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第一章 集合与函数 1

第一节 集合与映射 1

一、集合及其运算 1

二、映射 5

习题1-1 9

第二节 函数的概念与基本性质 9

一、函数的概念 9

二、函数的基本性质 13

三、函数的代数运算 15

四、反函数 16

习题1-2 17

第三节 初等函数 18

一、基本初等函数 18

二、初等函数 21

习题1-3 25

综合题一 27

第二章 极限 28

第一节 数列的极限 28

一、数列 28

二、数列极限的定义 29

三、数列极限的性质 33

四、数列的收敛准则 37

习题2-1 39

第二节 函数的极限 40

一、x→x时，函数的极限 40

二、x→x0时，函数的极限 43

三、函数极限的性质 45

四、x→x0时，函数的左、右极限 46

习题2-2 47

第三节 无穷小量与无穷大量 48

一、无穷小量 48

二、无穷大量 52

习题2-3 54

第四节 极限的运算 55

一、极限的运算法则 55

二、极限运算举例 56

习题2-4 59

第五节 极限存在定理 60

一、夹逼定理 60

二、函数极限与数列极限的关系 62

三、柯西收敛准则 63

习题2-5 64

第六节 两个重要极限 64

一、lim x→0 sin x/x=1 64

二、lim x→∞ （1+1/x）x=e 66

习题2-6 68

第七节 无穷小量的比较 69

一、无穷小量比较的概念 69

二、等价无穷小量的性质与应用 70

习题2-7 72

综合题二 72

第三章 函数的连续性 75

第一节 函数的连续与间断 75

一、函数的连续性 75

二、函数的间断点 78

习题3-1 80

第二节 连续函数的性质 81

一、连续函数的基本性质 81

二、初等函数的连续性 84

三、闭区间上连续函数的性质 85

四、函数的一致连续性 88

习题3-2 90

综合题三 90

第四章 函数的导数和微分 92

第一节 导数的概念 92

一、导数的引入 92

二、导数的定义 93

三、导数的几何意义 98

四、可导与连续的关系 99

习题4-1 100

第二节 求导法则 102

一、函数四则运算的求导法则 102

二、复合函数的求导法则 104

三、反函数的求导法则 106

四、基本导数公式 107

五、隐函数的求导法则 109

六、取对数求导法则 109

七、由参数方程确定的函数的求导法则 110

习题4-2 112

第三节 高阶导数 113

习题4-3 117

第四节 微分及其运算 118

一、微分的定义 118

二、微分与导数的关系 119

三、微分的几何意义 120

四、复合函数的微分及基本微分公式 121

五、高阶微分 122

习题4-4 123

第五节 微分中值定理 124

一、罗尔中值定理 125

二、拉格朗日中值定理 127

三、柯西中值定理 129

四、泰勒中值定理 131

习题4-5 137

第六节 洛必达法则 139

一、0/0型不定式的洛必达法则 139

二、∞/∞型不定式的洛必达法则 141

三、其他不定式的洛必达法则 143

习题4-6 145

综合题四 146

第五章 导数与微分的应用举例 151

第一节 函数的单调性与凸性 151

一、函数的单调性 151

二、函数的凸性 153

习题5-1 157

第二节 函数的极值和最值 158

一、函数的极值 158

二、拐点与导函数极值点的关系 161

三、最优化问题 162

习题5-2 165

第三节 函数图形的描绘 167

一、曲线的渐近线 167

二、函数图形的描绘 168

习题5-3 171

第四节 相关变化率、曲率 172

一、相关变化率 172

二、曲率 173

习题5-4 177

第五节 在经济学中的应用 177

一、边际函数 177

二、函数的弹性 178

三、增长率 179

习题5-5 180

综合题五 181

第六章 函数的积分 184

第一节 定积分的概念 184

一、曲边梯形的面积 184

二、定积分的定义 185

三、定积分的性质 188

习题6-1 193

第二节 定积分的基本定理 193

一、原函数与积分上限函数 193

二、微积分基本公式 197

习题6-2 198

第三节 不定积分 199

一、不定积分的概念和性质 199

二、求不定积分的方法 202

三、有理函数的不定积分 215

四、三角函数有理式的不定积分 220

五、积分表的使用 223

习题6-3 224

第四节 定积分的计算 225

一、定积分的换元法 225

二、定积分的分部积分法 229

三、利用定积分求极限 232

习题6-4 233

第五节 反常积分 234

一、无穷区间上的积分 234

二、瑕积分 238

三、Γ函数 242

四、反常积分的收敛原理 244

五、反常积分的柯西主值 246

习题6-5 247

综合题六 247

第七章 定积分的应用举例 250

第一节 微元法 250

第二节 平面图形的面积 251

一、直角坐标情形 251

二、极坐标情形 254

习题7-2 256

第三节 平面曲线的弧长 257

一、弧长的概念 257

二、弧长的计算 258

三、弧微分的几何意义 261

习题7-3 262

第四节 立体的体积和旋转体的侧面积 263

一、平行截面面积为已知的立体体积 263

二、旋转体的体积 265

三、旋转体的侧面积 266

习题7-4 267

第五节 定积分在物理及其他方面的应用 268

一、变力做功 268

二、液体的静压力 270

三、质量分布不均匀的线状物体的质量 272

四、连续函数的平均值 272

习题7-5 273

综合题七 274

第八章 常微分方程 277

第一节 微分方程的基本概念 277

习题8-1 281

第二节 一阶微分方程 282

一、变量可分离方程 282

二、齐次方程 284

三、一阶线性微分方程 287

习题8-2 291

第三节 可降阶的高阶微分方程 293

一、y（n）=f（x）型的微分方程 293

二、y″=f（x，y′）型的微分方程 294

三、y″=f（y，y′）型的微分方程 297

四、可利用参变量降阶的方程 298

习题8-3 299

第四节 线性微分方程解的结构 300

习题8-4 303

第五节 高阶常系数线性微分方程 304

一、常系数齐线性微分方程 304

二、常系数非齐线性微分方程 309

习题8-5 316

第六节 欧拉方程 317

习题8-6 319

第七节 常系数线性微分方程组求解举例 320

习题8-7 324

综合题八 325

附录 积分表 328

一、含有ax+b的积分（a，b为常数，且a≠0） 328

二、含有？ax+b的积分（a，b为常数，且a≠0） 328

三、含有x2±a2的积分（a为常数，且a≠0） 329

四、含有ax2+b的积分（a，b为常数，且a＞0） 329

五、含有ax2+bx+c的积分（a，b，c为常数，且a＞0） 330

六、含有？x2+a2的积分（a为常数，且a＞0） 330

七、含有？x2-a2的积分（a为常数，且a＞0） 331

八、含有？a2-x2的积分（a为常数，且a＞0） 332

九、含有？±ax2+bx+c的积分（a，b，c为常数，且a＞0） 333

十、含有？±x-a/x-b或？（x-a）（b-x）的积分（a，b为常数，且a≠b） 333

十一、含有三角函数的积分（其中a，b为常数） 334

十二、含有反三角函数的积分（其中a为常数，且a＞0） 335

十三、含有指数函数的积分（其中a，b为常数） 336

十四、含有对数函数的积分 337

十五、含有双曲函数的积分 337

十六、定积分 337