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第一章 多元函数微分法及其应用 1

1.1 多元函数的基本概念 1

1.1.1 区域 1

1.1.2 多元函数的概念 2

1.1.3 多元函数的极限 3

1.1.4 多元函数的连续性 4

习题1.1 5

1.2 偏导数 6

1.2.1 偏导数的定义及其几何意义 6

1.2.2 高阶偏导数 9

习题1.2 10

1.3 全微分及其应用 11

1.3.1 全微分的定义 11

1.3.2 全微分在近似计算中的应用 13

习题1.3 14

1.4 多元复合函数的求导法则 15

习题1.4 18

1.5 隐函数的求导公式 19

1.5.1 一个方程的情形 19

1.5.2 方程组的情形 20

习题1.5 21

1.6 微分法在几何上的应用 22

1.6.1 空间曲线的切线与法平面 22

1.6.2 曲面的切平面与法线 25

习题1.6 26

1.7 方向导数与梯度 27

1.7.1 方向导数 27

1.7.2 梯度 29

1.7.3 等值线和等量面 31

1.7.4 数量场与向量场 32

习题1.7 33

1.8 多元函数的极值及其求法 34

1.8.1 多元函数的极值及最大值、最小值 34

1.8.2 条件极值，拉格朗日乘数法 36

习题1.8 37

1.9 MATLAB符号求偏导数和全微分 37

习题1.9 40

1.10 计算梯度和方向导数的MATLAB程序及其实验 41

1.10.1 gradient函数数值计算梯度方向导数 41

习题1.10 45

1.11 计算雅克比矩阵及其行列式的MATLAB方法 45

1.11.1 符号计算雅克比矩阵及其行列式 46

1.11.2 数值计算雅克比行列式及其MATLAB程序 49

习题1.11 50

1.12 空间曲线（曲面）切线（切平面）和法平面（法线）的MATLAB实现 51

1.12.1 surfnorm函数求曲面在每个节点的法向量 51

1.12.2 空间曲线的切线和法平面的MATLAB实现 52

1.12.3 空间曲面的切平面和法线的MATLAB实现 54

1.12.4 相交曲面的交线的切线和法平面的MATLAB实现 56

习题1.12 58

复习题一 58

第二章 重积分 61

2.1 二重积分的概念与性质 61

2.1.1 二重积分的概念 61

2.1.2 二重积分的性质 62

习题2.1 64

2.2 二重积分的计算法 64

2.2.1 利用直角坐标系计算二重积分 64

习题2.2 （1） 69

2.2.2 利用极坐标计算二重积分 70

习题2.2 （2） 73

2.3 二重积分的应用 74

2.3.1 曲面的面积 74

2.3.2 平面薄片的重心 75

2.3.3 平面薄片的的转动惯量 76

2.3.4 平面薄片对质点的引力 76

习题2.3 77

2.4 三重积分的概念及其计算方法 77

习题2.4 80

2.5 三重积分的主要换元方法 81

2.5.1 利用柱面坐标计算三重积分 81

2.5.2 利用球面坐标计算三重积分 82

习题2.5 83

2.6 用MATLAB符号计算多重积分 84

2.6.1 二重积分的符号计算及其MATLAB程序 84

2.6.2 三重积分的符号计算及其MATLAB程序 86

习题2.6 88

复习题二 89

第三章 曲线积分与曲面积分 91

3.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分 91

3.1.1 第一类曲线积分与第一类曲面积分概念 91

3.1.2 第一类曲线积分与第一类曲面积分的计算 92

习题3.1 96

3.2 第二类曲线积分 98

3.2.1 第二类曲线积分的概念 98

3.2.2 第二类曲线积分的计算 100

习题3.2 103

3.3 格林公式及其应用 104

3.3.1 格林公式 104

3.3.2 平面曲线积分与路径无关性 107

3.3.3 二元函数的全微分求积 108

习题3.3 110

3.4 第二类曲面积分 111

3.4.1 第二类曲面积分的概念 111

3.4.2 第二类曲面积分的计算 114

习题3.4 116

3.5 高斯公式和斯托克斯公式 117

习题3.5 120

3.6 曲线积分和曲面积分的MATLAB实现 121

3.6.1 第一类曲线积分的MATLAB实现 121

3.6.2 第一类曲面积分的MATLAB实现 122

3.6.3 第二类曲线积分的MATLAB实现 124

3.6.4 第二类曲面积分的MATLAB实现 125

习题3.6 126

复习题三 128

第四章 无穷级数 130

4.1 常数项级数的概念和性质 130

4.1.1 常数项级数的概念 130

4.1.2 收敛级数的基本性质 134

习题4.1 136

4.2 正项级数及其审敛法 138

4.2.1 正项级数的概念和充要条件 138

4.2.2 正项级数比较审敛法 139

4.2.3 正项级数的比值审敛法 141

4.2.4 正项级数根值审敛法 143

4.2.5 正项级数积分审敛法 144

4.2.6 正项级数极限审敛法 145

习题4.2 145

4.3 任意项级数及其审敛法 146

4.3.1 交错级数及其审敛法 146

4.3.2 绝对收敛与条件收敛 147

习题4.3 151

4.4 幂级数及其和函数 151

4.4.1 函数项级数的概念 151

4.4.2 幂级数及其收敛性 153

4.4.3 幂级数的运算 159

习题4.4 162

4.5 函数展开成幂级数 163

4.5.1 泰勒公式 163

4.5.2 几个常用函数的麦克劳林公式 166

4.5.3 泰勒级数 168

4.5.4 函数展开成幂级数 169

4.5.5 函数的幂级数展开式的应用 175

4.5.6 欧拉公式 176

习题4.5 178

4.6 傅里叶级数 179

4.6.1 三角级数、三角函数系的正交性 179

4.6.2 周期函数展开成傅里叶级数 180

4.6.3 有限区间上函数展开成傅里叶级数 185

习题4.6 189

4.7 求级数的MATLAB实现 190

习题4.7 193

4.8 求泰勒级数的MATLAB实现 194

4.8.1 求一元函数的泰勒级数的MATLAB实现 194

4.8.2 求多元函数的泰勒级数的MATLAB实现 196

习题4.8 196

4.9 求傅里叶级数的MATLAB实现 197

习题4.9 199

复习题四 200

第五章 常微分方程 201

5.1 微分方程的一般概念 201

习题5.1 203

5.2 可分离变量的一阶方程 203

习题5.2 205

5.3 齐次方程 206

习题5.3 207

5.4 线性微分方程 208

5.4.1 一阶线性微分方程 208

5.4.2 伯努利方程 211

习题5.4 213

5.5 全微分方程 213

习题5.5 215

5.6 可降阶的高阶微分方程 216

5.6.1 形如y（n） =f（x）的微分方程 216

5.6.2 不显含y的方程 216

5.6.3 不显含自变量x的微分方程 217

习题5.6 218

5.7 线性微分方程解的性质与结构 218

习题5.7 220

5.8 二阶常系数齐次线性微分方程 221

习题5.8 223

5.9 二阶常系数非齐次线性微分方程 224

5.9.1 f（x）=eλxpm （x）的情形 224

5.9.2 f（x）=eλx［P？（x） cosωx+Qn （x） sinωx］的情形 225

习题5.9 226

5.10 欧拉方程 226

习题5.10 228

5.11 微分方程的幂级数解法 228

习题5.11 230

5.12 求常微分方程（组）符号解的MATLAB实现 230

5.12.1 求常微分方程（组）的通解的MATLAB 实现 230

5.12.2 求常微分方程（组）的特解的MATLAB实现 232

5.12.3 求线性常微分方程组解的MATLAB实现 235

习题5.12 236

复习题五 237

习题答案 238

参考文献 257

附录Ⅰ 2014—2011年硕士研究生入学考试数学（一）真题和参考答案 259

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案 259

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案 270

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案 278

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）真题和参考答案 289

附录Ⅱ 2014—2011年硕士研究生入学考试数学（二）真题和参考答案 298

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案 298

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案 307

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案 315

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题和参考答案 325

附录Ⅲ 2014—2011年硕士研究生入学考试数学（三）真题和参考答案 334

2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案 334

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案 344

2012年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案 353

2011年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）真题和参考答案 363