直线方程通式与法式的沟通 53

22.直线到点的垂直距离 55

23.直线方程的参数式 57

24.坐标变换，直线方程对坐标变换的不变性 59

25.直线的极坐标方程 62

26.两直线的交角 64

27.必要与充分条件 68

28.二元一次方程组 69

29.行列式的特性 72

30.三元一次方程组 76

31.两直线的交点 79

32.直线束 81

33.三条直线的交点 82

附注（1）直线段的参数式，（2）直线方程的两点式由行列式表达，（3）方程个数少于未知数个数时的情况，（4）四元一次方程组问题，（5）三条直线线性相关的条件 85

第四章 圆锥曲线略论 88

34.圆的一般方程 88

35.椭圆及双曲线的方程 89

36.椭圆及双曲线的准线 94

37.圆锥曲线的极坐标方程 97

38.圆及椭圆的参数方程 98

39.一般二次方程的简化举例 100

第二篇 一元函数的微积分学 106

第五章 函数概念 106

40.函数的定义 106

41.隐函数与显函数 108

42.函数作图 109

43.最简单的几种函数 113

44.复合函数 115

45.反函数 117

第六章 极限 119

46.数列的极限 119

47.数列发散的情况 127

48.数列极限存在的情况 129

49.数列极限存在的准则 133

50.数列极限的有理运算 138

51.数列极限存在与无穷小 140

52.数列极限的简单应用举例 141

53.函数f（x）在x→∞时的极限 143

54.函数f（x）在x→ξ时的极限 148

55.关于函数极限的几条定理 151

56.函数极限不存在的情况 154

57.无穷小的比较 158

附注（1）数列极限定义的补充说明，（2）用聚点说明数列极限，（3）聚点存在定理，（4）审敛准则的证明，（5）柯西的普遍审敛准则，（6）柯西审敛准则在函数极限问题上的应用，（7）函数的极限归并到数列的极限 159

第七章 连续函数 166

58.函数在一点上及在区间内的连续性 166

59.从连续函数产生连续函数 169

60.连续函数的特性 172

61.连续函数的反函数 174

62.对数函数及指数函数 178

附注（1）奇次代数方程有一实根的证明，（2）连续函数在闭区间内的一致连续，（3）关于指数函数的补充说明，（4）对数发明史上一些事实 180

第八章 导数与微分 186

63.曲线在一点上的斜率 186

64.自然现象的瞬时变化率 188

65.函数在一点上及在区间内的可导性 190

66.函数的可导性与连续性 194

67.可导函数的和、积、商 197

68.可导函数的复合函数 200

69.可导函数的反函数 203

70.对数函数及指数函数的可导性 209

71.双曲函数 212

72.初等函数的求导问题 215

73.罗尔定理 218

74.拉格朗日定理 222

75.微分 226

76.高阶导数与高阶微分 230

77.二阶导数与曲线凹向 232

附注（1）导数存在与连续，（2）作图求导法，（3）无穷大的比较，（4）一个连续可导而各阶导数在一点上都等于零的函数，（5）上凹函数 234

第九章 导数概念在函数研究中的应用 239

78.极值的充分条件 239

79.拉格朗日定理的推广 243

80.极值问题举例 247

81.不定式问题 251

82.函数值的近似计算 255

83.方程的近似解法 259

84.函数作图问题 262

85.从曲线的参数方程讨论曲线的特性 267

86.从曲线的极坐标方程讨论曲线的特性 272

附注（1）不定式∞/∞，（2）e为无理数的证明，（3）不能展开的函数，（4）函数展开的柯西余项式，（5）笛卡儿叶形线，（6）外摆线与内摆线 278

第十章 定积分与不定积分 286

87.面积问题 286

88.定积分概念 288

89.中值定理 292

90.牛顿-莱布尼茨公式 297

91.基本积分表 303

92.积分的物理意义 306

附注（1）作图求积分法，（2）再论对数函数及指数函数 307

第十一章 积分法 314

93.积分法要旨 314

94.换元法 315

95.分部积分法 322

96.有理函数的积分 326

97.三角及双曲函数的积分 332

98.几种可以有理化的函数类型 335

99.不能用初等函数表达的积分 340

100.定积分的近似计算 341

101.反常积分 344

附注（1）泰勒定理的另一证明，（2）表达π的沃利斯乘积，（3）n！随n→∞趋大情况的讨论 350

第十二章 微积分概念在几何学与物理学上的简单应用 355

102.闭合曲线所围的面积 355

103.弧长 361

104.曲率 367

105.质心 373

106.转动惯量 375

107.物理学中的一阶微分方程举例 378

108.自由降落与简谐振动 380

附注（1）渐屈线的一种特性，（2）两曲线的n阶接触，（3）牛顿引力的势能 385

参考书目 389