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第一章 函数、极限与连续 1

第一节 函数 1

一、集合与邻域 1

二、函数的概念 3

三、函数的几何特性 6

四、函数的运算 8

习题1-1 9

第二节 初等函数 10

一、基本初等函数 10

二、复合函数 13

三、初等函数 14

习题1-2 15

第三节 数列的极限 15

一、数列极限的概念 15

二、收敛数列的性质 19

三、收敛数列与其子数列的关系 20

习题1-3 21

第四节 函数的极限 21

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 22

二、自变量趋于有限值时函数的极限 23

三、函数极限的性质 25

四、子序列的收敛性 26

习题1-4 26

第五节 无穷小与无穷大 27

一、无穷小 27

二、无穷大 28

三、无穷小与无穷大的关系 29

习题1-5 30

第六节 极限运算法则 30

习题1-6 35

第七节 极限存在准则及两个重要极限 35

一、极限存在准则 35

二、两个重要极限 36

三、复利与贴现 42

习题1-7 43

第八节 无穷小的比较 44

一、无穷小阶的概念 44

二、等价无穷小的性质 44

习题1-8 46

第九节 函数的连续性与间断点 46

一、函数的连续性 46

二、左、右连续 48

三、函数的间断点 49

习题1-9 51

第十节 连续函数的运算与初等函数的连续性 51

一、连续函数的四则运算 51

二、反函数的连续性 52

三、复合函数的连续性 52

四、初等函数的连续性 53

习题1-10 54

第十一节 闭区间上连续函数的性质 55

一、最大值与最小值定理 55

二、有界性定理 56

三、零点定理与介值定理 56

习题1-11 58

总习题一 59

本章知识网络 61

第二章 导数与微分 62

第一节 导数的概念 62

一、实例 62

二、导数的定义 63

三、求导数举例 65

四、单侧导数与可导的充分必要条件 66

五、函数的可导性与连续性的关系 67

六、导数的几何意义 68

习题2-1 69

第二节 导数的求导法则 70

一、函数的和、差、积、商的求导法则 70

二、反函数的求导法则 72

三、复合函数的求导法则 73

四、初等函数的导数法则 74

习题2-2 77

第三节 高阶导数 78

一、高阶导数的概念 78

二、高阶导数的运算法则 80

习题2-3 81

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 82

一、隐函数的导数 82

二、对数求导法 84

三、由参数方程所确定的函数的导数 84

四、相关变化率 86

习题2-4 88

第五节 函数的微分 89

一、微分的概念 89

二、函数可微的条件 90

三、微分的基本公式与运算法则 92

四、微分的几何意义 94

五、微分在近似计算中的应用 94

习题2-5 95

总习题二 96

本章知识网络 98

第三章 微分中值定理与导数的应用 99

第一节 微分中值定理 99

一、罗尔中值定理 99

二、拉格朗日中值定理 101

三、柯西中值定理 104

习题3-1 105

第二节 洛必达法则 106

一、0/0型未定式的极限 106

二、∞/∞型未定式的极限 108

三、其它类型的未定式极限 109

习题3-2 111

第三节 泰勒公式 111

一、泰勒公式 111

二、常用函数的麦克劳林公式 113

三、泰勒公式应用举例 115

习题3-3 116

第四节 函数的单调性与极值 116

一、函数的单调性判别法 116

二、函数的极值 119

习题3-4 122

第五节 曲线的凹凸性与拐点 123

一、曲线的凹凸性 123

二、曲线的拐点 125

三、单调性与凹凸性判定方法比较 126

四、极值与拐点判定方法比较 126

习题3-5 127

第六节 函数的最值 127

一、闭区间上连续函数的最大值和最小值 127

二、实际问题中的最大值和最小值 129

习题3-6 130

第七节 函数图形的描绘 131

一、曲线的渐近线 131

二、函数图形的描绘 132

习题3-7 135

第八节 曲率 135

一、弧微分 135

二、曲率及其计算公式 136

三、曲率圆与曲率半径 137

习题3-8 138

第九节 导数在经济学中的应用 139

一、边际分析 139

二、弹性分析 141

习题3-9 142

总习题三 143

本章知识网络 145

第四章 不定积分 146

第一节 不定积分的概念与性质 146

一、原函数的概念 146

二、不定积分的概念与基本积分公式 147

三、不定积分的性质 149

四、直接积分法 149

习题4-1 151

第二节 换元积分法 151

一、第一换元积分法（凑微分法） 151

二、第二换元积分法 159

习题4-2 164

第三节 分部积分法 165

一、分部积分法 165

二、分部积分中u，v′的选取原则 166

习题4-3 170

第四节 有理函数的积分 170

一、有理函数的积分 170

二、三角函数有理式的积分 173

三、简单无理函数的积分 174

习题4-4 176

总习题四 177

本章知识网络 179

第五章 定积分 180

第一节 定积分的概念 180

一、两个实例 180

二、定积分的定义 182

三、定积分的几何意义 184

四、定积分的性质 186

习题5-1 189

第二节 微积分基本定理 190

一、积分上限的函数及其导数 190

二、牛顿—莱布尼茨公式 193

习题5-2 196

第三节 定积分的换元法与分部积分法 198

一、定积分的换元积分法 198

二、定积分的分部积分法 203

习题5-3 206

第四节 反常积分 208

一、无穷区间上的反常积分 208

二、无界函数的反常积分 210

三、Γ函数简介 212

习题5-4 214

总习题五 214

本章知识网络 217

第六章 定积分的应用 218

第一节 定积分的元素法 218

一、再论曲边梯形面积计算 218

二、元素法 219

第二节 定积分在几何中的应用 220

一、平面图形的面积 220

二、体积 226

三、平面曲线的弧长 229

习题6-2 231

第三节 定积分在物理学与经济学中的应用 232

一、变力沿直线所作的功 232

二、液体压力 234

三、引力 235

四、非均匀直线棒的质心坐标 236

五、定积分的经济应用 237

习题6-3 238

总习题六 239

本章知识网络 241

第七章 常微分方程 242

第一节 微分方程的基本概念 242

习题7-1 245

第二节 变量可分离的微分方程 245

习题7-2 251

第三节 齐次方程 252

习题7-3 254

第四节 一阶线性微分方程 255

一、一阶线性方程 255

二、伯努利方程 258

习题7-4 260

第五节 可降阶的高阶微分方程 260

一、y（n）=f（x）型 261

二、y″=f（x，y′）型 261

三、y″=f（y，y′）型 262

习题7-5 264

第六节 高阶线性微分方程及其解的结构 264

一、二阶线性齐次方程解的结构 264

二、二阶线性非齐次方程解的结构 266

习题7-6 267

第七节 常系数齐次线性微分方程 268

一、二阶常系数线性齐次方程 268

二、n阶常系数线性齐次方程 271

习题7-7 272

第八节 常系数非齐次线性微分方程 272

一、f（x）=eλx Pm（x）型 272

二、f（x）=eλx［Pl（x）cosωx+Pn（x）sinωx］型 275

习题7-8 277

总习题七 277

本章知识网络 279

附录1常用的初等数学公式及结论 280

附录2几种常用曲线与图形 284

附录3高等数学主要公式与结论 288

附录4常用积分表 297

习题答案 302