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第一篇 高等数学 1

第一章 函数 极限 连续 1

考点与要求 1

1函数 1

内容精讲 1

一、定义 1

二、重要性质、定理、公式 4

例题分析 5

一、求分段函数的复合函数 5

二、求反函数的表达式 6

三、关于函数有界（无界）的讨论 7

2极限 8

内容精讲 8

一、定义 8

二、重要性质、定理、公式 9

三、计算极限的一些有关方法 10

例题分析 13

一、求函数的极限 13

二、已知极限值求其中的某些参数，或已知极限求另一与此有关的某极限 19

三、含有|x|，e1-x的x→0时的极限，含有取整函数[x]的x趋于整数时的极限 22

四、无穷小的比较 23

五、数列的极限 24

六、极限运算定理的正确运用 28

3函数的连续与间断 31

内容精讲 31

一、定义 31

二、重要性质、定理、公式 32

例题分析 32

一、讨论函数的连续与间断 32

二、在连续条件下求参数 34

三、连续函数的零点问题 34

自测题 35

自测题答案与提示 38

第二章 一元函数微分学 44

考点与要求 44

1导数与微分，导数的计算 44

内容精讲 44

一、定义 44

二、重要性质、定理、公式 45

例题分析 48

一、按定义求一点处的导数 48

二、已知f （x）在某点2=x0处可导，求与此有关的某极限或其中某参数，或已知某极限求f （x）在x =x0处的导数 50

三、绝对值函数的导数 57

四、由极限式表示的函数的可导性 58

五、导数与微分、增量的关系 59

六、求导数的计算题 59

2导数的应用 62

内容精讲 62

一、定义 62

二、重要性质、定理、公式与方法 63

例题分析 65

一、增减性、极值、凹凸性、拐点的讨论 65

二、渐近线 69

三、曲率与曲率圆 70

四、最大值、最小值问题 70

3中值定理、不等式与零点问题 71

内容精讲 71

一、重要定理 71

二、重要方法 73

例题分析 74

一、不等式的证明 74

二、f （x）的零点与f′（x）的零点问题 79

三、复合函数ψ（x， f （x），f′（x））的零点 81

四、复合函数ψ（x， f （x）， f′ （x）， f ″（x））的零点 82

五、“双中值”问题 83

六、零点的个数问题 84

七、证明存在某ξ满足某不等式 85

八、f′（x）与f （x）的一些极限性质的关系 86

自测题 87

自测题答案与提示 90

第三章 一元函数积分学 99

考点与要求 99

1不定积分与定积分的概念、性质、理论 99

内容精讲 99

一、定义 99

二、重要性质、定理、公式 100

例题分析 102

一、分段函数的不定积分与定积分 102

二、定积分与原函数的存在性 105

三、奇、偶函数、周期函数的原函数及变限积分 105

2不定积分与定积分的计算 109

内容精讲 109

一、基本积分公式 109

二、基本积分方法 109

例题分析 112

一、简单有理分式的积分 112

二、三角函数的有理分式的积分 113

三、简单无理式的积分 114

四、两种不同类型的函数相乘的积分 115

五、被积函数中含有导数或变限函数的积分 117

六、对称区间上的定积分，周期函数的定积分 118

七、含参变量带绝对值号的定积分 120

3反常积分及其计算 121

内容精讲 121

一、定义 121

二、重要性质、定理、公式 122

例题分析 124

一、反常积分的计算 124

二、关于奇、偶函数的反常积分 126

三、关于反常积分敛散性的判定 127

4定积分的应用 128

内容精讲 128

一、基本方法 128

二、重要几何公式与物理应用 129

例题分析 131

一、几何应用 131

二、物理应用 133

5定积分的证明题 137

内容精讲 137

例题分析 138

一、讨论变限积分所定义的函数的奇偶性、周期性、极值、单调性等 138

二、由积分定义的函数求极限 139

三、积分不等式的证明 140

四、零点问题 146

自测题 148

自测题答案与提示 152

第四章 向量代数与空间解析几何 163

考点与要求 163

1向量代数 163

内容精讲 163

一、与向量有关的基本概念 163

二、向量的运算及性质 164

例题分析 165

一、向量的运算 165

二、向量运算的应用及向量的位置关系 167

2平面与直线 168

内容精讲 168

一、平面方程 168

二、直线方程 169

三、平面与直线间的位置关系 169

例题分析 170

一、建立平面方程 170

二、建立直线方程 172

三、与平面和直线的位置关系有关的问题 174

3空间曲面与曲线 176

内容精讲 176

一、旋转面及其方程 176

二、柱面及其方程 177

三、常见的二次曲面及图形 177

四、空间曲线及其方程 178

五、空间曲线的投影 179

例题分析 179

一、建立柱面方程 179

二、建立旋转面方程 180

三、建立空间曲线的投影曲线方程 182

自测题 182

自测题答案与提示 184

第五章 多元函数微分学 187

考点与要求 187

1多元函数的极限、连续、偏导数与全微分 187

内容精讲 187

一、多元函数 187

二、二元函数的极限与连续 188

三、二元函数的偏导数与全微分 188

例题分析 190

一、讨论二重极限 190

二、讨论二元函数的连续性、偏导数存在性 192

三、讨论二元函数的可微性 194

2多元函数的微分法 197

内容精讲 197

一、复合函数的偏导数与全微分 198

二、隐函数的偏导数与全微分 199

例题分析 200

一、求复合函数的偏导数与全微分 200

二、求隐函数的偏导数与全微分 208

3极值与最值 214

内容精讲 214

一、无条件极值 214

二、条件极值 215

例题分析 215

一、无条件极值问题 215

二、条件极值（最值）问题 218

三、多元函数的最大（小）值问题 219

4方向导数与梯度及多元微分在几何上的应用 225

内容精讲 225

一、方向导数 225

二、梯度 225

三、曲面的切平面与法线 226

四、曲线的切线和法平面 226

例题分析 227

一、有关方向导数与梯度 227

二、有关曲面的切平面和曲线的切线 230

自测题 233

自测题答案与提示 236

第六章 多元函数积分学 244

考点与要求 244

1重积分 244

内容精讲 244

一、二重积分 244

二、三重积分 247

例题分析 250

一、计算二重积分 250

二、累次积分交换次序及计算 261

三、与二重积分有关的综合题 263

四、与二重积分有关的积分不等式问题 266

五、计算三重积分 269

六、三重积分的累次积分 273

2曲线积分 274

内容精讲 274

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 274

二、对坐标的线积分（第二类线积分） 275

例题分析 277

一、对弧长的线积分（第一类线积分） 277

二、对坐标的线积分 279

3曲面积分 289

内容精讲 289

一、对面积的面积分（第一类面积分） 289

二、对坐标的面积分（第二类面积分） 290

例题分析 292

一、对面积的面积分 292

二、对坐标的面积分 295

4场论初步 302

内容精讲 302

一、梯度 302

二、通量 302

三、散度 303

四、旋度 303

例题分析 303

一、梯度、旋度、散度的计算 303

5多元积分的应用 304

内容精讲 304

例题分析 306

一、几何应用 306

二、求物理量 307

自测题 311

自测题答案与提示 316

第七章 无穷级数 326

考点与要求 326

1常数项级数 326

内容精讲 326

一、级数的概念与性质 326

二、级数的判敛准则 327

例题分析 329

一、正项级数敛散性的判定 329

二、交错级数敛散性的判定 334

三、任意项级数敛散性判定 337

四、有关常数项级数的证明题与综合题 342

2幂级数 348

内容精讲 348

一、函数项级数及收敛域与和函数 348

二、幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域 348

三、幂级数的性质 349

四、函数的幂级数展开 349

例题分析 350

一、求函数项级数的收敛域 350

二、将函数展开为幂级数 355

三、级数求和 358

3傅里叶级数 364

内容精讲 364

一、三角函数及其正交性 364

二、傅里叶级数 364

三、收敛性定理 364

四、周期为2π的函数的傅里叶展开 365

五、周期为2ι的函数的傅里叶展开 365

例题分析 366

一、有关收敛定理的问题 366

二、将函数展开为傅里叶级数 367

自测题 369

自测题答案与提示 373

第八章 微分方程 381

考点与要求 381

1微分方程的概念，一阶与可降阶的二阶方程的解法 381

内容精讲 381

一、定义 381

二、几种特殊类型的一阶微分方程及其解法 382

例题分析 384

一、识别类型，对号入座，按类型求解 384

二、与全微分方程（或与路径无关）有关的问题 386

三、积分方程化为微分方程求解 387

四、偏微分方程化为常微分方程求解 389

五、某些很特殊的函数方程化成微分方程求解 391

2二阶及高阶线性微分方程 392

内容精讲 392

一、定义 392

二、重要性质、定理、公式 392

例题分析 394

一、识别类型，对号入座，按类型求解 394

二、用变量代换解微分方程 397

三、自由项为分段函数或含有绝对值号的非齐次线性微分方程求解 399

四、写出常系数线性非齐次方程的特解形式 400

五、已知方程的解求方程 400

六、一般二阶线性非齐次微分方程的解与对应齐次方程的解的关系 402

七、欧拉方程求解 403

3微分方程的应用 403

内容精讲 403

一、几何问题 403

二、变化率问题 404

三、牛顿第二定律或运动等问题 405

四、微元法建立微分方程 406

自测题 407

自测题答案与提示 409

第二篇 线性代数 416

第一章 行列式 416

考点与要求 416

内容精讲 416

例题分析 419

一、数字型行列式的计算 420

二、抽象型行列式的计算 427

三、行列式|A|是否为零的判定 429

四、关于代数余子式求和 430

自测题 432

自测题答案与提示 433

第二章 矩阵 436

考点与要求 436

内容精讲 436

1矩阵的概念及运算 436

一、矩阵的概念 436

二、矩阵的运算 437

三、矩阵的运算规则 438

四、特殊矩阵 439

2可逆矩阵 439

一、可逆矩阵的概念 439

二、n阶矩阵A可逆的充分必要条件 439

三、逆矩阵的运算性质 440

四、求逆矩阵的方法 440

3初等变换、初等矩阵 440

一、定义 440

二、初等矩阵与初等变换的性质 441

4矩阵的秩 441

一、矩阵秩的概念 442

二、矩阵秩的公式 442

5分块矩阵 442

一、分块矩阵的概念 442

二、分块矩阵的运算 443

例题分析 444

一、矩阵的概念及运算 444

二、特殊方阵的幂 448

三、伴随矩阵的相关问题 452

四、可逆矩阵的相关问题 456

五、初等变换、初等矩阵 460

六、矩阵秩的计算 463

七、矩阵方程的求解 466

自测题 469

自测题答案与提示 471

第三章 向量 473

考点与要求 473

内容精讲 473

1向量组的线性相关性 473

2极大线性无关组、秩 475

3向量空间 477

例题分析 479

一、线性相关性的判别 479

二、向量的线性表示 482

三、向量组线性无关的证明 484

四、秩和极大线性无关组 488

五、向量空间 495

自测题 499

自测题答案与提示 501

第四章 线性方程组 503

考点与要求 503

内容精讲 503

1克莱姆法则 503

2齐次线性方程组 504

3非齐次线性方程组 505

例题分析 507

一、线性方程组的基本概念题 507

二、线性方程组的求解 512

三、基础解系 519

四、AX=0的系数行向量和解向量的关系，由AX=0的基础解系反求A 521

五、非齐次线性方程组系数列向量与解向量的关系 524

六、两个方程组的公共解 526

七、同解方程组 528

八、线性方程组的有关杂题 531

自测题 534

自测题答案与提示 536

第五章 特征值、特征向量、相似矩阵 538

考点与要求 538

内容精讲 538

1特征值、特征向量 538

一、特征值，特征向量 538

二、特征方程、特征多项式、特征矩阵 538

三、特征值的性质 538

四、求特征值、特征向量的方法 539

2相似矩阵、矩阵的相似对角化 539

一、相似矩阵 539

二、矩阵可相似对角化的充分必要条件 539

三、相似矩阵的性质及相似矩阵的必要条件 540

3实对称矩阵的相似对角化 540

一、实对称阵 540

二、实对称阵的特征值，特征向量及相似对角化 540

三、实对称矩阵正交相似于对角阵的步骤 541

例题分析 541

一、特征值，特征向量的求法 541

二、两个矩阵有相同的特征值的证明 546

三、关于特征向量 547

四、矩阵是否相似于对角阵的判别 549

五、利用特征值、特征向量及相似矩阵确定参数 552

六、由特征值、特征向量反求A 553

七、矩阵相似及相似标准形 556

八、相似对角阵的应用 562

自测题 568

自测题答案与提示 570

第六章 二次型 574

考点与要求 574

内容精讲 574

1二次型的概念、矩阵表示 574

一、二次型概念 574

二、二次型的矩阵表示 574

2化二次型为标准形、规范形、 575

合同二次型 575

一、二次型的标准形，规范形 575

二、化二次型为标准形，规范形 576

三、合同矩阵，合同二次型 576

3正定二次型、正定矩阵 577

例题分析 578

一、二次型的矩阵表示 578

二、化二次型为标准形 579

三、合同矩阵、合同二次型 585

四、正定性的判别 588

五、正定二次型的证明 594

六、综合杂题 595

自测题 598

自测题答案与提示 600

第三篇 概率论与数理统计 602

第一章 随机事件和概率 602

考点与要求 602

1事件、样本空间、事件间的关系与运算 602

内容精讲 602

例题分析 605

2概率、条件概率、独立性和五大公式 606

内容精讲 606

例题分析 608

3古典概型与伯努利概型 613

内容精讲 613

例题分析 614

自测题 616

自测题答案与提示 618

第二章 随机变量及其概率分布 624

考点与要求 624

1随机变量及其分布函数 624

内容精讲 624

例题分析 625

2离散型随机变量和连续型随机变量 626

内容精讲 626

例题分析 627

3常用分布 629

内容精讲 629

例题分析 631

4随机变量函数的分布 635

内容精讲 635

例题分析 635

自测题 637

自测题答案与提示 639

第三章 多维随机变量及其分布 644

考点与要求 644

1二维随机变量及其分布 644

内容精讲 644

例题分析 647

2随机变量的独立性 652

内容精讲 652

例题分析 652

3二维均匀分布和二维正态分布 656

内容精讲 656

例题分析 657

4两个随机变量函数Z=g（X，Y） 660

的分布 660

内容精讲 660

例题分析 661

自测题 667

自测题答案与提示 669

第四章 随机变量的数字特征 677

考点与要求 677

1随机变量的数学期望和方差 677

内容精讲 677

例题分析 679

2矩、协方程差和相关系数 686

内容精讲 686

例题分析 687

自测题 695

自测题答案与提示 697

第五章 大数定律和中心极限定理 703

考点与要求 703

内容精讲 703

例题分析 704

自测题 706

自测题答案与提示 707

第六章 数理统计的基本概念 710

考点与要求 710

1总体、样本、统计量和样本数字特征 710

内容精讲 710

例题分析 711

2常用统计抽样分布和正态总体的抽样分布 713

内容精讲 713

例题分析 716

自测题 720

自测题答案与提示 721

第七章 参数估计 726

考点与要求 726

1点估计 726

内容精讲 726

例题分析 727

2估计量的求法和区间估计 731

内容精讲 731

例题分析 734

自测题 737

自测题答案与提示 739

第八章 假设检验 744

考点与要求 744

内容精讲 744

例题分析 746

自测题 749

自测题答案与提示 750